TEMA 8: CÁLCULO DE PRIMITIVAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA (LINEALIDAD)
1. CONCEPTO DE PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA P1. ∫ 𝑘 · 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 · ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, siendo 𝑘 ∈ ℝ
• PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN P2. ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
En las unidades anteriores hemos visto cómo obtener la función derivada de
una función. Ahora nos planteamos resolver el problema inverso: dada una 2. INTEGRALES INDEFINIDAS INMEDIATAS
función f , hallar una función F cuya derivada sea f .
Ejemplo: Dada 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2 , una posibilidad para F sería considerar
𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 , ya que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Definición. Una función F es una primitiva de 𝑓 si y sólo si 𝐹′ = 𝑓.
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚
PROPOSICIÓN 1.
Si 𝐹 es una primitiva de 𝑓, también lo es 𝐹 + 𝐶, ∀𝐶 ∈ ℝ ya que
(𝐹 + 𝐶)′ = 𝐹 ′ + 𝐶 ′ = 𝑓 + 0 = 𝑓
PROPOSICIÓN 2.
Si 𝐹 𝑦 𝐺 son primitivas de 𝑓, entonces
(𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥))′ = 𝐹 ′ − 𝐺 ′ = 𝑓 − 𝑓 = 0 → 𝑓(𝑥) − 𝐹(𝑥) = 𝐶
para algún 𝐶 ∈ ℝ
𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
• INTEGRAL INDEFINIDA
Definición. El conjunto formado por todas las primitivas de una
función 𝑓 se llama integral indefinida de 𝑓 y se representa por:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Esta expresión se lee como sigue: integral de 𝑓 diferencial de 𝑥.
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 , ∀𝐶 ∈ ℝ
, 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Integrando, ∫ 𝑑(𝑢 · 𝑣) = ∫(𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣) → 𝑢 · 𝑣 = ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 𝑑𝑣
• INTEGRACIÓN INMEDIATA Despejando, obtenemos la fórmula de integración por partes:
Ejemplos:
− ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶, porque (sen 𝑥)′ = cos 𝑥 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 · 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑥 𝛼−1
− ∫ 𝑥 𝛼 𝑑𝑥 = + 𝐶, 𝛼 ≠ 1; porque (𝑥 𝛼 )′ = 𝛼𝑥 𝛼−1 , 𝛼 ≠ −1 Ejemplo:
𝛼−1
1 1 ∫ 𝑥 · 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 · cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 · cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =
− ∫ 𝑥 −1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = logȁ𝑥 ȁ + 𝐶, porque (logȁ𝑥ȁ)′ = log=ln
𝑥 𝑥 = −𝑥 · cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶
• INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN 𝑢 (𝑥 ) = 𝑥 → 𝑢 ′ (𝑥 ) = 1
Este método consiste en expresar la función integrando como combinación 𝑣 ′ (𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑣(𝑥 ) = − cos 𝑥
lineal de otras funciones que sabemos integrar y luego aplicar las
Algunos ejemplos en los que podemos usar este método son:
propiedades de linealidad de la integral.
Ejemplos: ▪ Integral del producto de una función polinómica y una función
𝑥4 𝑥3 exponencial (Generalmente se le llama u a la función polinómica)
− ∫(𝑥 3 − 3𝑥 2 + 7) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 7 ∫ 𝑑𝑥 = −3 + 7𝑥 + 𝐶
4 3 ▪ Integral del producto de una función polinómica y una función
− ∫ 𝑡𝑔2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 + 𝑡𝑔2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫(1 + 𝑡𝑔2 𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 trigonométrica (Generalmente se le llama u a la función polinómica)
▪ Integral del producto de una función exponencial y una función
• INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O POR CAMBIO DE VARIABLE trigonométrica (Da igual la elección de u )
Este método consiste en identificar una parte del integrando con una nueva
▪ Integral del producto de una función logarítmica y una función
variable, con la finalidad de obtener una integral más sencilla.
polinómica (Generalmente se le llama u a la función logarítmica)
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓൫𝛽(𝑡)൯ 𝛽 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 ▪ Integral del producto de una función trigonométrica recíproca y
una función polinómica (Generalmente se le llama u a la función
trigonométrica recíproca)
𝑥 = 𝛽(𝑡) → 𝑑𝑥 = 𝛽 ′ (𝑡) 𝑑𝑡
4. MÉTODO DE INTEGRACION PARA FUNCIONES RACIONALES
Ejemplo:
• MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
3
𝑑𝑡 3 3 1ൗ 3 𝑡 ൗ2
∫ 3𝑥ξ1 − 2𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 ξ𝑡 · −4𝑥 = − 4 ∫ ξ𝑡 𝑑𝑡 = − 4 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 = −
4 3ൗ2
+𝐶
𝑃(𝑥)
Consideramos una función racional 𝑓(𝑥) = donde P y Q son polinomios
𝑄(𝑥)
con coeficientes reales.
1 − 2𝑥 2 = 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥 = Podemos suponer que el grado del numerador es menor que el grado del
−4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 −4𝑥
denominador, pues en caso contrario, dividiendo se obtiene:
• INTEGRACIÓN POR PARTES
P(x)= Q(x)·C(x)+ R(x), con grado R(x)< grado Q(x)
A partir de la regla de derivación del producto de dos funciones derivables,
𝑢 y 𝑣, podemos deducir un método para integrar el producto de dos 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)·𝐶(𝑥) 𝑅(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝑅(𝑥)
Luego = + ↔ = 𝐶(𝑥) + y la integración se reduce a
funciones. En efecto: 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥)
𝑅(𝑥)
𝑑(𝑢 · 𝑣 ) = 𝑑𝑢 · 𝑣 + 𝑢 · 𝑑𝑣 → 𝑑(𝑢 · 𝑣 ) = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣 la función polinómica C(x), que es inmediata, y a la función , en la que el
𝑄(𝑥)
numerador es de grado inferior al denominador.
1. CONCEPTO DE PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA P1. ∫ 𝑘 · 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 · ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, siendo 𝑘 ∈ ℝ
• PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN P2. ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
En las unidades anteriores hemos visto cómo obtener la función derivada de
una función. Ahora nos planteamos resolver el problema inverso: dada una 2. INTEGRALES INDEFINIDAS INMEDIATAS
función f , hallar una función F cuya derivada sea f .
Ejemplo: Dada 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2 , una posibilidad para F sería considerar
𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 , ya que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Definición. Una función F es una primitiva de 𝑓 si y sólo si 𝐹′ = 𝑓.
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚
PROPOSICIÓN 1.
Si 𝐹 es una primitiva de 𝑓, también lo es 𝐹 + 𝐶, ∀𝐶 ∈ ℝ ya que
(𝐹 + 𝐶)′ = 𝐹 ′ + 𝐶 ′ = 𝑓 + 0 = 𝑓
PROPOSICIÓN 2.
Si 𝐹 𝑦 𝐺 son primitivas de 𝑓, entonces
(𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥))′ = 𝐹 ′ − 𝐺 ′ = 𝑓 − 𝑓 = 0 → 𝑓(𝑥) − 𝐹(𝑥) = 𝐶
para algún 𝐶 ∈ ℝ
𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶
• INTEGRAL INDEFINIDA
Definición. El conjunto formado por todas las primitivas de una
función 𝑓 se llama integral indefinida de 𝑓 y se representa por:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Esta expresión se lee como sigue: integral de 𝑓 diferencial de 𝑥.
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 , ∀𝐶 ∈ ℝ
, 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Integrando, ∫ 𝑑(𝑢 · 𝑣) = ∫(𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣) → 𝑢 · 𝑣 = ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 𝑑𝑣
• INTEGRACIÓN INMEDIATA Despejando, obtenemos la fórmula de integración por partes:
Ejemplos:
− ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶, porque (sen 𝑥)′ = cos 𝑥 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢 · 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑥 𝛼−1
− ∫ 𝑥 𝛼 𝑑𝑥 = + 𝐶, 𝛼 ≠ 1; porque (𝑥 𝛼 )′ = 𝛼𝑥 𝛼−1 , 𝛼 ≠ −1 Ejemplo:
𝛼−1
1 1 ∫ 𝑥 · 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 · cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 · cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =
− ∫ 𝑥 −1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = logȁ𝑥 ȁ + 𝐶, porque (logȁ𝑥ȁ)′ = log=ln
𝑥 𝑥 = −𝑥 · cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶
• INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN 𝑢 (𝑥 ) = 𝑥 → 𝑢 ′ (𝑥 ) = 1
Este método consiste en expresar la función integrando como combinación 𝑣 ′ (𝑥 ) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑣(𝑥 ) = − cos 𝑥
lineal de otras funciones que sabemos integrar y luego aplicar las
Algunos ejemplos en los que podemos usar este método son:
propiedades de linealidad de la integral.
Ejemplos: ▪ Integral del producto de una función polinómica y una función
𝑥4 𝑥3 exponencial (Generalmente se le llama u a la función polinómica)
− ∫(𝑥 3 − 3𝑥 2 + 7) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 7 ∫ 𝑑𝑥 = −3 + 7𝑥 + 𝐶
4 3 ▪ Integral del producto de una función polinómica y una función
− ∫ 𝑡𝑔2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 + 𝑡𝑔2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫(1 + 𝑡𝑔2 𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 trigonométrica (Generalmente se le llama u a la función polinómica)
▪ Integral del producto de una función exponencial y una función
• INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O POR CAMBIO DE VARIABLE trigonométrica (Da igual la elección de u )
Este método consiste en identificar una parte del integrando con una nueva
▪ Integral del producto de una función logarítmica y una función
variable, con la finalidad de obtener una integral más sencilla.
polinómica (Generalmente se le llama u a la función logarítmica)
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓൫𝛽(𝑡)൯ 𝛽 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 ▪ Integral del producto de una función trigonométrica recíproca y
una función polinómica (Generalmente se le llama u a la función
trigonométrica recíproca)
𝑥 = 𝛽(𝑡) → 𝑑𝑥 = 𝛽 ′ (𝑡) 𝑑𝑡
4. MÉTODO DE INTEGRACION PARA FUNCIONES RACIONALES
Ejemplo:
• MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
3
𝑑𝑡 3 3 1ൗ 3 𝑡 ൗ2
∫ 3𝑥ξ1 − 2𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 ξ𝑡 · −4𝑥 = − 4 ∫ ξ𝑡 𝑑𝑡 = − 4 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 = −
4 3ൗ2
+𝐶
𝑃(𝑥)
Consideramos una función racional 𝑓(𝑥) = donde P y Q son polinomios
𝑄(𝑥)
con coeficientes reales.
1 − 2𝑥 2 = 𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑥 = Podemos suponer que el grado del numerador es menor que el grado del
−4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 −4𝑥
denominador, pues en caso contrario, dividiendo se obtiene:
• INTEGRACIÓN POR PARTES
P(x)= Q(x)·C(x)+ R(x), con grado R(x)< grado Q(x)
A partir de la regla de derivación del producto de dos funciones derivables,
𝑢 y 𝑣, podemos deducir un método para integrar el producto de dos 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)·𝐶(𝑥) 𝑅(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝑅(𝑥)
Luego = + ↔ = 𝐶(𝑥) + y la integración se reduce a
funciones. En efecto: 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥)
𝑅(𝑥)
𝑑(𝑢 · 𝑣 ) = 𝑑𝑢 · 𝑣 + 𝑢 · 𝑑𝑣 → 𝑑(𝑢 · 𝑣 ) = 𝑣 𝑑𝑢 + 𝑢 𝑑𝑣 la función polinómica C(x), que es inmediata, y a la función , en la que el
𝑄(𝑥)
numerador es de grado inferior al denominador.
