Preliminares Tema 1.
P1. Primitiva de la función exponencial.
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
Fórmula ∫𝑒 𝑓'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 +𝐶
P2. Función Gamma.
Definición.
Definimos la función gamma, Γ(𝑝), como
+ +
Γ: 𝑅 → 𝑅
∞
𝑝−1 −𝑡
𝑝 → Γ(𝑝) = ∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡
0
∞
𝑝−1 −𝑡
es decir, Γ(𝑝) = ∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 para 𝑝 > 0
0
Propiedades:
- Γ(1) = 1
- Γ(𝑝) = (𝑝 − 1)Γ(𝑝 − 1) 𝑝>1
- Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)! ∀𝑛 ∈ 𝑁
- Γ ( )=
1
2
π
P3. Funciones hiperbólicas.
Fórmulas
𝑠 −𝑥 𝑥 −𝑥
𝑒 −𝑒 𝑒 +𝑒
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 = 2
; 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 2
P4. Algunas fórmulas e identidades trigonométricas.
Fórmulas.
2 2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1
2 1−𝑐𝑜𝑠(2θ) 2 1+𝑐𝑜𝑠(2θ)
𝑠𝑒𝑛 θ = 2
; 𝑐𝑜𝑠 θ = 2
2 2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
P5. Método de integración por partes.
Fórmula.
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫𝑢𝑑𝑣
Esta fórmula la podemos aplicar cuando queramos integrar el producto de una función por
la derivada de otra. Será útil cuando ∫𝑣𝑑𝑢 sea más sencilla de calcular que ∫𝑢𝑑𝑣. A veces
habrá que aplicar más de una vez el método para calcular la integral.
P6. Un par de primitivas elementales.
Fórmulas.
𝑓'(𝑥)
∫ 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑓(𝑥)| + 𝐶
𝑓'(𝑥)
∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔[𝑓(𝑥)] + 𝐶
1+[𝑓(𝑥)]
, P7. Algunas ideas sobre la función arcotangente.
Ideas.
Se define la función 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 como la inversa de la función 𝑡𝑔𝑥. Así, para calcular el valor de
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 sólo hay que pensar en el valor de 𝑏 que cumpla que 𝑡𝑔𝑏 = 𝑎. Por ejemplo, tenemos
π π
que: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = 4
; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 = 0; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔∞ = 2
P8. Infinitésimos equivalentes.
Fórmulas.
Las siguientes funciones son infinitésimos equivalentes cuando 𝑥 → 0:
2
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∼ 𝑥; 𝑡𝑔𝑥 ∼ 𝑥; 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∼ 2
; 𝑙𝑛(1 + 𝑥) ∼ 𝑥
P9. Regla de L’Hôpital.
Enunciado.
Sean 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) dos funciones derivables en un entorno de un punto 𝑎. Si se tiene que
𝑓'(𝑥) 𝑓(𝑥)
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 0 y además existe lim 𝑔'(𝑥)
, entonces también existe lim 𝑔(𝑥)
,
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑓'(𝑥)
verificándose: lim 𝑔(𝑥)
= lim 𝑔'(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
Notas:
∞
- El enunciado de este teorema también es válido para la indeterminación ∞
.
- Asimismo, se puede enunciar de forma análoga si 𝑎 es ∞ ó − ∞.
𝑓'(𝑥) 0
- Si en la expresión lim 𝑔'(𝑥)
se vuelve a presentar una indeterminación del tipo 0
ó
𝑥→𝑎
∞
∞
se puede volver a aplicar la regla de L’Hôpital (siempre y cuando se cumplan las
hipótesis de aplicabilidad).
P10. Propiedades de los logaritmos.
Fórmulas.
𝑙𝑛𝑎 + 𝑙𝑛𝑏 = 𝑙𝑛(𝑎𝑏)
𝑙𝑛𝑎 − 𝑙𝑛𝑏 = 𝑙𝑛 ( ) 𝑎
𝑏
𝑟
𝑟𝑙𝑛𝑎 = 𝑙𝑛𝑎
P11. Descomposición en fracciones simples.
Procedimiento.
𝑃(𝑥)
Sea 𝑄(𝑥)
una función racional (cociente de polinomios) tal que el grado del denominador es
mayor que el grado del numerador. Pretendemos descomponer este cociente en suma de
una serie de fracciones que tengan una expresión más “manejable”.
La clave del procedimiento va a estar en las raíces del polinomio 𝑄(𝑥) del denominador. Por
cada raíz del denominador se tiene una descomposición en fracciones, dependiendo del
orden de multiplicidad de la raíz. Analicemos esos casos:
𝐴1
- 𝑟 una raíz real simple. 𝑥−𝑟
con 𝐴1 nº real a determinar.
𝐴1 𝐴2
- 𝑟 una raíz real doble. 𝑥−𝑟
+ 2 con 𝐴1, 𝐴2 nº reales a determinar.
(𝑥−𝑟)
P1. Primitiva de la función exponencial.
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
Fórmula ∫𝑒 𝑓'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 +𝐶
P2. Función Gamma.
Definición.
Definimos la función gamma, Γ(𝑝), como
+ +
Γ: 𝑅 → 𝑅
∞
𝑝−1 −𝑡
𝑝 → Γ(𝑝) = ∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡
0
∞
𝑝−1 −𝑡
es decir, Γ(𝑝) = ∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 para 𝑝 > 0
0
Propiedades:
- Γ(1) = 1
- Γ(𝑝) = (𝑝 − 1)Γ(𝑝 − 1) 𝑝>1
- Γ(𝑛) = (𝑛 − 1)! ∀𝑛 ∈ 𝑁
- Γ ( )=
1
2
π
P3. Funciones hiperbólicas.
Fórmulas
𝑠 −𝑥 𝑥 −𝑥
𝑒 −𝑒 𝑒 +𝑒
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 = 2
; 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 2
P4. Algunas fórmulas e identidades trigonométricas.
Fórmulas.
2 2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1
2 1−𝑐𝑜𝑠(2θ) 2 1+𝑐𝑜𝑠(2θ)
𝑠𝑒𝑛 θ = 2
; 𝑐𝑜𝑠 θ = 2
2 2
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥; 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
P5. Método de integración por partes.
Fórmula.
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫𝑢𝑑𝑣
Esta fórmula la podemos aplicar cuando queramos integrar el producto de una función por
la derivada de otra. Será útil cuando ∫𝑣𝑑𝑢 sea más sencilla de calcular que ∫𝑢𝑑𝑣. A veces
habrá que aplicar más de una vez el método para calcular la integral.
P6. Un par de primitivas elementales.
Fórmulas.
𝑓'(𝑥)
∫ 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑓(𝑥)| + 𝐶
𝑓'(𝑥)
∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔[𝑓(𝑥)] + 𝐶
1+[𝑓(𝑥)]
, P7. Algunas ideas sobre la función arcotangente.
Ideas.
Se define la función 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 como la inversa de la función 𝑡𝑔𝑥. Así, para calcular el valor de
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎 sólo hay que pensar en el valor de 𝑏 que cumpla que 𝑡𝑔𝑏 = 𝑎. Por ejemplo, tenemos
π π
que: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = 4
; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0 = 0; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔∞ = 2
P8. Infinitésimos equivalentes.
Fórmulas.
Las siguientes funciones son infinitésimos equivalentes cuando 𝑥 → 0:
2
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 ∼ 𝑥; 𝑡𝑔𝑥 ∼ 𝑥; 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∼ 2
; 𝑙𝑛(1 + 𝑥) ∼ 𝑥
P9. Regla de L’Hôpital.
Enunciado.
Sean 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) dos funciones derivables en un entorno de un punto 𝑎. Si se tiene que
𝑓'(𝑥) 𝑓(𝑥)
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 0 y además existe lim 𝑔'(𝑥)
, entonces también existe lim 𝑔(𝑥)
,
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑓'(𝑥)
verificándose: lim 𝑔(𝑥)
= lim 𝑔'(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
Notas:
∞
- El enunciado de este teorema también es válido para la indeterminación ∞
.
- Asimismo, se puede enunciar de forma análoga si 𝑎 es ∞ ó − ∞.
𝑓'(𝑥) 0
- Si en la expresión lim 𝑔'(𝑥)
se vuelve a presentar una indeterminación del tipo 0
ó
𝑥→𝑎
∞
∞
se puede volver a aplicar la regla de L’Hôpital (siempre y cuando se cumplan las
hipótesis de aplicabilidad).
P10. Propiedades de los logaritmos.
Fórmulas.
𝑙𝑛𝑎 + 𝑙𝑛𝑏 = 𝑙𝑛(𝑎𝑏)
𝑙𝑛𝑎 − 𝑙𝑛𝑏 = 𝑙𝑛 ( ) 𝑎
𝑏
𝑟
𝑟𝑙𝑛𝑎 = 𝑙𝑛𝑎
P11. Descomposición en fracciones simples.
Procedimiento.
𝑃(𝑥)
Sea 𝑄(𝑥)
una función racional (cociente de polinomios) tal que el grado del denominador es
mayor que el grado del numerador. Pretendemos descomponer este cociente en suma de
una serie de fracciones que tengan una expresión más “manejable”.
La clave del procedimiento va a estar en las raíces del polinomio 𝑄(𝑥) del denominador. Por
cada raíz del denominador se tiene una descomposición en fracciones, dependiendo del
orden de multiplicidad de la raíz. Analicemos esos casos:
𝐴1
- 𝑟 una raíz real simple. 𝑥−𝑟
con 𝐴1 nº real a determinar.
𝐴1 𝐴2
- 𝑟 una raíz real doble. 𝑥−𝑟
+ 2 con 𝐴1, 𝐴2 nº reales a determinar.
(𝑥−𝑟)
