STATISTIEK EN KANSREKENEN
Inhoud
1.2 Voorstellen van univariate kwalitatieve variabelen..........................................................................1
1.3 Voorstellen van univariate kwantitatieve variabelen.......................................................................1
1.4 Voorstellen van bivariate variabelen................................................................................................2
2.1 Kengetallen van centrale ligging of locatie.......................................................................................2
2.2 Maatstaven van relatieve ligging......................................................................................................3
2.3 Kengetallen van spreiding.................................................................................................................3
2.4 Transformatie en standaardisatie van gegevens..............................................................................5
2.5 Kengetallen van scheefheid..............................................................................................................5
2.6 Bivariate kwantitatieve variabele:....................................................................................................6
3.1 Kansexperimenten............................................................................................................................7
3.2 Definitie van kans.............................................................................................................................7
3.3 Rekenregels......................................................................................................................................8
3.4 Voorwaardelijke kans.......................................................................................................................8
3.5 Onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen...............................................................................8
3.6 Totale kans en de regel van Bayes....................................................................................................8
5.1 Combinatieleer...............................................................................................................................10
5.2 Toepassingen van kansrekenen......................................................................................................10
6.1 Kansvariabelen en verdelingsfuncties.............................................................................................11
6.2 Discrete kansvariabelen en kansverdelingen..................................................................................11
6.3 Continue kansvariabelen en kansdichtheden (vben bestuderen oef ex) .......................................11
6.4 Functies van kansvariabelen (transformaties heel belangrijk)........................................................13
6.5 Families van kansverdelingen en kansdichtheden..........................................................................15
7.1 Verwachte waarde v/e kansvariabele.............................................................................................16
7.2 Verwachte waarde v/e functie v/e kansvariabele..........................................................................16
7.3 Speciale gevallen............................................................................................................................16
7.4 Variantie en standaarddeviatie v/e kansvariabele..........................................................................18
7.5 Andere kengetallen........................................................................................................................18
7.6 Moment genererende functie (heel belangrijk)..............................................................................19
10.1 De dichtheid.................................................................................................................................23
10.2 Berekening van kansen voor normaal verdeelde variabelen........................................................23
10.3 Lognormale kansdichtheid (!eigenschappen!)..............................................................................23
11.1 Inleidende begrippen....................................................................................................................24
11.2 Gezamenlijke discrete kansverdeling............................................................................................24
,11.3 Marginale of onvoorwaardelijke discrete kansverdeling..............................................................24
11.4 Voorwaardelijke discrete kansverdeling.......................................................................................24
11.5 Voorbeelden met discrete bivariate kansvariabelen....................................................................25
11.6 De multinomiale kansverdeling (!)................................................................................................25
11.7 Continue kansdichtheid................................................................................................................25
12.1 Een functie van meerdere kansvariabelen....................................................................................27
12.2 Verwachte waarde van functies...................................................................................................27
12.3 Voorwaardelijke verwachte waarden...........................................................................................27
12.4 Kansverdeling van functies van kansvariabelen............................................................................27
12.5 Functies van onafhankelijke Poisson, normaal en lognormaal verdeelde kansvariabelen (!
belangrijk theorie en oef).....................................................................................................................28
13.1 Covariantie en correlatie..............................................................................................................29
13.2 Variantie v/e lineaire functie van 2 kansvariabelen......................................................................29
13.3 Bivariate en multivariate normale kansdichtheid.........................................................................30
14.1 Kansdichtheid v/h steekproefgemiddelde uit een normaal verdeelde populatie.........................31
14.2 Kansverdeling v/h steekproefgemiddelde uit een niet-normaal verdeelde populatie.................31
,1. Soorten gegevens en hun voorstelling (goed begrijpen+ begrippen
kennen, nooit hoofdvraag)
1.1 Meetschalen
Data of gegevens = bevatten informatie omtrent een of meerdere variabelen v/e aantal elementen
v/e populatie of een aantal objecten gegenereerd door een proces.
2 soorten variabelen:
- Kwalitatieve of categorische variabelen
= variabelen die als waarden geen getallen aannemen, rekenkundige bewerkingen met de cijfers
zijn zinloos.
Nominale meetschaal (bv geslacht) of ordinale meetschaal (bv enquêtes).
- Kwantitatieve variabelen
= variabelen die we uitdrukken in een vaste meeteenheid, hierop kunnen wel rekenkundige
berekeningen gedaan worden. Bijna alle rekenkundige bewerkingen zijn zinvol.
Intervalschaal = geen nulpunt (bv het uur)
Ratioschaal = heeft een absoluut nulpunt en verhoudingen zijn zinvol (vb lengte, gewicht).
Discreet = kan enkel gehele waarden aannemen; vb #passagiers.
Continu = kan alle reële waarden aannemen; vb lengte, BMI,…
Er bestaat een hiërarchie:
Variabelen gemeten op ratioschaal zijn het meest informatief.
Gegevens gemeten op hogere schaal kunnen omgezet worden naar een lagere schaal maar NIET
omgekeerd. Hiermee verliest men informatie.
1.2 Voorstellen van univariate kwalitatieve variabelen
1) Frequenties
Absolute frequentie = hoe vaak een bepaalde waarneming voorkomt.
Relatieve frequentie = de absolute frequentie gedeeld door het totaal.
Cumulatieve frequentie = de relatieve frequentie optellen met alle voorgaande.
2) Staafdiagram
3) Paretodiagram
= beginnen met de categorie die het meeste voorkomt en een lijn
tekenen die de cumulatieve frequentie weergeeft.
4) Cirkel-, sector-, of taartdiagram
1.3 Voorstellen van univariate kwantitatieve
variabelen
1. Stam- en bladdiagram
= een manier om kommagetallen korter te noteren; voor de streep komt het eerste getal (stam)
en achter de streep komt telkens het kommagetal v/d verschillende gegevens (blad).
2. Naalddiagram
= de beste voorstelling voor discrete gegevens, een staafdiagram met lijnen. De som van alle
lijntjes is aan 1.
3. Histogram
= voor minder discrete cijfers, meestal uitgedrukt in relatieve frequentie.
4. (frequentie)polygoon
= een gebroken lijn die alle klassen met elkaar verbindt.
5. Empirische cumulatieve verdelingsfunctie
= een functie met de cumulatieve frequenties.
, 1.4 Voorstellen van bivariate variabelen
1. Kruistabel
= Een tabel met 2 of meer gegevens weergegeven om zo verbanden te zoeken of om samen voor
te stellen.
2. Meervoudig staafdiagram
Een histogram waarbij men verschillende kleuren
toekent aan de verschillende gegevens.
3. Mozaïekplot
= de oppervlakte geeft aan hoeveel iets voorkomt.
4. Puntenwolk
= een interessante manier om 2 kwantitatieve gegevens te gaan voorstellen. Er kan een trend in
gezien worden en er kan een onderzoeksvraag bij gesteld worden.
Door verschillende vormen te gebruiken kunnen ook meer dan 2 gegevens voorgesteld worden.
Bubble plot = ook informatie steken in de grootte v/d punten.
2. Beschrijvende statistiek van steekproefgegevens
Steekproefgegevens = worden samengevat a.d.h.v. kengetallen of statistieken.
Er bestaan kengetallen voor ligging (centrum, locatie), spreiding en scheefheid (is de spreiding
symmetrisch).
Parameters = indien de kengetallen berekend worden voor een volledige populatie.
2.1 Kengetallen van centrale ligging of locatie
Kengetallen van ligging = waarden die het best de centrale ligging of locatie v/d gegevens
beschrijven, geven een indicatie van hoe groot of hoe klein de gegevens zijn.
1. Modus
Kan voor elk type gegevens gebruikt worden.
Bij continue, kwantitatieve variabelen weinig zin, omdat elke waarneming maar 1 keer
voorkomt.
M o = de waarneming met de grootste frequentie, de waarneming die het meeste voorkomt.
Klassecentrum v/d modale klasse = modus v/e verzameling gegroepeerde waarnemingen,
waarbij de modale klasse de klasse is met de grootste frequentie, de modus is dan het
midden v/d klasse.
Terminologie bij histogrammen:
Bimodaal/multimodaal histogram = histogram met 2 of meer toppen.
Unimodaal histogram = histogram met slechts 1 top.
2. Mediaan
Kan voor ordinale en kwantitatieve gegevens.
M e = het middelste element v/d geordende data.
Kan op 2 manieren berekend worden:
Het #elementen (n) is oneven: het element met nummer ¿.
n
Het #elementen is even: het gemiddelde van elementen met nummer n /2 en nr. +1 .
2
Ongeveer 50% v/d waarnemingen ligt onder/boven de mediaan.
De mediaan wordt niet beïnvloed door een klein # extreem grote of extreem kleine waarden.
Inhoud
1.2 Voorstellen van univariate kwalitatieve variabelen..........................................................................1
1.3 Voorstellen van univariate kwantitatieve variabelen.......................................................................1
1.4 Voorstellen van bivariate variabelen................................................................................................2
2.1 Kengetallen van centrale ligging of locatie.......................................................................................2
2.2 Maatstaven van relatieve ligging......................................................................................................3
2.3 Kengetallen van spreiding.................................................................................................................3
2.4 Transformatie en standaardisatie van gegevens..............................................................................5
2.5 Kengetallen van scheefheid..............................................................................................................5
2.6 Bivariate kwantitatieve variabele:....................................................................................................6
3.1 Kansexperimenten............................................................................................................................7
3.2 Definitie van kans.............................................................................................................................7
3.3 Rekenregels......................................................................................................................................8
3.4 Voorwaardelijke kans.......................................................................................................................8
3.5 Onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen...............................................................................8
3.6 Totale kans en de regel van Bayes....................................................................................................8
5.1 Combinatieleer...............................................................................................................................10
5.2 Toepassingen van kansrekenen......................................................................................................10
6.1 Kansvariabelen en verdelingsfuncties.............................................................................................11
6.2 Discrete kansvariabelen en kansverdelingen..................................................................................11
6.3 Continue kansvariabelen en kansdichtheden (vben bestuderen oef ex) .......................................11
6.4 Functies van kansvariabelen (transformaties heel belangrijk)........................................................13
6.5 Families van kansverdelingen en kansdichtheden..........................................................................15
7.1 Verwachte waarde v/e kansvariabele.............................................................................................16
7.2 Verwachte waarde v/e functie v/e kansvariabele..........................................................................16
7.3 Speciale gevallen............................................................................................................................16
7.4 Variantie en standaarddeviatie v/e kansvariabele..........................................................................18
7.5 Andere kengetallen........................................................................................................................18
7.6 Moment genererende functie (heel belangrijk)..............................................................................19
10.1 De dichtheid.................................................................................................................................23
10.2 Berekening van kansen voor normaal verdeelde variabelen........................................................23
10.3 Lognormale kansdichtheid (!eigenschappen!)..............................................................................23
11.1 Inleidende begrippen....................................................................................................................24
11.2 Gezamenlijke discrete kansverdeling............................................................................................24
,11.3 Marginale of onvoorwaardelijke discrete kansverdeling..............................................................24
11.4 Voorwaardelijke discrete kansverdeling.......................................................................................24
11.5 Voorbeelden met discrete bivariate kansvariabelen....................................................................25
11.6 De multinomiale kansverdeling (!)................................................................................................25
11.7 Continue kansdichtheid................................................................................................................25
12.1 Een functie van meerdere kansvariabelen....................................................................................27
12.2 Verwachte waarde van functies...................................................................................................27
12.3 Voorwaardelijke verwachte waarden...........................................................................................27
12.4 Kansverdeling van functies van kansvariabelen............................................................................27
12.5 Functies van onafhankelijke Poisson, normaal en lognormaal verdeelde kansvariabelen (!
belangrijk theorie en oef).....................................................................................................................28
13.1 Covariantie en correlatie..............................................................................................................29
13.2 Variantie v/e lineaire functie van 2 kansvariabelen......................................................................29
13.3 Bivariate en multivariate normale kansdichtheid.........................................................................30
14.1 Kansdichtheid v/h steekproefgemiddelde uit een normaal verdeelde populatie.........................31
14.2 Kansverdeling v/h steekproefgemiddelde uit een niet-normaal verdeelde populatie.................31
,1. Soorten gegevens en hun voorstelling (goed begrijpen+ begrippen
kennen, nooit hoofdvraag)
1.1 Meetschalen
Data of gegevens = bevatten informatie omtrent een of meerdere variabelen v/e aantal elementen
v/e populatie of een aantal objecten gegenereerd door een proces.
2 soorten variabelen:
- Kwalitatieve of categorische variabelen
= variabelen die als waarden geen getallen aannemen, rekenkundige bewerkingen met de cijfers
zijn zinloos.
Nominale meetschaal (bv geslacht) of ordinale meetschaal (bv enquêtes).
- Kwantitatieve variabelen
= variabelen die we uitdrukken in een vaste meeteenheid, hierop kunnen wel rekenkundige
berekeningen gedaan worden. Bijna alle rekenkundige bewerkingen zijn zinvol.
Intervalschaal = geen nulpunt (bv het uur)
Ratioschaal = heeft een absoluut nulpunt en verhoudingen zijn zinvol (vb lengte, gewicht).
Discreet = kan enkel gehele waarden aannemen; vb #passagiers.
Continu = kan alle reële waarden aannemen; vb lengte, BMI,…
Er bestaat een hiërarchie:
Variabelen gemeten op ratioschaal zijn het meest informatief.
Gegevens gemeten op hogere schaal kunnen omgezet worden naar een lagere schaal maar NIET
omgekeerd. Hiermee verliest men informatie.
1.2 Voorstellen van univariate kwalitatieve variabelen
1) Frequenties
Absolute frequentie = hoe vaak een bepaalde waarneming voorkomt.
Relatieve frequentie = de absolute frequentie gedeeld door het totaal.
Cumulatieve frequentie = de relatieve frequentie optellen met alle voorgaande.
2) Staafdiagram
3) Paretodiagram
= beginnen met de categorie die het meeste voorkomt en een lijn
tekenen die de cumulatieve frequentie weergeeft.
4) Cirkel-, sector-, of taartdiagram
1.3 Voorstellen van univariate kwantitatieve
variabelen
1. Stam- en bladdiagram
= een manier om kommagetallen korter te noteren; voor de streep komt het eerste getal (stam)
en achter de streep komt telkens het kommagetal v/d verschillende gegevens (blad).
2. Naalddiagram
= de beste voorstelling voor discrete gegevens, een staafdiagram met lijnen. De som van alle
lijntjes is aan 1.
3. Histogram
= voor minder discrete cijfers, meestal uitgedrukt in relatieve frequentie.
4. (frequentie)polygoon
= een gebroken lijn die alle klassen met elkaar verbindt.
5. Empirische cumulatieve verdelingsfunctie
= een functie met de cumulatieve frequenties.
, 1.4 Voorstellen van bivariate variabelen
1. Kruistabel
= Een tabel met 2 of meer gegevens weergegeven om zo verbanden te zoeken of om samen voor
te stellen.
2. Meervoudig staafdiagram
Een histogram waarbij men verschillende kleuren
toekent aan de verschillende gegevens.
3. Mozaïekplot
= de oppervlakte geeft aan hoeveel iets voorkomt.
4. Puntenwolk
= een interessante manier om 2 kwantitatieve gegevens te gaan voorstellen. Er kan een trend in
gezien worden en er kan een onderzoeksvraag bij gesteld worden.
Door verschillende vormen te gebruiken kunnen ook meer dan 2 gegevens voorgesteld worden.
Bubble plot = ook informatie steken in de grootte v/d punten.
2. Beschrijvende statistiek van steekproefgegevens
Steekproefgegevens = worden samengevat a.d.h.v. kengetallen of statistieken.
Er bestaan kengetallen voor ligging (centrum, locatie), spreiding en scheefheid (is de spreiding
symmetrisch).
Parameters = indien de kengetallen berekend worden voor een volledige populatie.
2.1 Kengetallen van centrale ligging of locatie
Kengetallen van ligging = waarden die het best de centrale ligging of locatie v/d gegevens
beschrijven, geven een indicatie van hoe groot of hoe klein de gegevens zijn.
1. Modus
Kan voor elk type gegevens gebruikt worden.
Bij continue, kwantitatieve variabelen weinig zin, omdat elke waarneming maar 1 keer
voorkomt.
M o = de waarneming met de grootste frequentie, de waarneming die het meeste voorkomt.
Klassecentrum v/d modale klasse = modus v/e verzameling gegroepeerde waarnemingen,
waarbij de modale klasse de klasse is met de grootste frequentie, de modus is dan het
midden v/d klasse.
Terminologie bij histogrammen:
Bimodaal/multimodaal histogram = histogram met 2 of meer toppen.
Unimodaal histogram = histogram met slechts 1 top.
2. Mediaan
Kan voor ordinale en kwantitatieve gegevens.
M e = het middelste element v/d geordende data.
Kan op 2 manieren berekend worden:
Het #elementen (n) is oneven: het element met nummer ¿.
n
Het #elementen is even: het gemiddelde van elementen met nummer n /2 en nr. +1 .
2
Ongeveer 50% v/d waarnemingen ligt onder/boven de mediaan.
De mediaan wordt niet beïnvloed door een klein # extreem grote of extreem kleine waarden.
