Samenvatting Lineaire Algebra (deel 1)

LINEAIRE ALGEBRA DEEL 1



VECTOREN

Een vector ~a is een translatie (verschuiving) in de ruimte en gaat van een punt A naar een punt B.
Een vector wordt getekend als pijl −→. De verplaatsingsafstand van een vector wordt de lengte
van de vector genoemd. De lengte van een vector ~a heeft de notatie: |~a|.

De vector met lengte 0 is de nulvector: ~0.
De somvector a + ~ b krijg je door de verschuivingen bij elkaar op te tellen.
De verschilvector a −~ b krijg je door de verschuivingen van elkaar af te trekken.
Een scalaire vermenigvuldiging van een vector wordt genoteerd als λ~a met λ ∈ R.
Een vast punt O in de ruimte noemen we de oorsprong.

Voor elk drietal vectoren ~a, ~b, ~c en elk tweetal getallen λ, µ ∈ R geldt:

1. a + b = b + a

2. a + (b + c) = (a + b) + c

3. λ(a + b) = λa + λb

4. (λ + µ)a = λa + µa

5. λ(µa) = (λµ)a


De punten van de lijn l worden gegeven door de verzameling l = {~ p + λ~a : λ ∈ R}.
Het gedeelte p~ + λ~a heet een parametervoorstelling of vectorvoorstelling van de lijn l.
De vector p~ heet de steunvector van de lijn en ~a 6= ~0 is de richtingsvector van de lijn.

Een tweetal vectoren ~a, ~b heet onafhankelijk als de één geen scalair veelvoud is van de ander.
Dus ~a, ~b zijn onafhankelijk als ze beide niet ~0 zijn en als ze in verschillende en niet-tegengestelde
richtingen wijzen.
n o
V wordt gegeven door de vectoren p~ + λ~a + µ~b : λ, µ ∈ R en dit heet een parametervoorstelling
van een vlak V. Hierin is p~ wederom de steunvector en zijn ~a, ~b de richtingsvectoren.

We kunnen elke vector ~a schrijven in de vorm λe~1 + µe~2 + ν e~3 voor goed gekozen λ, µ, ν. Daarbij
zijn λ, µ, ν de coördinaten of kentallen van de vector ~a ten opzichte van de basis e~1 , e~2 , e~3 .
(λ stappen naar voren, µ stappen naar rechts, ν stappen naar boven.)
 
x1
Kolomvector notatie: x2 
x3
Rijvector notatie: (x1 , x2 , x3 )t waarin t (transpositie) betekent dat we van een rij een kolom maken.




1

, We noemen een tweetal niet-evenwijdige lijnen dat elkaar niet snijdt, kruisend.

Behalve parametervoorstellingen van een vlak kan een vlak ook gekarakteriseerd worden door een
vergelijking van een vlak. Bijvoorbeeld, beschouw het vlak bestaande uit de punten met
coördinaten x1 , x2 , x3 die gegeven wordt door de parametervoorstelling
       
x1 1 1 −2
x2  = 3 + λ −1 + µ  0 
x3 1 −1 −1
Uitgeschreven geeft dit,
x1 = 1 + λ − 2µ
x2 = 3 − λ
x3 = 1 − λ − µ
En dit zorgt voor de vergelijking x1 + 3x2 − 2x3 = 8 waaruit λ, µ verdreven zijn.
Parametervoorstellingen van lijnen en vlakken zijn niet uniek vastgelegd.


INWENDIGE PRODUCTEN

Het inwendig product van ~a en ~b is het getal |~a||~b| cos φ en heeft als notatie: ~a · ~b. De hoek
ligt tussen 0 en π radialen in.

Als ~a en ~b loodrecht op elkaar staan (φ = π/2), dan geldt ~a · ~b = 0. Als ~a of ~b de nulvector is,
dan is het begrip ”hoek” tussen ~a en ~b niet goed gedefinieerd. In dat geval spreken we af dat ~a ·~b = 0.

De lengte van x met kentallen x1 , x2 , x3 wordt, via de Stelling van Pythagoras, gegeven door
|~x|2 = x21 + x22 + x23
q √
En dus korter geschreven als |~x| = x21 + x22 + x23 = ~x · ~x

Voor elk tweetal vectoren ~x, ~y met kentallen (x1 , x2 , x3 ) en (y1 , y2 , y3 ) geldt
~x · ~y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
Twee vectoren ~x, ~y zijn onderling orthogonaal als ~x · ~y = 0.

Bij elk vlak hoort een zogenaamde normaalvector welke loodrecht op het vlak staat. Deze is op
scalaire factor na vastgelegd. Kies een normaalvector ~n van V en stel p~ ∈ V: Elk punt x ∈ V heeft
de eigenschap dat ~n · (~x − p~) = 0 Ofwel, ~n · ~x = ~n · p~, in coördinaten:
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = n1 p1 + n2 p2 + n3 p3
De normaalvector kan ook gebruikt worden om een vergelijking van het vlak op te stellen. Als we
weer het voorbeeld pakken van hierboven, krijgen we:
   
1 −2
~n · −1 = ~n ·  0  = 0
−1 −1

2