Funciones
Primeros conceptos
Una función es una relación entre dos conjuntos, un “conjunto de partida” llamado Dominio
y un “conjunto de llegada” llamado Codominio, que cumple lo siguiente:
cada elemento del Dominio debe estar relacionado con exactamente un elemento en el Codo-
minio (ni más ni menos).
Podemos dar una primera visión de una función a través de los llamados “Diagramas de Venn”,
por ejemplo:
f
-2 1
0 3
1 0
4 -3
-2
Dominio Codominio
Este “diagrama” muestra una función llamada f cuyo dominio es el conjunto {−2, 0, 1, 4} y
cuyo codomonio es el {−3, −2, 0, 1, 3}. Esto se esribe en sı́mbolos ası́:
dom(f ) = {−2, 0, 1, 4},
codom(f ) = {−3, −2, 0, 1, 3}.
o también se escribe ası́:
f : {−2, 0, 1, 4} → {−3, −2, 0, 1, 3}
Esto es algo general, o sea, cada vez que uno vea f : A → B, se sobreentenderá que el conjunto
A es el dominio de f y el conjunto B es el codominio de f .
También podemos ver que esta función en particular relaciona, por ejemplo, el elemento −2
con el 1 y esto puede decirse de varias formas:
que el −2 del dominio “va a parar” al 1 del codomonio, o también que el 1 es la “imagen” del
−2 a través de f , o también que f (−2) = 1. Ésta última forma será muy usada.
1
,Del mismo modo podemos decir que f (0) = 3, f (1) = 0 y f (4) = −3.
Volviendo un poco a la definición de función, veamos algunos ejemplos de relaciones que son
funciones y otras que no lo son:
f f f
a a a
d d d
b b b
j
c e c e e
Dominio Codominio Dominio Codominio Dominio Codominio
No es función ya que el ele- Si es función. No es función ya que el ele-
mento c del dominio no está mento b del dominio está rela-
relacionado con ningún ele- cionado con más de un elemento
mento del codominio. del codominio (con d y e).
Cuatro formas de representar una función
La primer forma ya la vimos y es lo que lla- f
-2 1
mamos “Diagramas de Venn”. Son muy
0 3
claros y didácticos pero tienen la desventaja de
1 0
que si el dominio o el codominio son conjuntos
4 -3
muy grandes (o infinitos) se vuelven inmane-
-2
jables.
Dominio Codominio
Representemos la misma función de una Dominio Codominio
segunda forma llamada representación por -2 1
“Tabla”. Cada una de las flechas anteriores 0 3
ahora pasan a ser “renglones”. Tiene las mis- 1 0
mas virtudes y defectos que los diagramas de 4 -3
Venn. -2
La tercer forma que veremos se llama representación a través de “Ejes cartesianos”. Se
ubican los puntos del dominio sobre el eje horizontal, los del codominio sobre el eje vertical
y las flechas (o renglones) anteriores pasan a ser “puntos en el plano”. Expliquemos esto con
nuestro ejemplo:
2
, Nuestra función “manda”, por ejemplo, el −2
del dominio al 1 del codominio, entonces mar- Codominio
camos en el plano el punto (−2, 1). Este punto
expresará lo anterior en el siguiente sentido: me
1
muevo verticalmente desde el −2 ( que está en
el eje horizontal) hasta chocar con el punto y Dominio
-2
desde ahı́ me muevo horizontalmente hasta el
eje vertical.
Codominio
Esta última forma será de suma importancia para
3
nosotros y es imprescindible entender como “funciona”.
1
De la misma forma ubicamos el resto de los puntos de 00 Dominio
-2 1 4
nuestra función y obtenemos el gráfico de la derecha (esa
-2
es la representación en ejes cartesianos de f ): -3
La cuarta forma de representar una función es a través de “fórmulas”. Expliquemos esto con
un ejemplo. La expresión f : R → R , f (x) = 2.x + 5 querrá decir que f es una función
cuyo dominio es R y cuyo codominio es R (ver más arriba) y que los valores x del dominio se
transforman en valores f (x) del codominio mediante la fórmula 2.x + 5. Por ejemplo:
f (−2) = 2.(−2) + 5 = 1 (reemplazo la x por el x y
valor que quiero transformar) Podemos escribir todo -2 1
f (−1) = 2.(−1) + 5 = 3 esto en forma de tabla -1 3
f (0) = 2.0 + 5 = 5 (tı́pica en la escuela se- 0 5
f (1) = 2.1 + 5 = 7 cundaria): 1 7
.. .. .. .. ..
. . . . .
Desde ya solo hemos calculado unos pocos valores (y podrı́amos calcular infinitos más) pero
acá está la gran ventaja de las fórmulas y los ejes cartesianos: si ubicamos esto en un par de
ejes cartesianos y unimos esos puntos nos encontramos con una figura clara (en este caso una
recta) y en los infinitos puntos de esa figura están los infinitos renglones de la tabla anterior
(pensarlo!). En un solo trazo tenemos representada toda la función f (ver las figuras abajo).
3
Primeros conceptos
Una función es una relación entre dos conjuntos, un “conjunto de partida” llamado Dominio
y un “conjunto de llegada” llamado Codominio, que cumple lo siguiente:
cada elemento del Dominio debe estar relacionado con exactamente un elemento en el Codo-
minio (ni más ni menos).
Podemos dar una primera visión de una función a través de los llamados “Diagramas de Venn”,
por ejemplo:
f
-2 1
0 3
1 0
4 -3
-2
Dominio Codominio
Este “diagrama” muestra una función llamada f cuyo dominio es el conjunto {−2, 0, 1, 4} y
cuyo codomonio es el {−3, −2, 0, 1, 3}. Esto se esribe en sı́mbolos ası́:
dom(f ) = {−2, 0, 1, 4},
codom(f ) = {−3, −2, 0, 1, 3}.
o también se escribe ası́:
f : {−2, 0, 1, 4} → {−3, −2, 0, 1, 3}
Esto es algo general, o sea, cada vez que uno vea f : A → B, se sobreentenderá que el conjunto
A es el dominio de f y el conjunto B es el codominio de f .
También podemos ver que esta función en particular relaciona, por ejemplo, el elemento −2
con el 1 y esto puede decirse de varias formas:
que el −2 del dominio “va a parar” al 1 del codomonio, o también que el 1 es la “imagen” del
−2 a través de f , o también que f (−2) = 1. Ésta última forma será muy usada.
1
,Del mismo modo podemos decir que f (0) = 3, f (1) = 0 y f (4) = −3.
Volviendo un poco a la definición de función, veamos algunos ejemplos de relaciones que son
funciones y otras que no lo son:
f f f
a a a
d d d
b b b
j
c e c e e
Dominio Codominio Dominio Codominio Dominio Codominio
No es función ya que el ele- Si es función. No es función ya que el ele-
mento c del dominio no está mento b del dominio está rela-
relacionado con ningún ele- cionado con más de un elemento
mento del codominio. del codominio (con d y e).
Cuatro formas de representar una función
La primer forma ya la vimos y es lo que lla- f
-2 1
mamos “Diagramas de Venn”. Son muy
0 3
claros y didácticos pero tienen la desventaja de
1 0
que si el dominio o el codominio son conjuntos
4 -3
muy grandes (o infinitos) se vuelven inmane-
-2
jables.
Dominio Codominio
Representemos la misma función de una Dominio Codominio
segunda forma llamada representación por -2 1
“Tabla”. Cada una de las flechas anteriores 0 3
ahora pasan a ser “renglones”. Tiene las mis- 1 0
mas virtudes y defectos que los diagramas de 4 -3
Venn. -2
La tercer forma que veremos se llama representación a través de “Ejes cartesianos”. Se
ubican los puntos del dominio sobre el eje horizontal, los del codominio sobre el eje vertical
y las flechas (o renglones) anteriores pasan a ser “puntos en el plano”. Expliquemos esto con
nuestro ejemplo:
2
, Nuestra función “manda”, por ejemplo, el −2
del dominio al 1 del codominio, entonces mar- Codominio
camos en el plano el punto (−2, 1). Este punto
expresará lo anterior en el siguiente sentido: me
1
muevo verticalmente desde el −2 ( que está en
el eje horizontal) hasta chocar con el punto y Dominio
-2
desde ahı́ me muevo horizontalmente hasta el
eje vertical.
Codominio
Esta última forma será de suma importancia para
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nosotros y es imprescindible entender como “funciona”.
1
De la misma forma ubicamos el resto de los puntos de 00 Dominio
-2 1 4
nuestra función y obtenemos el gráfico de la derecha (esa
-2
es la representación en ejes cartesianos de f ): -3
La cuarta forma de representar una función es a través de “fórmulas”. Expliquemos esto con
un ejemplo. La expresión f : R → R , f (x) = 2.x + 5 querrá decir que f es una función
cuyo dominio es R y cuyo codominio es R (ver más arriba) y que los valores x del dominio se
transforman en valores f (x) del codominio mediante la fórmula 2.x + 5. Por ejemplo:
f (−2) = 2.(−2) + 5 = 1 (reemplazo la x por el x y
valor que quiero transformar) Podemos escribir todo -2 1
f (−1) = 2.(−1) + 5 = 3 esto en forma de tabla -1 3
f (0) = 2.0 + 5 = 5 (tı́pica en la escuela se- 0 5
f (1) = 2.1 + 5 = 7 cundaria): 1 7
.. .. .. .. ..
. . . . .
Desde ya solo hemos calculado unos pocos valores (y podrı́amos calcular infinitos más) pero
acá está la gran ventaja de las fórmulas y los ejes cartesianos: si ubicamos esto en un par de
ejes cartesianos y unimos esos puntos nos encontramos con una figura clara (en este caso una
recta) y en los infinitos puntos de esa figura están los infinitos renglones de la tabla anterior
(pensarlo!). En un solo trazo tenemos representada toda la función f (ver las figuras abajo).
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