Tentamen Lineaire Algebra 2021
René Bruin
January 2025
Opgave 1
(20 punten) In R3 is de lijn l gegeven door
Ñ é Ñ é
1 2
l = 0 +λ 1
1 0
en de lijn m is gegeven als de snijlijn van de twee vlakken gegeven door
x1 + 2x2 − 2x3 = 0 en 2x1 − x2 + x3 = 0.
(a) (6 punten) Bewijs dat de twee lijnen l en m elkaar niet snijden.
(b) (7 punten) Geef een parametrisatie van de lijn m.
(c) (7 punten) Bereken de afstand tussen l en m.
Oplossing:
(a)
Een punt op de lijn l is gegeven door
x1 = 1 + 2λ, x2 = λ, x3 = 1.
Je kunt nu deze waarden invullen in de vergelijkingen van de vlakken:
®
(1 + 2λ) + 2(λ) − 2(1) = 0
2(1 + 2λ) − (λ) + (1) = 0.
Dit geeft het stelsel ®
4λ − 1 = 0
3λ + 3 = 0.
Dit stelsel heeft geen oplossing, dus de lijnen snijden elkaar niet.
(b)
Merk op dat een snijlijn van twee vlakken één dimensionaal is, oftewwel we kunnen één variabel vrij kiezen.
Zeg x3 = t. Dan kunnen we x1 en x2 uitdrukken in termen van t door het volgende stelsel op te lossen:
®
x1 + 2x2 − 2t = 0
2x1 − x2 + t = 0.
Nu kun je twee keer de onderste rij optellen bij de bovenste rij om zo x2 te elimineren:
®
5x1 = 0
2x1 − x2 + t = 0.
1
, Dit geeft x1 = 0. Invullen in de onderste rij geeft x2 = t. Dus een parametrisatie van de lijn m is
Ñ é
0
t , t ∈ R.
t
(c)
De afstand tussen twee lijnen in R3 die elkaar niet snijden kan worden berekend met de formule
|(p⃗2 − p⃗1 ) · (d⃗1 × d⃗2 )|
d= ,
|d⃗1 × d⃗2 |
waarbij p⃗1 en p⃗2 punten op respectievelijk lijn l en lijn m zijn, en d⃗1 en d⃗2 de richtingsvectoren van de lijnen
zijn. Ñ é Ñ é Ñ é
1 0 2
Kies p⃗1 = 0 en p⃗2 = 0 (dit is het punt op lijn m als t = 0). De richtingsvector van lijn l is d⃗1 = 1
1 0 0
Ñ é
0
en de richtingsvector van lijn m is d⃗2 = 1 .
1
⃗
Bereken nu d1 × d2 :⃗
Ñ é
î ĵ k̂ 1
d⃗1 × d⃗2 = 2 1 0 = î(1 ∗ 1 − 0 ∗ 1) − ĵ(2 ∗ 1 − 0 ∗ 0) + k̂(2 ∗ 1 − 1 ∗ 0) = −2 .
0 1 1 2
Bereken nu de lengte van deze vector:
» √ √
|d⃗1 × d⃗2 | = 12 + (−2)2 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3.
Nu berekenen we (p⃗2 − p⃗1 ): Ñ é Ñ é Ñ é
0 1 −1
p⃗2 − p⃗1 = 0 − 0 = 0 .
0 1 −1
Bereken nu het scalair product:
(p⃗2 − p⃗1 ) · (d⃗1 × d⃗2 ) = (−1, 0, −1) · (1, −2, 2) = (−1)(1) + (0)(−2) + (−1)(2) = −3.
De afstand is dus:
| − 3|
d= = 1.
3
2
René Bruin
January 2025
Opgave 1
(20 punten) In R3 is de lijn l gegeven door
Ñ é Ñ é
1 2
l = 0 +λ 1
1 0
en de lijn m is gegeven als de snijlijn van de twee vlakken gegeven door
x1 + 2x2 − 2x3 = 0 en 2x1 − x2 + x3 = 0.
(a) (6 punten) Bewijs dat de twee lijnen l en m elkaar niet snijden.
(b) (7 punten) Geef een parametrisatie van de lijn m.
(c) (7 punten) Bereken de afstand tussen l en m.
Oplossing:
(a)
Een punt op de lijn l is gegeven door
x1 = 1 + 2λ, x2 = λ, x3 = 1.
Je kunt nu deze waarden invullen in de vergelijkingen van de vlakken:
®
(1 + 2λ) + 2(λ) − 2(1) = 0
2(1 + 2λ) − (λ) + (1) = 0.
Dit geeft het stelsel ®
4λ − 1 = 0
3λ + 3 = 0.
Dit stelsel heeft geen oplossing, dus de lijnen snijden elkaar niet.
(b)
Merk op dat een snijlijn van twee vlakken één dimensionaal is, oftewwel we kunnen één variabel vrij kiezen.
Zeg x3 = t. Dan kunnen we x1 en x2 uitdrukken in termen van t door het volgende stelsel op te lossen:
®
x1 + 2x2 − 2t = 0
2x1 − x2 + t = 0.
Nu kun je twee keer de onderste rij optellen bij de bovenste rij om zo x2 te elimineren:
®
5x1 = 0
2x1 − x2 + t = 0.
1
, Dit geeft x1 = 0. Invullen in de onderste rij geeft x2 = t. Dus een parametrisatie van de lijn m is
Ñ é
0
t , t ∈ R.
t
(c)
De afstand tussen twee lijnen in R3 die elkaar niet snijden kan worden berekend met de formule
|(p⃗2 − p⃗1 ) · (d⃗1 × d⃗2 )|
d= ,
|d⃗1 × d⃗2 |
waarbij p⃗1 en p⃗2 punten op respectievelijk lijn l en lijn m zijn, en d⃗1 en d⃗2 de richtingsvectoren van de lijnen
zijn. Ñ é Ñ é Ñ é
1 0 2
Kies p⃗1 = 0 en p⃗2 = 0 (dit is het punt op lijn m als t = 0). De richtingsvector van lijn l is d⃗1 = 1
1 0 0
Ñ é
0
en de richtingsvector van lijn m is d⃗2 = 1 .
1
⃗
Bereken nu d1 × d2 :⃗
Ñ é
î ĵ k̂ 1
d⃗1 × d⃗2 = 2 1 0 = î(1 ∗ 1 − 0 ∗ 1) − ĵ(2 ∗ 1 − 0 ∗ 0) + k̂(2 ∗ 1 − 1 ∗ 0) = −2 .
0 1 1 2
Bereken nu de lengte van deze vector:
» √ √
|d⃗1 × d⃗2 | = 12 + (−2)2 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3.
Nu berekenen we (p⃗2 − p⃗1 ): Ñ é Ñ é Ñ é
0 1 −1
p⃗2 − p⃗1 = 0 − 0 = 0 .
0 1 −1
Bereken nu het scalair product:
(p⃗2 − p⃗1 ) · (d⃗1 × d⃗2 ) = (−1, 0, −1) · (1, −2, 2) = (−1)(1) + (0)(−2) + (−1)(2) = −3.
De afstand is dus:
| − 3|
d= = 1.
3
2
