Uitleg week 2 toetsende statistiek:
Theorie:
Wat betekent het dat gebeurtenissen A en B disjunct zijn?
- Dat de gebeurtenissen niet tegelijk kunnen optreden. Of het is zaterdag, OF het is zondag,
maar het kan niet allebei zijn.
Wat betekent het dat gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn?
- Dat bij twee gebeurtenissen het al dan niet optreden van de ene gebeurtenis geen invloed
heeft op de kans dat de andere gebeurtenis voorkomt.
Kunnen disjuncte gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar zijn?
- Nee, zij kunnen niet onafhankelijk zijn onderling, want: als de een waar is, is de ander
automatisch niet waar (want ze zijn disjunct). Hierdoor zijn ze niet onafhankelijk van elkaar.
Wat is een random variabele?
- De random variabele, ook toevalsvariabele, is een eigenschap van de uitkomst die in een
getal is uit te drukken, en op toeval berust.
Uitleg van de verschillende formules:
1. Complementregel:
Laten we deze uitleggen aan de hand van een voorbeeld:
Tijdens een kans-onderzoek wordt er 6 keer gegooid met een dobbelsteen en hierbij te kijken naar
de rondom variabele (X) die telt hoe vaak iemand 6 gooit.
P = de kans op een gebeurtenis (propability)
(X) = hoe vaak iemand 6 gooit
A = de gebeurtenis, dus in de formule die we gaan gebruiken gaan we A vervangen voor X
Je wilt nu weten hoe groot de kans is dat iemand minimaal 1 keer zes gooit.
Dus dan noteer je: P(X > 0)
,want de kans dat je minimaal 1 keer zes gooit, is groter dan de kans dat je 0 keer zes gooit.
Dan kun je het volgende gaan uitrekenen:
P(X > 0) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
Dit is een heel karwei, en daarvoor zet je de complementregel in. Hierbij ga je namelijk berekenen
wat de kans op X > 0 is, door 1 (het geheel) – de kans dat X = 0. Dit laatste is namelijk de enige
mogelijkheid die je net wilt weten, want je bent op zoek naar elke kans die groter is dan 0.
De formule wordt dan:
P(X > 0) = 1 – P(X = 0)
Nu ga je kijken wat dan de kans is dat X = 0.
, Je hebt 5/6 kans dat iemand iets anders gooit dan 6 (want er zijn 6 getallen op de
dobbelsteen)
Je gooit 6 keer, dus je doet ^6 (tot de macht 6)
De formule:
P(X > 0) = 1 – P(X = 0)
5 6
= 1 – ( ¿¿
6
= 0,6651
2. Algemene somregel:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
∪ = of
∩ = en
De kans dat A of B plaatsvindt = De kans op A + De kans op B – De kans dat ze allebei gebeuren.
Dit is bij gebeurtenissen die niet disjunct zijn. De kans dat A gebeurt, overlapt dus met de kans dat B
gebeurt. Vandaar dat je dit aan het einde van de formule er af moet halen.
Voorbeeld:
De kans op het 'gooien van 5 of meer ogen' of het 'gooien van een oneven aantal ogen' met een
dobbelsteen kan met de algemene somregel worden berekend.
A = het gooien van 5 ogen of meer
B = het gooien van een oneven aantal ogen
Bij een dobbelsteen zijn dit:
2
- A = {5,6} dus
6
3
- B = {1,3,5} dus
6
1
- Voor A en B = {5} de enige uitkomst, die A en B gemeenschappelijk hebben. dus
6
Dus is: P(A ∪ B = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 2/6 + 3/6 - 1/6 = 2/3
Theorie:
Wat betekent het dat gebeurtenissen A en B disjunct zijn?
- Dat de gebeurtenissen niet tegelijk kunnen optreden. Of het is zaterdag, OF het is zondag,
maar het kan niet allebei zijn.
Wat betekent het dat gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn?
- Dat bij twee gebeurtenissen het al dan niet optreden van de ene gebeurtenis geen invloed
heeft op de kans dat de andere gebeurtenis voorkomt.
Kunnen disjuncte gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar zijn?
- Nee, zij kunnen niet onafhankelijk zijn onderling, want: als de een waar is, is de ander
automatisch niet waar (want ze zijn disjunct). Hierdoor zijn ze niet onafhankelijk van elkaar.
Wat is een random variabele?
- De random variabele, ook toevalsvariabele, is een eigenschap van de uitkomst die in een
getal is uit te drukken, en op toeval berust.
Uitleg van de verschillende formules:
1. Complementregel:
Laten we deze uitleggen aan de hand van een voorbeeld:
Tijdens een kans-onderzoek wordt er 6 keer gegooid met een dobbelsteen en hierbij te kijken naar
de rondom variabele (X) die telt hoe vaak iemand 6 gooit.
P = de kans op een gebeurtenis (propability)
(X) = hoe vaak iemand 6 gooit
A = de gebeurtenis, dus in de formule die we gaan gebruiken gaan we A vervangen voor X
Je wilt nu weten hoe groot de kans is dat iemand minimaal 1 keer zes gooit.
Dus dan noteer je: P(X > 0)
,want de kans dat je minimaal 1 keer zes gooit, is groter dan de kans dat je 0 keer zes gooit.
Dan kun je het volgende gaan uitrekenen:
P(X > 0) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
Dit is een heel karwei, en daarvoor zet je de complementregel in. Hierbij ga je namelijk berekenen
wat de kans op X > 0 is, door 1 (het geheel) – de kans dat X = 0. Dit laatste is namelijk de enige
mogelijkheid die je net wilt weten, want je bent op zoek naar elke kans die groter is dan 0.
De formule wordt dan:
P(X > 0) = 1 – P(X = 0)
Nu ga je kijken wat dan de kans is dat X = 0.
, Je hebt 5/6 kans dat iemand iets anders gooit dan 6 (want er zijn 6 getallen op de
dobbelsteen)
Je gooit 6 keer, dus je doet ^6 (tot de macht 6)
De formule:
P(X > 0) = 1 – P(X = 0)
5 6
= 1 – ( ¿¿
6
= 0,6651
2. Algemene somregel:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
∪ = of
∩ = en
De kans dat A of B plaatsvindt = De kans op A + De kans op B – De kans dat ze allebei gebeuren.
Dit is bij gebeurtenissen die niet disjunct zijn. De kans dat A gebeurt, overlapt dus met de kans dat B
gebeurt. Vandaar dat je dit aan het einde van de formule er af moet halen.
Voorbeeld:
De kans op het 'gooien van 5 of meer ogen' of het 'gooien van een oneven aantal ogen' met een
dobbelsteen kan met de algemene somregel worden berekend.
A = het gooien van 5 ogen of meer
B = het gooien van een oneven aantal ogen
Bij een dobbelsteen zijn dit:
2
- A = {5,6} dus
6
3
- B = {1,3,5} dus
6
1
- Voor A en B = {5} de enige uitkomst, die A en B gemeenschappelijk hebben. dus
6
Dus is: P(A ∪ B = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 2/6 + 3/6 - 1/6 = 2/3
