H5 Cirkels
Voorkennis
Pagina 122
V-1a AB= '152 + 12 = .\15; BC= '1/22 + 22 = = 2"\I; AC= -\132 + 32 = \l =
b BC2 + AC2 = 18 + 8 = 26 = AB2 dus geldt de stelling van Pythagoras.
Hieruit volgt dat driehoek ABC een rechthoekige driehoek is.
V-2a x = p invullen geeft y = 2p - 2.
b PA = \I(1) - p)2 + (3 - (2p - 2))2 "\Ip2 + (5 - 2p)2 = <5p2 - 20p + 25;
PB= - p)2 + (1 - (2p - 2))2 = -■1(4 - p)2 + (3 - 2p)2
= '\116 - 8p + p2 + 9 - 12p + 4p2 = '\I5p2 - 20p + 25
c Uit de antwoorden van vraag b blijkt dat PA = PB voor alle waarden van p.
V-3 Punt S ligt op de middelloodlijn van zijde AB, dus geldt SA = SB.
Punt S ligt op de middelloodlijn van zijde BB, dus geldt SB = SC.
Hieruit volgt: SA = SC, dus ligt punt S op de middelloodlijn van zijde AC.
Pagina 123
V-4a Gebruik a +13 + y = 180°, dus y = 10°.
a b c
Gegevens invullen in =- = geeft
sin(a) sin(13) sin(y)
a 5,4 c
sin(110°) sin(60°) sin(10°).
5,4 . sin(110°) 5,4 . sin(10°)
Hieruit volgt dat a = sin(600) - 5,9 en c = - 1 1.
sin(60°) '
b Gebruik a + p + y = 180°, dus a = 180° - 87° - 54° = 39°.
a b c 7 b c
Gegevens invullen in = geeft w o, = =
sin(a) sin(f1)=sin(y) sin(39°)) sin(87°) sin(54°).
7 . sin(87°) 7 - sin(54°)
Hieruit volgt dat b =
sin(39°) -- 113 en C = sin(39°) ~ 9'0'
a b c 39 54 c
c Gegevens invullen in . = = geeft =
sm(a) sm((3) sin(y) sin(a) sin(69°) sin(y)
39 . sin(69°)
Hieruit volgt dat sin(a) = - 0,6743, dus a .--- 42°.
54
Gebruik a + p + y = 180°, dus y = 180° - 42° - 69° = 69°.
De driehoek is gelijkbenig dus c = 54.
a c 5 8
v-sa Gegevens invullen in b geeft
sin(a) sin(13) sin(y) sin(31°) sin(13).
8 • sin(31°)
Hieruit volgt dat sin((3) = 5 - 0,8241, dus P2 2., 55° en f3 --, 125°.
, HOOFDSTUK 5 CIRKELS
5 AB1
b LACA = 180° - 31° - 125° = 24° invullen geeft
sin(31°) sin(24°).
5 • sin(24°)
Hieruit volgt dat ABS =
sin(31°) 3'9-
5 AB2
LACB2 = 180° - 31° - 55° = 94° invullen geeft
sin(31°) sin(94°)-
5 - sin(94°)
Hieruit volgt dat AB2 =
sin(31°) 9,7
V-6a Invullen van de gegevens levert QR2 = 312 + 122 - 2 • 31 • 12 • cos(123°).= 1510,21.
Dus QR P-- 38,9.
b Invullen van de gegevens in LM2 = KL2 + KM2 - 2 • KL • KM • cos(LK) levert
182 = 152 + 122 - 2.15 • 12 • cos(LK).
45
Hieruit volgt cos(LK) = 0,125, dus LK 82,8° . 83°.
360
Invullen van de gegevens in KL2 = KM2 + LM2 - 2 • KM • LM • cos(LM) levert
152 = 122 + 182 - 2 • 12 18 • cos(LM).
243
Hieruit volgt cos(LM) =432 — .0,5625, dus LM. 55,8° . 56°.
Invullen van de gegevens in KM2 = LK2 + LM2 - 2 • LK- LM • cos(LL) levert
122 = 152 + 182 2 • 15 • 18 • cos(LM).
405
Hieruit volgt cos(LL) =540 — . 0,75, dus LL . 41,41° . 41°.
Controleer of LK + ZM + LL = 180° geldt.
82,8° + 55,8° + 41,4° = 180°, dat klopt.
V-7a MC = \I32 + 42 = -\125 = 5, ME= '\112 + 42 = -\117 en
EC= 1JEA2 + AC2 = \I42 ± 42 ± 42 = 445.
b Invullen in EC2 = EM2 + MC2 - 2 • EM • MC • cos(LEMC) levert
48= 17 + 25 - 2 • .\117 • 5 - cos(LEMC).
-6
Hieruit volgt cos(LEMC) = 10-\-7 - 0,1455, dus LEMC 98,4° . 98°.
- '1
j
Invullen in MC2 = EM2 + EC2 - 2 • EM • EC • cos(LMEC) levert
25 = 17 + 48 - 2 • .ffi • 4)15 • cos(LEMC).
Hieruit volgt cos(LMEC) = jL 0,7001, dus LMEC-.. 45,6° 46°.
84/51
Invullen in EM2 = EC2 + MC2 - 2 • EC - MC - cos(LECM) levert
17 = 48 + 25 - 2 • 4\15 • 5 • cos(LECM).
Hieruit volgt cos(LECM) = 0,8083, dus LECM 36,1° 36°.
400
Controleer of LEMC + LMEC + LECM = 180° geldt.
98,4° + 45,6° + 36,1° = 180,1°, kleine fout veroorzaakt door afronding.
, HOOFDSTUK 5 CIRKELS
5-1 Lijnen
Pagina 124
la y=-4x+ 7
b 16x — 5y = 10 herschrijven geeft —5y = —16x + 10, dus y = 3 5x — 2.
c
x
2a Sitah: 11x — 14 = + 41 ofwel 2x = 6, dus x = 3.
Sean: 3x + (5x — 7) = 17 ofwel 8x = 24, dus x = 3.
Het snijpunt is (3, 2).
b Substitutie is hier handiger, omdat in beide vergelijkingen een term 4y
voorkomt.
c Stelsel 1: gelijkstellen geeft 2x + 1 = 3x — 2 ofwel —x = —3, dus x = 3 en y = 7.
Stelsel 2: 4b = a + 5 substitueren in 3a + 4b = 17 geeft 3a + (a + 5) = 17
ofwel 4a = 12, dus a = 3 en h = 2.
Stelsel 3: q = — DJ + en q = 3 p — 1
2 gelijkstellen geeft
7 20 _
p— T—
3
+ 18 ofwel 35p — 100 = —9p + 54.
Hieruit volgt 44p = 154, dus =D = 154 _ 7 — .2 1 3 7 18 _ 15 _ 1
44 — 2 2 en q = --
5 2 + 5 — 10
Stelsel 4: 3v = —7w + 7 substitueren in —3v + 2w = 29 geeft
—(-7w + 7) + 2w = 29 ofwel 9w = 36, dus w = 4 en v = —7.
3a Dat kan op twee manieren:
Methode 1: Het midden van B(4, —1) en C(2, 3) is D(3, 1).
Lijn door A en D heeft richtingseoëfficiënt 31 _ 1. Ook
= =2 ligt
A(-1, —1) op y + n, dit geeft —1 =1 • (-1) + n, dus n = —1.
Hieruit volgt dat een vergelijking voor de lijn AD is y = —2x — 1 ofwel
—2y = x + 1, dus x — 2y = 1.
Methode 2: Het midden van A(-1, —1) en C(2, 3) is E(1, 1).
Liggen B en E op de lijn met vergelijking 4x + 7y = 9?
B(4, —1) invullen geeft 4 • 4 + 7 • (-1) = 9, dat klopt.
E(2, 1) invullen geeft 4 . 1 + 7 • 1 = 9, dat klopt.
b x = 2y + 1 substitueren in 4x + 7y = 9 geeft 4(2y + 1) + 7y = 9
ofwel 15y .= 5, dus y = 1 en x = 1 3.
Hieruit volgt dat snijpunt S als coordinaten (1 heeft.
, HOOFDSTUK 5 CIRKELS
(_ 1))2 ± (31 ( 1))2 = Ï83)2 ± (3)2 = ..\T
90 = 3 17-
c AS =...\1(1 - r en
02 _ (12 4 e\2 _ 7-
0 , f
2
DS = \(I -(3))+@- ) N 9 = ■p. Hieruit volgt dat
AS: DS=1\I:i'..\= 2 : 1.
(_1) )2 _‘1(3)2 + (3 \2
BS =. 1(li - 4)2 + G - ) N6' = i \)65 en
—66
ES " = .■1( 11. - 1)2 + (I - 02 =11(6)2 + (3)2 . = ,—‘i-\],65. Hieruit volgt dat
BS: ES=-13 <65 61 <65 = =2
Pagina 125
4a Eerst een tekening maken.
1I•EZ••••
REESSERE
WARRESS
RREMEEME
Rgiall1RRER x
MEENEMER
Het midden van A(6, 2) en B(2, 4) is P(4, 3).
Een vergelijking op van de lijn OP is y = Dc.
b OA = -\162 + 22 = <40 = 2<10; AP = -\122 + 12 = a 0 P = 142 + 32 = <25 = 5.
c De gegevens invullen in OP2 = 0A2 + AP2 - 2 • OA • AF • cosLOAP geeft
25 = 40 + 5 - 2 • 2i» • • cosLOAP. Hieruit volgt
cosLOAP = 20 = 1 = \12, dus LOAP = 45°.
20\12 \12
De gegevens invullen in AP2 = 0A2 + OP2 - 2. OA • OP • cosLA OP
geeft 5 = 40 + 25 - 2 - 2\110.5 • cosZA OP.
60
Hieruit volgt cosLA OP = — 0,9487, dus LAOP 18,4° 18°.
20\1173 = \IV)
De gegevens invullen in 0A2 = OP2 + AP2 - 2 • OP • AP • cosLOPA
geeft 40 = 5 + 25 - 2 • \1 • 5 • cosLOPA.
Hieruit volgt cosLOPA =— — 0,4472, dus LOPA 116,6° 117°.
-10 = -1
Controleer of LOAP + LAOP + LOPA = 180° geldt.
45° + 18,4° + 116,6° = 180°, dat klopt.
5a tan(ot) = 1, dus a = 45°.
b De richtingscoëfficiënt is gelijk aan de tangens van a.
c tan(13) = 3, dus [3 . 71,6° 72°.
Voorkennis
Pagina 122
V-1a AB= '152 + 12 = .\15; BC= '1/22 + 22 = = 2"\I; AC= -\132 + 32 = \l =
b BC2 + AC2 = 18 + 8 = 26 = AB2 dus geldt de stelling van Pythagoras.
Hieruit volgt dat driehoek ABC een rechthoekige driehoek is.
V-2a x = p invullen geeft y = 2p - 2.
b PA = \I(1) - p)2 + (3 - (2p - 2))2 "\Ip2 + (5 - 2p)2 = <5p2 - 20p + 25;
PB= - p)2 + (1 - (2p - 2))2 = -■1(4 - p)2 + (3 - 2p)2
= '\116 - 8p + p2 + 9 - 12p + 4p2 = '\I5p2 - 20p + 25
c Uit de antwoorden van vraag b blijkt dat PA = PB voor alle waarden van p.
V-3 Punt S ligt op de middelloodlijn van zijde AB, dus geldt SA = SB.
Punt S ligt op de middelloodlijn van zijde BB, dus geldt SB = SC.
Hieruit volgt: SA = SC, dus ligt punt S op de middelloodlijn van zijde AC.
Pagina 123
V-4a Gebruik a +13 + y = 180°, dus y = 10°.
a b c
Gegevens invullen in =- = geeft
sin(a) sin(13) sin(y)
a 5,4 c
sin(110°) sin(60°) sin(10°).
5,4 . sin(110°) 5,4 . sin(10°)
Hieruit volgt dat a = sin(600) - 5,9 en c = - 1 1.
sin(60°) '
b Gebruik a + p + y = 180°, dus a = 180° - 87° - 54° = 39°.
a b c 7 b c
Gegevens invullen in = geeft w o, = =
sin(a) sin(f1)=sin(y) sin(39°)) sin(87°) sin(54°).
7 . sin(87°) 7 - sin(54°)
Hieruit volgt dat b =
sin(39°) -- 113 en C = sin(39°) ~ 9'0'
a b c 39 54 c
c Gegevens invullen in . = = geeft =
sm(a) sm((3) sin(y) sin(a) sin(69°) sin(y)
39 . sin(69°)
Hieruit volgt dat sin(a) = - 0,6743, dus a .--- 42°.
54
Gebruik a + p + y = 180°, dus y = 180° - 42° - 69° = 69°.
De driehoek is gelijkbenig dus c = 54.
a c 5 8
v-sa Gegevens invullen in b geeft
sin(a) sin(13) sin(y) sin(31°) sin(13).
8 • sin(31°)
Hieruit volgt dat sin((3) = 5 - 0,8241, dus P2 2., 55° en f3 --, 125°.
, HOOFDSTUK 5 CIRKELS
5 AB1
b LACA = 180° - 31° - 125° = 24° invullen geeft
sin(31°) sin(24°).
5 • sin(24°)
Hieruit volgt dat ABS =
sin(31°) 3'9-
5 AB2
LACB2 = 180° - 31° - 55° = 94° invullen geeft
sin(31°) sin(94°)-
5 - sin(94°)
Hieruit volgt dat AB2 =
sin(31°) 9,7
V-6a Invullen van de gegevens levert QR2 = 312 + 122 - 2 • 31 • 12 • cos(123°).= 1510,21.
Dus QR P-- 38,9.
b Invullen van de gegevens in LM2 = KL2 + KM2 - 2 • KL • KM • cos(LK) levert
182 = 152 + 122 - 2.15 • 12 • cos(LK).
45
Hieruit volgt cos(LK) = 0,125, dus LK 82,8° . 83°.
360
Invullen van de gegevens in KL2 = KM2 + LM2 - 2 • KM • LM • cos(LM) levert
152 = 122 + 182 - 2 • 12 18 • cos(LM).
243
Hieruit volgt cos(LM) =432 — .0,5625, dus LM. 55,8° . 56°.
Invullen van de gegevens in KM2 = LK2 + LM2 - 2 • LK- LM • cos(LL) levert
122 = 152 + 182 2 • 15 • 18 • cos(LM).
405
Hieruit volgt cos(LL) =540 — . 0,75, dus LL . 41,41° . 41°.
Controleer of LK + ZM + LL = 180° geldt.
82,8° + 55,8° + 41,4° = 180°, dat klopt.
V-7a MC = \I32 + 42 = -\125 = 5, ME= '\112 + 42 = -\117 en
EC= 1JEA2 + AC2 = \I42 ± 42 ± 42 = 445.
b Invullen in EC2 = EM2 + MC2 - 2 • EM • MC • cos(LEMC) levert
48= 17 + 25 - 2 • .\117 • 5 - cos(LEMC).
-6
Hieruit volgt cos(LEMC) = 10-\-7 - 0,1455, dus LEMC 98,4° . 98°.
- '1
j
Invullen in MC2 = EM2 + EC2 - 2 • EM • EC • cos(LMEC) levert
25 = 17 + 48 - 2 • .ffi • 4)15 • cos(LEMC).
Hieruit volgt cos(LMEC) = jL 0,7001, dus LMEC-.. 45,6° 46°.
84/51
Invullen in EM2 = EC2 + MC2 - 2 • EC - MC - cos(LECM) levert
17 = 48 + 25 - 2 • 4\15 • 5 • cos(LECM).
Hieruit volgt cos(LECM) = 0,8083, dus LECM 36,1° 36°.
400
Controleer of LEMC + LMEC + LECM = 180° geldt.
98,4° + 45,6° + 36,1° = 180,1°, kleine fout veroorzaakt door afronding.
, HOOFDSTUK 5 CIRKELS
5-1 Lijnen
Pagina 124
la y=-4x+ 7
b 16x — 5y = 10 herschrijven geeft —5y = —16x + 10, dus y = 3 5x — 2.
c
x
2a Sitah: 11x — 14 = + 41 ofwel 2x = 6, dus x = 3.
Sean: 3x + (5x — 7) = 17 ofwel 8x = 24, dus x = 3.
Het snijpunt is (3, 2).
b Substitutie is hier handiger, omdat in beide vergelijkingen een term 4y
voorkomt.
c Stelsel 1: gelijkstellen geeft 2x + 1 = 3x — 2 ofwel —x = —3, dus x = 3 en y = 7.
Stelsel 2: 4b = a + 5 substitueren in 3a + 4b = 17 geeft 3a + (a + 5) = 17
ofwel 4a = 12, dus a = 3 en h = 2.
Stelsel 3: q = — DJ + en q = 3 p — 1
2 gelijkstellen geeft
7 20 _
p— T—
3
+ 18 ofwel 35p — 100 = —9p + 54.
Hieruit volgt 44p = 154, dus =D = 154 _ 7 — .2 1 3 7 18 _ 15 _ 1
44 — 2 2 en q = --
5 2 + 5 — 10
Stelsel 4: 3v = —7w + 7 substitueren in —3v + 2w = 29 geeft
—(-7w + 7) + 2w = 29 ofwel 9w = 36, dus w = 4 en v = —7.
3a Dat kan op twee manieren:
Methode 1: Het midden van B(4, —1) en C(2, 3) is D(3, 1).
Lijn door A en D heeft richtingseoëfficiënt 31 _ 1. Ook
= =2 ligt
A(-1, —1) op y + n, dit geeft —1 =1 • (-1) + n, dus n = —1.
Hieruit volgt dat een vergelijking voor de lijn AD is y = —2x — 1 ofwel
—2y = x + 1, dus x — 2y = 1.
Methode 2: Het midden van A(-1, —1) en C(2, 3) is E(1, 1).
Liggen B en E op de lijn met vergelijking 4x + 7y = 9?
B(4, —1) invullen geeft 4 • 4 + 7 • (-1) = 9, dat klopt.
E(2, 1) invullen geeft 4 . 1 + 7 • 1 = 9, dat klopt.
b x = 2y + 1 substitueren in 4x + 7y = 9 geeft 4(2y + 1) + 7y = 9
ofwel 15y .= 5, dus y = 1 en x = 1 3.
Hieruit volgt dat snijpunt S als coordinaten (1 heeft.
, HOOFDSTUK 5 CIRKELS
(_ 1))2 ± (31 ( 1))2 = Ï83)2 ± (3)2 = ..\T
90 = 3 17-
c AS =...\1(1 - r en
02 _ (12 4 e\2 _ 7-
0 , f
2
DS = \(I -(3))+@- ) N 9 = ■p. Hieruit volgt dat
AS: DS=1\I:i'..\= 2 : 1.
(_1) )2 _‘1(3)2 + (3 \2
BS =. 1(li - 4)2 + G - ) N6' = i \)65 en
—66
ES " = .■1( 11. - 1)2 + (I - 02 =11(6)2 + (3)2 . = ,—‘i-\],65. Hieruit volgt dat
BS: ES=-13 <65 61 <65 = =2
Pagina 125
4a Eerst een tekening maken.
1I•EZ••••
REESSERE
WARRESS
RREMEEME
Rgiall1RRER x
MEENEMER
Het midden van A(6, 2) en B(2, 4) is P(4, 3).
Een vergelijking op van de lijn OP is y = Dc.
b OA = -\162 + 22 = <40 = 2<10; AP = -\122 + 12 = a 0 P = 142 + 32 = <25 = 5.
c De gegevens invullen in OP2 = 0A2 + AP2 - 2 • OA • AF • cosLOAP geeft
25 = 40 + 5 - 2 • 2i» • • cosLOAP. Hieruit volgt
cosLOAP = 20 = 1 = \12, dus LOAP = 45°.
20\12 \12
De gegevens invullen in AP2 = 0A2 + OP2 - 2. OA • OP • cosLA OP
geeft 5 = 40 + 25 - 2 - 2\110.5 • cosZA OP.
60
Hieruit volgt cosLA OP = — 0,9487, dus LAOP 18,4° 18°.
20\1173 = \IV)
De gegevens invullen in 0A2 = OP2 + AP2 - 2 • OP • AP • cosLOPA
geeft 40 = 5 + 25 - 2 • \1 • 5 • cosLOPA.
Hieruit volgt cosLOPA =— — 0,4472, dus LOPA 116,6° 117°.
-10 = -1
Controleer of LOAP + LAOP + LOPA = 180° geldt.
45° + 18,4° + 116,6° = 180°, dat klopt.
5a tan(ot) = 1, dus a = 45°.
b De richtingscoëfficiënt is gelijk aan de tangens van a.
c tan(13) = 3, dus [3 . 71,6° 72°.
