L11a - Multiple Constrained Optimization
De Lagrange-methode hebben we geïntroduceerd voor een functie van 2
(beslissings)variabelen en waarbij we één nevenvoorwaarde (constraint) hadden met een
gelijkteken. Bijv:
x2 + 5y2 = 20.
Op het moment dat we meerdere beslissingsvariabelen hebben, dus 3 of 4 of meer dan dat,
of we hebben meerdere constraints (budgetbeperkingen), dan gaat de lagrange-methode
niet meer werken.
→ Het gaat ook niet werken in de situatie waarin we geen ‘=’ teken in de budget functie
hebben (dus =20 maar niet <20 etc.).
→ Dus met <20 gaat het ook niet werken.
In lecture 11a gaan we in op de situatie van meerdere beslissingsvariabelen, dus meer dan
2, of meerdere constraints (meer dan 1).
Het opschrijven ziet er redelijk hetzelfde uit:
We kunnen dit makkelijk gaan uitbreiden naar 4, 5 etc. variabelen.
Zo komen we op een meer gealgemeniseerdere notatie:
→ We maximaliseren doelfunctie f die als argument een hele vector variabelen heeft, dus
x1 tot misschien wel x1000000.
→ En we hebben een nevenvoorwaarde dat een of ander functie van diezelfde vector van
beslissingsvariabelen gelijk is aan een constante.
Dit is de notatie van het probleem!
Dus niet de oplossing.
, We hebben dan dus twee begrenzingen van hoe x, y en z moeten samenhangen met het
zoeken naar een maximum of minimum van de doelfunctie.
De g en de c staan nu ook vetgedrukt, wat betekent dat dat ook een vector is, zowel de c
als de g.
Dus hier staat eigenlijk:
g1(x)=c1
g2(x)=c2 etc.
Er staan dus een heleboel nevenvoorwaardes maar die staan compact geschreven omdat
zowel de g als de c als een vector geschreven staan.
→ De x was al een vector, want die hadden we in de eerste regel al als een vector
geschreven.
Maar hiermee is het probleem nog niet opgelost.
We gaan nu kijken hoe we dit probleem gaan oplossen.
We kijken eerst naar een probleem met drie variabelen en één constraint.
We krijgen dus (bijna) hetzelfde als we krijgen met 2 beslissingsvariabelen.
→ Alle vier de partiële afgeleide moeten gelijk zijn aan 0.
→ Oplossen gaat op dezelfde manier als met 2 variabelen.
De Lagrange-methode hebben we geïntroduceerd voor een functie van 2
(beslissings)variabelen en waarbij we één nevenvoorwaarde (constraint) hadden met een
gelijkteken. Bijv:
x2 + 5y2 = 20.
Op het moment dat we meerdere beslissingsvariabelen hebben, dus 3 of 4 of meer dan dat,
of we hebben meerdere constraints (budgetbeperkingen), dan gaat de lagrange-methode
niet meer werken.
→ Het gaat ook niet werken in de situatie waarin we geen ‘=’ teken in de budget functie
hebben (dus =20 maar niet <20 etc.).
→ Dus met <20 gaat het ook niet werken.
In lecture 11a gaan we in op de situatie van meerdere beslissingsvariabelen, dus meer dan
2, of meerdere constraints (meer dan 1).
Het opschrijven ziet er redelijk hetzelfde uit:
We kunnen dit makkelijk gaan uitbreiden naar 4, 5 etc. variabelen.
Zo komen we op een meer gealgemeniseerdere notatie:
→ We maximaliseren doelfunctie f die als argument een hele vector variabelen heeft, dus
x1 tot misschien wel x1000000.
→ En we hebben een nevenvoorwaarde dat een of ander functie van diezelfde vector van
beslissingsvariabelen gelijk is aan een constante.
Dit is de notatie van het probleem!
Dus niet de oplossing.
, We hebben dan dus twee begrenzingen van hoe x, y en z moeten samenhangen met het
zoeken naar een maximum of minimum van de doelfunctie.
De g en de c staan nu ook vetgedrukt, wat betekent dat dat ook een vector is, zowel de c
als de g.
Dus hier staat eigenlijk:
g1(x)=c1
g2(x)=c2 etc.
Er staan dus een heleboel nevenvoorwaardes maar die staan compact geschreven omdat
zowel de g als de c als een vector geschreven staan.
→ De x was al een vector, want die hadden we in de eerste regel al als een vector
geschreven.
Maar hiermee is het probleem nog niet opgelost.
We gaan nu kijken hoe we dit probleem gaan oplossen.
We kijken eerst naar een probleem met drie variabelen en één constraint.
We krijgen dus (bijna) hetzelfde als we krijgen met 2 beslissingsvariabelen.
→ Alle vier de partiële afgeleide moeten gelijk zijn aan 0.
→ Oplossen gaat op dezelfde manier als met 2 variabelen.
