SERIES DE POTENCIAS

TEMA 7: SERIES DE POTENCIAS DEFINICIÓN : Dada una serie de potencias ∑∞ 𝑛
𝑛≥0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎 ) , su radio
de convergencia es
1. CONCEPTO ∞
Son polinomios de grado infinito cuyas sumas parciales aproximan a las 𝑅 = 𝑠𝑢𝑝 ൝|𝑥 − 𝑎| ෍ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 es convergenteൡ
funciones. 𝑛≥ 0

DEFINICIÓN : Una serie de potencias centradas en 𝑎 ∈ ℝ es una serie Si 𝑅 > 0 el intervalo (𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅) se llama intervalo de convergencia de
de la forma la serie de potencias.
∞ El número R puede ser finito o infinito.
෍ 𝑎 𝑛 (𝑥 − 𝑎 )𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑎 )1 + 𝑎2 (𝑥 − 𝑎 )2 +⋯
𝑛=0
TEOREMA : Dada una serie de potencias ∑∞ 𝑛
𝑛≥0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎 ) con radio de
Donde 𝑎𝑛 son los coeficientes. Sin pérdida de generalidad convergencia 𝑅 ∈ (0, +∞), se verifican las siguientes propiedades:
supondremos que 𝑎 = 0 y usaremos series de la forma
∞ 1. Si |𝑥 − 𝑎| < 𝑅, la serie es absolutamente convergente.
෍ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 2. Si |𝑥 − 𝑎| > 𝑅, la serie no converge y la sucesión (𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 ) no
𝑛=0 está acotada.


2. RADIO DE CONVERGENCIA Ejemplos:
Ejemplos: ▪ La serie ∑∞ 𝑛
𝑛≥0 𝑥 , tiene radio de convergencia R = 1. En los extremos del
▪ Serie geométrica. Si consideramos la serie ∑∞ 𝑛
𝑛≥0 𝑥 , sabemos que converge
intervalo no es convergente.
1 𝑥𝑛
absolutamente si y solo si 𝑥 ∈ (−1,1), y su suma es . ▪ La serie ∑∞
𝑛≥1 tiene radio de convergencia R = 1. En 𝑥 = 1 diverge y en
1−𝑥 𝑛
𝑥𝑛 𝑥 = −1 es condicionalmente convergente.
▪ La serie ∑∞
𝑛≥1 converge si y solo si 𝑥 ∈ [−1, 1). En el intervalo abierto
𝑛 𝑥𝑛
(−1, 1) converge absolutamente. ▪ La serie ∑∞
𝑛≥1 tiene radio de convergencia R = 1. En 𝑥 = 1 y en 𝑥 = −1
𝑛2
𝑥𝑛 es absolutamente convergente.
▪ La serie ∑∞
𝑛≥1 converge absolutamente si y solo si 𝑥 ∈ [−1, 1].
𝑛2
𝑥𝑛 TEOREMA (Fórmula de Cauchy-Hadamard) : Dada una serie de
▪ La serie ∑∞
𝑛≥1 converge absolutamente para todo 𝑥 ∈ ℝ.
𝑛! potencias ∑∞ 𝑛
𝑛≥0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎 ) su radio de convergencia viene dado por la

▪ La serie ∑∞ 𝑛 fórmula:
𝑛≥1 𝑛! 𝑥 n converge si y solo si 𝑥 = 0. 1
𝑅=
𝑙í𝑚 sup 𝑛ඥ|𝑎𝑛 |
LEMA : Dada una serie de potencias ∑∞ 𝑛
𝑛≥0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎 ) , si existe 𝑟 ∈ (0, +∞)
de modo que la sucesión (𝑎𝑛 𝑟 𝑛 ) está acotada, la serie de potencias es
absolutamente convergente para todo 𝑥 ∈ ℝ tal que |𝑥 − 𝑎| < 𝑟. 1. La serie converge absolutamente si 𝑥 ∈ (−𝑅, 𝑅)
2. La serie no converge si 𝑥 ∉ [−𝑅, 𝑅]