Samenvatting getallenrijen, getallenreeksen, convergentietesten, machtreeksen

Getallenrijen VS getallenreeksen

Getallenrij Getallenreeks
∞
{un} = u1, u2, …, un …
∑ un = u 1 + u2 + … + un + … : berekenbaar?  reekssom
n =1

n
Gedrag:
Partieelsom: Sn = ∑ u i = u1 + u2 + … + un
o Convergent: nlim
→∞
un bestaat en is eindig (∈ R ) i=1

∞
Convergentie
o Divergent: nlim un = ± ∞ Verband reekssom en getallenreeks : ∑ u n = nlim
→∞
Sn
→∞ n =1

o Onbepaald: nlim
→∞
un bestaat niet Gedrag getallenreeks:

o Convergent: reekssom S = nlim
→∞
Sn ∈ R

o Divergent: reekssom S = nlim
→∞
S n=± ∞

o Onbepaald: reekssom S = nlim
→∞
S n bestaat niet

∞ ∞
Speciale Rekenkundige {un}
Veelvoud getallenreeks: ∑ u n convergent ⇔ ∑ α un convergent (α ∈ R)
getallenrijen getallenrij n =1 n=1

∞ ∞
Deel getallenreeks: ∑ u n convergent ⇔ ∑ α un convergent (k ≥ 1)
n =1 n =k

∞
Algemene term: un = u1 + (n – 1).d
Voorwaarde convergentie: ∑ u n convergent ⟹ nlim
→∞
un=0
n =1

Notatie: d = un – un-1 (n ≥ 2) Speciale Rekenkundige reeks ∞

∑ un
getallenreekse n =1

Gedrag getallenrij : Algemen term: un = u1 + (n – 1).d, n ≥ 1


1

, o Convergent: d = 0, nlim
→∞
un=u 1 n
Partieelsom: Sn =
n
(u1 + un), n ≥ 1
2
o Divergent: d ≠ 0, nlim
→∞
un=±∞
ALTIJD divergent, tenzij elke term = 0


∞
Meetkundige {un} Meetkundige reeks
∑ un
getallenrij n =1

Algeme term: un = u1 . qn-1 Algemene term : un = un . qn-1, n ≥ 1
un Partieelsom :
Notatie : q = (n ≥ 2)
un−1 o q = 1 : Sn = n . u 1
n
o q ≠ 1 : Sn = u1 .
1−q
1−q
Voor n ≥ 1
Gedrag getallenrij : Gedrag getallenreeks:
o Convergent : o Convergent: -1 < q < +1

o -1 < q < +1, nlim
→∞
un=0
o Reekssom: S =
u1
1−q
o q = +1, nlim
→∞
un=u 1
o Divergent : q ≥ 1

o Divergent : q > 1, nlim
→∞
un=±∞ o Onbepaald: q ≤ -1

o Onbepaald : q ≤ -1, nlim
→∞
un bestaat niet

∞
Hypeharmonische {un} Hypeharmonische reeks
∑ un
getallenrij n =1




2