Samenvatting wiskunde 1.2
Hoofdstuk 1: logisch denken
Wat is logica?
Dit is de studie van de gedachtegang. Het uitsluiten van redeneerfouten is het doel. Kleuters
moeten de juiste redeneringen kunnen maken.
In de symbolische logica worden de redeneervormen zonder taal weergegeven door
symbolen. Verbale uitdrukkingen worden letters en tekens.
Bv: de aarde is rond = p, de deur is dicht = q. Als de deur dicht is, dan is de aarde rond q
=> p. Als de aarde rond is, dan is de deur dicht p => q.
Wat is een proportie?
Een proportie is een zinvolle uitspraak waarvan je met zekerheid kan zeggen of ze waar of
niet waar is. Je kan iets waarnemen. Uitspraken waarvan je niet kan zeggen of ze waar of
niet waar zijn, zijn geen proposities. Een vraag, wens, bevel of subjectieve uitspraak zijn
nooit proposities.
“Mijn map is blauw” = een propositie
“Dit is een mooie tas” = geen propositie
We noteren binair in een waarheidstabel. Waar = 1, niet waar = 0. We gebruiken altijd kleine
letters.
p q
1 1 Allebei waar
1 0 p is waar, q niet
0 1 p is niet waar, q wel
0 0 Allebei niet waar.
Pas logische bewerkingen toe op proposities.
Negatie van een propositie
Een negatie of een ontkenning. Die verandert de waarheidswaarde van de propositie van
waar naar niet waar en van niet waar naar waar. Het symbool hiervoor is .
Als p een propositie is, dan is p een propositie, de negatie van p. De waarheidstabel is dan:
p ¬p
1 0
0 1
Als je de negatie twee keer na elkaar toepast, krijg je de volgende waarheidstabel:
p ¬p ¬(¬p)
1
, 1 0 1
0 1 0
P en ¬(¬p) hebben dan dezelfde waarde. Een dubbele negatie heft zichzelf dus op.
Bv: het is niet onmogelijk om te slagen voor wiskunde.
Conjunctie van 2 proposities
Een conjunctie is een logische bewerking die 2 proposities met elkaar verbindt, zodat de
conjunctie van beide waar is als beide proposities waar zijn.
Bv: p = piet is ziek. q = piet gaat naar de dokter
De propositie = piet is ziek én piet gaat naar de dokter. Deze nieuwe propositie is enkel waar
als het allebei juist is. Is 1 van de 2 niet waar? Dan is de conjunctie ook niet waar.
Het symbool van conjunctie is “^”. … (en) ^ …
p q p^q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Disjunctie van twee proposities
Een disjunctie is een bewerking die 2 proposities met elkaar verbindt, zodat de disjunctie van
beide onwaar is als beide proposities onwaar zijn.
Bv: p = Jan gaat naar de kapper, q = Jan gaat naar de markt
De propositie = Jan gaat naar de kapper OF Jan gaat naar de markt. De propositie is steeds
waar, behalve als ze beide niet waar zijn. Als 1 van de 2 niet waar is, is de disjunctie dus nog
steeds waar.
Het symbool is “”
p q pq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Als we in een gewoon gesprek zeggen “we gaan zwemmen of we gaan naar de cinema”
bedoelen we ook één van beide. Bij het wiskundige kunnen ook beide uitspraken waar zijn.
2
,Je hebt hier ook nog de exclusive or. Het ene of het andere. Je gaat OF pasta OF frietjes
eten.
Een conjunctie is strenger dan een disjunctie!
Implicatie van twee proposities
Een implicatie is een bewerking die twee proposities met elkaar verbindt. De implicatie is
alleen niet waar als het antecedent p waar is en het consequent q onwaar is.
Bv: p = voetbalclub Anderlecht wint, q = ik trakteer.
De propositie is: Als Anderlecht wint, trakteer ik. De implicatie is alleen niet waar als p waar
is en q vals. Dus als Anderlecht wint en ik niet trakteer.
Het symbool hier is “=>”
p q p => q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Equivalentie van twee proposities
Een equivalentie is een bewerking die 2 proposities verbindt, zodat de equivalentie van
beide waar is als de beide proposities dezelfde waarde hebben.
Bv: p = jan is afwezig, q = jan is ziek.
De propositie = Jan is afwezig enkel en alleen als Jan ziek is, maar het klopt ook als Jan niet
aanwezig én niet ziek is.
Het symbool is “”
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Geef de oplossing voor de volgende oefeningen
Bespreek volgende proposities:
- Een vierkant is een vierhoek én een recht hoek is een ruit.
3
, pq 10 geeft 0
- Een vierkant is een vierhoek of een rechthoek is een ruit.
pq 10 geeft 1
- Als een vierkant een rechthoek is, dan is een rechthoek geen vierkant.
pq 11 1
- Als ik Napoleon ben, dan ben jij Marie-Louise.
pq 0 0 (of 1) geeft 1 (als bij een implicatie p 0 is, is de volledige
implicatie steeds 1)
- 12 is deelbaar door 3 en 12 is deelbaar door 4.
pq 11 1
- 1 m2 = 10 cm2 of 1 dm2 = 1000 cm2
pq 00 0
- 2 + 3 = 5 en 7 = 10
pq 10 0
- 2 + 3 = 5 of 4 + 7 = 10
pq 10 1
- De walvis is een vogel => Brussel ligt in Europa
pq 01 1
- Antwerpen ligt in Nederland Nederland ligt in de USA
p q 0 01
- - 2 = 2 => 4 = 4
pq 01 1
Geef de negatie van:
- Hasselt ligt in Limburg. Hasselt ligt niet in Limburg.
4
Hoofdstuk 1: logisch denken
Wat is logica?
Dit is de studie van de gedachtegang. Het uitsluiten van redeneerfouten is het doel. Kleuters
moeten de juiste redeneringen kunnen maken.
In de symbolische logica worden de redeneervormen zonder taal weergegeven door
symbolen. Verbale uitdrukkingen worden letters en tekens.
Bv: de aarde is rond = p, de deur is dicht = q. Als de deur dicht is, dan is de aarde rond q
=> p. Als de aarde rond is, dan is de deur dicht p => q.
Wat is een proportie?
Een proportie is een zinvolle uitspraak waarvan je met zekerheid kan zeggen of ze waar of
niet waar is. Je kan iets waarnemen. Uitspraken waarvan je niet kan zeggen of ze waar of
niet waar zijn, zijn geen proposities. Een vraag, wens, bevel of subjectieve uitspraak zijn
nooit proposities.
“Mijn map is blauw” = een propositie
“Dit is een mooie tas” = geen propositie
We noteren binair in een waarheidstabel. Waar = 1, niet waar = 0. We gebruiken altijd kleine
letters.
p q
1 1 Allebei waar
1 0 p is waar, q niet
0 1 p is niet waar, q wel
0 0 Allebei niet waar.
Pas logische bewerkingen toe op proposities.
Negatie van een propositie
Een negatie of een ontkenning. Die verandert de waarheidswaarde van de propositie van
waar naar niet waar en van niet waar naar waar. Het symbool hiervoor is .
Als p een propositie is, dan is p een propositie, de negatie van p. De waarheidstabel is dan:
p ¬p
1 0
0 1
Als je de negatie twee keer na elkaar toepast, krijg je de volgende waarheidstabel:
p ¬p ¬(¬p)
1
, 1 0 1
0 1 0
P en ¬(¬p) hebben dan dezelfde waarde. Een dubbele negatie heft zichzelf dus op.
Bv: het is niet onmogelijk om te slagen voor wiskunde.
Conjunctie van 2 proposities
Een conjunctie is een logische bewerking die 2 proposities met elkaar verbindt, zodat de
conjunctie van beide waar is als beide proposities waar zijn.
Bv: p = piet is ziek. q = piet gaat naar de dokter
De propositie = piet is ziek én piet gaat naar de dokter. Deze nieuwe propositie is enkel waar
als het allebei juist is. Is 1 van de 2 niet waar? Dan is de conjunctie ook niet waar.
Het symbool van conjunctie is “^”. … (en) ^ …
p q p^q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Disjunctie van twee proposities
Een disjunctie is een bewerking die 2 proposities met elkaar verbindt, zodat de disjunctie van
beide onwaar is als beide proposities onwaar zijn.
Bv: p = Jan gaat naar de kapper, q = Jan gaat naar de markt
De propositie = Jan gaat naar de kapper OF Jan gaat naar de markt. De propositie is steeds
waar, behalve als ze beide niet waar zijn. Als 1 van de 2 niet waar is, is de disjunctie dus nog
steeds waar.
Het symbool is “”
p q pq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Als we in een gewoon gesprek zeggen “we gaan zwemmen of we gaan naar de cinema”
bedoelen we ook één van beide. Bij het wiskundige kunnen ook beide uitspraken waar zijn.
2
,Je hebt hier ook nog de exclusive or. Het ene of het andere. Je gaat OF pasta OF frietjes
eten.
Een conjunctie is strenger dan een disjunctie!
Implicatie van twee proposities
Een implicatie is een bewerking die twee proposities met elkaar verbindt. De implicatie is
alleen niet waar als het antecedent p waar is en het consequent q onwaar is.
Bv: p = voetbalclub Anderlecht wint, q = ik trakteer.
De propositie is: Als Anderlecht wint, trakteer ik. De implicatie is alleen niet waar als p waar
is en q vals. Dus als Anderlecht wint en ik niet trakteer.
Het symbool hier is “=>”
p q p => q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Equivalentie van twee proposities
Een equivalentie is een bewerking die 2 proposities verbindt, zodat de equivalentie van
beide waar is als de beide proposities dezelfde waarde hebben.
Bv: p = jan is afwezig, q = jan is ziek.
De propositie = Jan is afwezig enkel en alleen als Jan ziek is, maar het klopt ook als Jan niet
aanwezig én niet ziek is.
Het symbool is “”
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Geef de oplossing voor de volgende oefeningen
Bespreek volgende proposities:
- Een vierkant is een vierhoek én een recht hoek is een ruit.
3
, pq 10 geeft 0
- Een vierkant is een vierhoek of een rechthoek is een ruit.
pq 10 geeft 1
- Als een vierkant een rechthoek is, dan is een rechthoek geen vierkant.
pq 11 1
- Als ik Napoleon ben, dan ben jij Marie-Louise.
pq 0 0 (of 1) geeft 1 (als bij een implicatie p 0 is, is de volledige
implicatie steeds 1)
- 12 is deelbaar door 3 en 12 is deelbaar door 4.
pq 11 1
- 1 m2 = 10 cm2 of 1 dm2 = 1000 cm2
pq 00 0
- 2 + 3 = 5 en 7 = 10
pq 10 0
- 2 + 3 = 5 of 4 + 7 = 10
pq 10 1
- De walvis is een vogel => Brussel ligt in Europa
pq 01 1
- Antwerpen ligt in Nederland Nederland ligt in de USA
p q 0 01
- - 2 = 2 => 4 = 4
pq 01 1
Geef de negatie van:
- Hasselt ligt in Limburg. Hasselt ligt niet in Limburg.
4
