Wiskundige Methoden en Technieken: definities – eigenschappen
Hoofdstuk 1: Reële functies van één veranderlijke
Definitie 1.1 (Domein/bereik – functie van één veranderlijke)
Een reële functie f zal met elk element van een verzameling 𝐴 ∈ ℝ één element van een
verzameling 𝐵 ∈ ℝ associëren.
Notatie:
𝑓: 𝐴 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥).
De verzameling 𝐴 noemt men het domein of definitiegebied, dit is de verzameling van alle x-
waarden waarvoor een beeld 𝑓(𝑥) bestaat, we noteren 𝐴 = 𝑑𝑜𝑚 (𝑓).
De verzameling 𝐵 noemtmen het bereik of deelgebied, dit is de verzameling van alle beelden
𝑓(𝑥), we noteren 𝐵 = 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑘 ( 𝑓).
Wanneer we het functievoorschrift noteren als 𝑦 = 𝑓(𝑥), dan is 𝑥 de onafhankelijke
veranderlijke of het argument, en 𝑦 de afhankelijke veranderlijke.
Definitie 1.2 (Expliciet / impliciet – functie van één veranderlijke)
Men spreekt van een expliciete voorstelling van de functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, wanneer het voorschrift
geëxpliceerd is naar de afhankelijke veranderlijke, m.a.w. als het voorschrift de vorm 𝑦 = 𝑓(𝑥)
heeft.
In het andere geval spreekt men van een impliciete voorstelling, het voorschrift is dan niet
geëxpliciteerd naar de afhankelijke veranderlijke, maar wordt expliciet bepaald uit een
verband 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0.
Definitie 1.3 (Stuksgewijs gedefinieerd)
Een reële functie 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑔(𝑥) is een stuksgewijs gedefinieerde functie indien het
voorschrift verschilt voor verschillende delen van het domein van de functie.
Definitie 1.4 (Even – oneven)
Een reële functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) is een even functie, indien voor elke waarde 𝑥 uit
het domein geldt:
𝑓 (−𝑥) = 𝑓(𝑥).
Een reële functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) is een oneven functie, indien voor elke waarde 𝑥 uit
het domein geldt:
𝑓 (−𝑥) = −𝑓(𝑥).
,Definitie 1.5 (Inverse functie)
De functie 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑔(𝑥) is de inverse functie van de functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥),
indien voor elke waarde 𝑥 uit 𝑑𝑜𝑚 (𝑓) = 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑘 (𝑔) en elke waarde 𝑦 uit 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑘 (𝑓) =
𝑑𝑜𝑚 (𝑔) geldt:
𝑓(𝑥) = 𝑦 ⇔ 𝑔(𝑦) = 𝑥.
Deze inverse functie 𝑔 zal bestaan indien elke 𝑦 − 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒 uit het bereik van 𝑓 het beeld is van
precies één 𝑥 − 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒 uit het domein van 𝑓. We noemen 𝑓 in dit geval inverteerbaar.
Definitie 1.6 (Samengestelde functie)
Een reële functie ℎ ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ ℎ(𝑥) is een samenstelling van functies 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼
𝑔(𝑥) na 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥), of
ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓,
indien voor elke waarde van 𝑥 geldt ℎ (𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)).
Definitie 1.7 (Limiet)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt in het punt 𝑥 = 𝑎 de limietwaarde 𝐿, of
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿,
𝑥→𝑎
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig dicht bij 𝐿 komen voor punten 𝑥 die dicht naar 𝑎
naderen.
Definitie 1.8 (Linker- en rechterlimiet)
De linkerlimiet van een functie 𝑓 in het punt 𝑥 = 𝑎 wordt gedefinieerd als 𝐿1 = 𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
<
(de functiewaarden van 𝑓 komen willekeurig dicht bij 𝐿1 voor punten 𝑥 kleiner dan 𝑎 die dicht
naar 𝑎 naderen).
De rechterlimiet van een functie 𝑓 in het punt 𝑥 = 𝑎 wordt gedefinieerd als 𝐿2 = 𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
>
(de functiewaarden van 𝑓 komen willekeurig dicht bij 𝐿2 voor punten 𝑥 groter dan 𝑎 die dicht
naar 𝑎 naderen).
Definitie 1.9 (Limiet naar oneindig)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → +∞ de limietwaarde 𝐿1, of
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿1,
𝑥→ +∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig dicht bij 𝐿1 komen voor punten 𝑥 die willekeurig groot
worden.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → −∞ de limietwaarde 𝐿2, of
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿2,
𝑥→ −∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig dicht bij 𝐿2 komen voor punten 𝑥 die willekeurig klein
worden.
,Definitie 1.10 (Oneigenlijke limiet naar een punt)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → 𝑎 de limietwaarde +∞ of
lim 𝑓(𝑥) = +∞,
𝑥→ 𝑎
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig groot worden voor punten 𝑥 die willekeurig dicht bij 𝑎
komen.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → 𝑎 de limietwaarde −∞ of
lim 𝑓(𝑥) = −∞,
𝑥→ 𝑎
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig klein worden voor punten 𝑥 die willekeurig dicht bij 𝑎
komen.
Definitie 1.11 (Oneigenlijke limiet naar oneindig)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → +∞ de limietwaarde +∞ of
lim 𝑓 (𝑥) = +∞,
𝑥→ +∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig groot worden voor punten 𝑥 die willekeurig groot
worden.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → −∞ de limietwaarde +∞ of
lim 𝑓 (𝑥) = +∞,
𝑥→ −∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig groot worden voor punten 𝑥 die willekeurig klein
worden.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → +∞ de limietwaarde −∞ of
lim 𝑓 (𝑥) = −∞,
𝑥→ +∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig klein worden voor punten 𝑥 die willekeurig groot
worden.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → −∞ de limietwaarde −∞ of
lim 𝑓 (𝑥) = −∞,
𝑥→ −∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig klein worden voor punten 𝑥 die willekeurig klein
worden.
Definitie 1.12 (Continuïteit in een punt)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) is continu in een punt 𝑥 = 𝑎 als lim 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑎).
𝑥→ 𝑎
De functie is niet continu (of discontinu) in het betreffende punt indien één van volgende
situaties zich voordoet:
• De functiewaarde 𝑓(𝑎) bestaat niet,
• De limietwaarde lim 𝑓 (𝑥) bestaat niet,
𝑥→ 𝑎
• De functiewaarde en de limietwaarde bestaan allebei, maar zijn niet gelijk.
Definitie 1.13 (Veeltermfunctie)
Een veeltermfunctie van graad 𝑛 heeft voorschrift
𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ,
met 𝑛 ∈ ℕ en met 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 ∈ ℝ, 𝑎𝑛 ≠ 0.
, Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele reële as en is continu.
Definitie 1.14 (Lineaire functie)
Een lineaire functie heeft voorschrift 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓 (𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞.
Een lineaire functie is continu en wordt grafisch voorgesteld door een rechte.
De waarde 𝑚 is de richtingscoëfficiënt of helling van de rechte,
de waarde 𝑞 bepaalt het snijpunt van de rechte met de 𝑦 − 𝑎𝑠.
Definitie 1.15 (Parabool)
Een vergelijking van de gedaante 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑚𝑒𝑡 𝑎 ∈ ℝ0 , 𝑏 ∈ ℝ, 𝑐 ∈ ℝ) beschrijft een
parabool.
𝑏
De top van deze parabool heeft coördinaten (𝑥0 , 𝑦0 ) met 𝑥0 = − ; 𝑦0 is dan de
2𝑎
functiewaarde van 𝑥0 .
Deze algemene vergelijking kan ook geschreven worden in de standaardvorm
𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0 )².
De symmetrieas is evenwijdig aan de 𝑦 − 𝑎𝑠 en heeft vergelijking 𝑥 = 𝑥0 .
De parabool heeft de holle zijde naar boven indien a > 0, naar beneden indien a < 0.
Definitie 1.16 (Rationale functie)
Een rationale functie heeft voorschrift
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) =
𝑏𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 ,
met 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ en met 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 , 𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 ∈ ℝ.
Het domein van een rationale functie is de reële as verminderd met de waarde waarvoor de
noemer nul wordt. Een rationale functie is continu op haar domein.
Definitie 1.17 (Irrationale functie)
Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin één of meer wortelvormen voorkomen.
Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de reële as waarvoor het
argument onder de wortel het juiste teken bezit. Een irrationale functie is continu op haar
domein.
Definitie 1.18 (Cirkel)
De impliciete vergelijking
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑟 2
met 𝑥0 , 𝑦0 ∈ ℝ 𝑒𝑛 𝑟 ∈ ℝ+
beschrijft een cirkel.
0
Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (𝑥0 , 𝑦0 ); de straal is 𝑟.
Hoofdstuk 1: Reële functies van één veranderlijke
Definitie 1.1 (Domein/bereik – functie van één veranderlijke)
Een reële functie f zal met elk element van een verzameling 𝐴 ∈ ℝ één element van een
verzameling 𝐵 ∈ ℝ associëren.
Notatie:
𝑓: 𝐴 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥).
De verzameling 𝐴 noemt men het domein of definitiegebied, dit is de verzameling van alle x-
waarden waarvoor een beeld 𝑓(𝑥) bestaat, we noteren 𝐴 = 𝑑𝑜𝑚 (𝑓).
De verzameling 𝐵 noemtmen het bereik of deelgebied, dit is de verzameling van alle beelden
𝑓(𝑥), we noteren 𝐵 = 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑘 ( 𝑓).
Wanneer we het functievoorschrift noteren als 𝑦 = 𝑓(𝑥), dan is 𝑥 de onafhankelijke
veranderlijke of het argument, en 𝑦 de afhankelijke veranderlijke.
Definitie 1.2 (Expliciet / impliciet – functie van één veranderlijke)
Men spreekt van een expliciete voorstelling van de functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, wanneer het voorschrift
geëxpliceerd is naar de afhankelijke veranderlijke, m.a.w. als het voorschrift de vorm 𝑦 = 𝑓(𝑥)
heeft.
In het andere geval spreekt men van een impliciete voorstelling, het voorschrift is dan niet
geëxpliciteerd naar de afhankelijke veranderlijke, maar wordt expliciet bepaald uit een
verband 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0.
Definitie 1.3 (Stuksgewijs gedefinieerd)
Een reële functie 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑔(𝑥) is een stuksgewijs gedefinieerde functie indien het
voorschrift verschilt voor verschillende delen van het domein van de functie.
Definitie 1.4 (Even – oneven)
Een reële functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) is een even functie, indien voor elke waarde 𝑥 uit
het domein geldt:
𝑓 (−𝑥) = 𝑓(𝑥).
Een reële functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) is een oneven functie, indien voor elke waarde 𝑥 uit
het domein geldt:
𝑓 (−𝑥) = −𝑓(𝑥).
,Definitie 1.5 (Inverse functie)
De functie 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑔(𝑥) is de inverse functie van de functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥),
indien voor elke waarde 𝑥 uit 𝑑𝑜𝑚 (𝑓) = 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑘 (𝑔) en elke waarde 𝑦 uit 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑘 (𝑓) =
𝑑𝑜𝑚 (𝑔) geldt:
𝑓(𝑥) = 𝑦 ⇔ 𝑔(𝑦) = 𝑥.
Deze inverse functie 𝑔 zal bestaan indien elke 𝑦 − 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒 uit het bereik van 𝑓 het beeld is van
precies één 𝑥 − 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑑𝑒 uit het domein van 𝑓. We noemen 𝑓 in dit geval inverteerbaar.
Definitie 1.6 (Samengestelde functie)
Een reële functie ℎ ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ ℎ(𝑥) is een samenstelling van functies 𝑔 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼
𝑔(𝑥) na 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥), of
ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓,
indien voor elke waarde van 𝑥 geldt ℎ (𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)).
Definitie 1.7 (Limiet)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt in het punt 𝑥 = 𝑎 de limietwaarde 𝐿, of
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿,
𝑥→𝑎
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig dicht bij 𝐿 komen voor punten 𝑥 die dicht naar 𝑎
naderen.
Definitie 1.8 (Linker- en rechterlimiet)
De linkerlimiet van een functie 𝑓 in het punt 𝑥 = 𝑎 wordt gedefinieerd als 𝐿1 = 𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
<
(de functiewaarden van 𝑓 komen willekeurig dicht bij 𝐿1 voor punten 𝑥 kleiner dan 𝑎 die dicht
naar 𝑎 naderen).
De rechterlimiet van een functie 𝑓 in het punt 𝑥 = 𝑎 wordt gedefinieerd als 𝐿2 = 𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥)
>
(de functiewaarden van 𝑓 komen willekeurig dicht bij 𝐿2 voor punten 𝑥 groter dan 𝑎 die dicht
naar 𝑎 naderen).
Definitie 1.9 (Limiet naar oneindig)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → +∞ de limietwaarde 𝐿1, of
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿1,
𝑥→ +∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig dicht bij 𝐿1 komen voor punten 𝑥 die willekeurig groot
worden.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → −∞ de limietwaarde 𝐿2, of
lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿2,
𝑥→ −∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig dicht bij 𝐿2 komen voor punten 𝑥 die willekeurig klein
worden.
,Definitie 1.10 (Oneigenlijke limiet naar een punt)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → 𝑎 de limietwaarde +∞ of
lim 𝑓(𝑥) = +∞,
𝑥→ 𝑎
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig groot worden voor punten 𝑥 die willekeurig dicht bij 𝑎
komen.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → 𝑎 de limietwaarde −∞ of
lim 𝑓(𝑥) = −∞,
𝑥→ 𝑎
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig klein worden voor punten 𝑥 die willekeurig dicht bij 𝑎
komen.
Definitie 1.11 (Oneigenlijke limiet naar oneindig)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → +∞ de limietwaarde +∞ of
lim 𝑓 (𝑥) = +∞,
𝑥→ +∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig groot worden voor punten 𝑥 die willekeurig groot
worden.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → −∞ de limietwaarde +∞ of
lim 𝑓 (𝑥) = +∞,
𝑥→ −∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig groot worden voor punten 𝑥 die willekeurig klein
worden.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → +∞ de limietwaarde −∞ of
lim 𝑓 (𝑥) = −∞,
𝑥→ +∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig klein worden voor punten 𝑥 die willekeurig groot
worden.
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) bereikt voor 𝑥 → −∞ de limietwaarde −∞ of
lim 𝑓 (𝑥) = −∞,
𝑥→ −∞
als de functiewaarden 𝑓(𝑥) willekeurig klein worden voor punten 𝑥 die willekeurig klein
worden.
Definitie 1.12 (Continuïteit in een punt)
Een functie 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) is continu in een punt 𝑥 = 𝑎 als lim 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑎).
𝑥→ 𝑎
De functie is niet continu (of discontinu) in het betreffende punt indien één van volgende
situaties zich voordoet:
• De functiewaarde 𝑓(𝑎) bestaat niet,
• De limietwaarde lim 𝑓 (𝑥) bestaat niet,
𝑥→ 𝑎
• De functiewaarde en de limietwaarde bestaan allebei, maar zijn niet gelijk.
Definitie 1.13 (Veeltermfunctie)
Een veeltermfunctie van graad 𝑛 heeft voorschrift
𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ,
met 𝑛 ∈ ℕ en met 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 ∈ ℝ, 𝑎𝑛 ≠ 0.
, Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele reële as en is continu.
Definitie 1.14 (Lineaire functie)
Een lineaire functie heeft voorschrift 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓 (𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞.
Een lineaire functie is continu en wordt grafisch voorgesteld door een rechte.
De waarde 𝑚 is de richtingscoëfficiënt of helling van de rechte,
de waarde 𝑞 bepaalt het snijpunt van de rechte met de 𝑦 − 𝑎𝑠.
Definitie 1.15 (Parabool)
Een vergelijking van de gedaante 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑚𝑒𝑡 𝑎 ∈ ℝ0 , 𝑏 ∈ ℝ, 𝑐 ∈ ℝ) beschrijft een
parabool.
𝑏
De top van deze parabool heeft coördinaten (𝑥0 , 𝑦0 ) met 𝑥0 = − ; 𝑦0 is dan de
2𝑎
functiewaarde van 𝑥0 .
Deze algemene vergelijking kan ook geschreven worden in de standaardvorm
𝑦 − 𝑦0 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0 )².
De symmetrieas is evenwijdig aan de 𝑦 − 𝑎𝑠 en heeft vergelijking 𝑥 = 𝑥0 .
De parabool heeft de holle zijde naar boven indien a > 0, naar beneden indien a < 0.
Definitie 1.16 (Rationale functie)
Een rationale functie heeft voorschrift
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) =
𝑏𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑥 + 𝑏0 ,
met 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ en met 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 , 𝑏0 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑚 ∈ ℝ.
Het domein van een rationale functie is de reële as verminderd met de waarde waarvoor de
noemer nul wordt. Een rationale functie is continu op haar domein.
Definitie 1.17 (Irrationale functie)
Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin één of meer wortelvormen voorkomen.
Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de reële as waarvoor het
argument onder de wortel het juiste teken bezit. Een irrationale functie is continu op haar
domein.
Definitie 1.18 (Cirkel)
De impliciete vergelijking
(𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 = 𝑟 2
met 𝑥0 , 𝑦0 ∈ ℝ 𝑒𝑛 𝑟 ∈ ℝ+
beschrijft een cirkel.
0
Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (𝑥0 , 𝑦0 ); de straal is 𝑟.
