Método de reducibles a variables separables.
Las ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables son en esencia el mismo método sólo que
aplicando previamente un cambio de variable.
Ejemplo 13.
Resuelva la ecuación diferencial reducible a variables separables siguiente
(𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 = (2𝑥 + 2𝑦 − 1)𝑑𝑦
Solución.
(𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 = (2𝑥 + 2𝑦 − 1)𝑑𝑦 si 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 entonces y
𝑑 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
(𝑢 = 𝑥 + 𝑦); = 1+ , = −1
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
(2𝑥 + 2𝑦 − 1)𝑑𝑦 = (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑥+𝑦+1 𝑑𝑢 𝑢+1
= sustituyendo queda como −1 =
𝑑𝑥 2𝑥+2𝑦−1 𝑑𝑥 2𝑢−1
𝑑𝑢 𝑢+1 𝑑𝑢 𝑢+1+2𝑢−1 𝑑𝑢 3𝑢
= +1; = ; = separando las variables queda
𝑑𝑥 2𝑢−1 𝑑𝑥 2𝑢−1 𝑑𝑥 2𝑢−1
2𝑢−1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 aplicando el operador de integración en ambos lados de la ecuación diferencial
3𝑢
2𝑢−1
∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 ; dividiendo el lado izquierdo de la igualdad
3𝑢
2 1 2 1 1
∫ (3 − 3𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 ; 3
∫ 𝑑𝑢 − 3 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶
2 1
𝑢 − ln(𝑢) = 𝑥 + 𝐶; 2𝑥 + 2𝑦 − ln(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝐶
3 3
2𝑦 − 𝑥 − ln(𝑥 + 𝑦) = 𝐶
Ejemplo 14.
Halle la solución de la siguiente ecuación diferencial por reducibles a variables separables
(𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 + 𝑥 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0 considere que 𝑢 = 𝑥𝑦
Solución.
(𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 + 𝑥 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑦 −(𝑥 2 𝑦 3 +𝑦+𝑥−2)
(𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑦 = −(𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 + 𝑥 − 2)𝑑𝑥; =
𝑑𝑥 𝑥 3 𝑦 2 +𝑥
𝑑𝑢
𝑢 𝑑𝑦 𝑥 −𝑢
𝑦= ; = 𝑑𝑥
igualando las derivadas y sustituyendo el valor de 𝑦.
𝑥 𝑑𝑥 𝑥2
𝑑𝑢 𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑢3 𝑢 𝑑𝑢 𝑢3 +𝑢+𝑥2 −2𝑥
𝑥 −𝑢 −(𝑥 2 ( )3 + +𝑥−2) 𝑥 −𝑢 −( + +𝑥−2) 𝑥 −𝑢 −( )
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑢
𝑥
; 𝑑𝑥
= 𝑥 𝑥 𝑑𝑥
; = 𝑥
𝑥2 𝑥 3 ( )2 +𝑥 𝑥2 𝑥𝑢2 +𝑥 𝑥2 𝑥𝑢2 +𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑥 −𝑢 −(𝑢3 +𝑢+𝑥 2 −2𝑥) 𝑑𝑢 −𝑢3 −𝑢−𝑥 2 +2𝑥
𝑑𝑥
= ; 𝑥 = + 𝑢;
𝑥2 𝑥 2 (𝑢2 +1) 𝑑𝑥 𝑢2 +1
𝑑𝑢 −𝑢3 −𝑢−𝑥 2 +2𝑥+𝑢3 +𝑢 𝑑𝑢 −𝑥 2 +2𝑥
𝑥 = ; 𝑥 = ; (𝑢2 + 1)𝑑𝑢 = (−𝑥 + 2)𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑢2 +1 𝑑𝑥 𝑢2 +1
, 𝑢3 𝑥2
∫(𝑢2 + 1) 𝑑𝑢 = ∫(−𝑥 + 2) 𝑑𝑥; 3
+ 𝑢 = − +2x+C
2
1 𝑥2
𝑥 3 𝑦 3 + 𝑥𝑦 = − + 2𝑥 + 𝐶; 2𝑥 3 𝑦 3 + 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 − 12𝑥 = 𝐶
3 2
Ejemplo 15.
Halle la solución de la siguiente diferencial reducible a variables separables.
𝑑𝑦 2𝑥 − 3𝑦 + 1
− =0
𝑑𝑥 −6𝑥 + 9𝑦 + 2
Solución.
𝑑𝑦 2𝑥−3𝑦+1 𝑑𝑦 2𝑥−3𝑦+1 𝑑𝑦 2𝑥−3𝑦+1 𝑑𝑢 𝑑𝑦
− = 0; = ; = cambio de variable 𝑢 = 2𝑥 − 3𝑦; =2−3 ;
𝑑𝑥 −6𝑥+9𝑦+2 𝑑𝑥 −6𝑥+9𝑦+2 𝑑𝑥 −3(2𝑥−3𝑦)+2 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢
−2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−3 𝑑𝑥
𝑑𝑢
−2 𝑢+1 𝑑𝑢 −3𝑢−3 𝑑𝑢 −3𝑢−3 𝑑𝑢 −3𝑢−3−6𝑢+4
𝑑𝑥
= ; −2= ; = + 2; =
−3 −3𝑢+2 𝑑𝑥 −3𝑢+2 𝑑𝑥 −3𝑢+2 𝑑𝑥 −3𝑢+2
𝑑𝑢 −9𝑢+1 −3𝑢+2 −3𝑢+2
= ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 dividiendo
𝑑𝑥 −3𝑢+2 −9𝑢+1 −9𝑢+1
5
1 1 5
∫ (3 + −9𝑢+1
3
) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 ;
3
𝑢−
27
ln(−9𝑢 + 1) = 𝑥 + 𝐶 ;
1 5
(2𝑥 − 3𝑦) − ln(−9(2𝑥 − 3𝑦) + 1) = 𝑥 + 𝐶
3 27
1 5
𝑦+ 𝑦+ ln(1 + 27𝑦 − 18𝑥) = 𝐶
3 27
Ejemplo 16.
Halle la solución de la siguiente ecuación:
𝑦 ′ √𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 + 𝑦 − 1
Solución.
𝑦 ′ √𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 + 𝑦 + 1 − 1 − 1; si 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 + 1 entonces;
𝑑𝑦 𝑥+𝑦−2 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
= si =1+ ; = − 1 sustituyendo y separando las variables
𝑑𝑥 √𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑢−2 𝑑𝑢 𝑢+√𝑢−2
= +1; =
𝑑𝑥 √𝑢 𝑑𝑥 √𝑢
√𝑢 √𝑢
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 aplicando el operador de integración ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 si
𝑢+√𝑢−2 𝑢+√𝑢−2
𝑧 = √𝑢 ; 𝑢 = 𝑧 2 ; aplicando el operador de derivación en ambos lados de la igualdad
𝑑 𝑑𝑢 𝑑𝑧
(𝑢 = 𝑧 2 ); = 2𝑧 ; 𝑑𝑢 = 2𝑧𝑑𝑧 sustituyendo
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
2𝑧 2 𝑑𝑧 𝑧2 −𝑧+2
∫ 𝑧 2+𝑧−2 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶; dividiendo 𝑧 2 +𝑧−2
=1+
𝑧 2 +𝑧−2
Las ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables son en esencia el mismo método sólo que
aplicando previamente un cambio de variable.
Ejemplo 13.
Resuelva la ecuación diferencial reducible a variables separables siguiente
(𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 = (2𝑥 + 2𝑦 − 1)𝑑𝑦
Solución.
(𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 = (2𝑥 + 2𝑦 − 1)𝑑𝑦 si 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 entonces y
𝑑 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
(𝑢 = 𝑥 + 𝑦); = 1+ , = −1
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
(2𝑥 + 2𝑦 − 1)𝑑𝑦 = (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑥+𝑦+1 𝑑𝑢 𝑢+1
= sustituyendo queda como −1 =
𝑑𝑥 2𝑥+2𝑦−1 𝑑𝑥 2𝑢−1
𝑑𝑢 𝑢+1 𝑑𝑢 𝑢+1+2𝑢−1 𝑑𝑢 3𝑢
= +1; = ; = separando las variables queda
𝑑𝑥 2𝑢−1 𝑑𝑥 2𝑢−1 𝑑𝑥 2𝑢−1
2𝑢−1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 aplicando el operador de integración en ambos lados de la ecuación diferencial
3𝑢
2𝑢−1
∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 ; dividiendo el lado izquierdo de la igualdad
3𝑢
2 1 2 1 1
∫ (3 − 3𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 ; 3
∫ 𝑑𝑢 − 3 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶
2 1
𝑢 − ln(𝑢) = 𝑥 + 𝐶; 2𝑥 + 2𝑦 − ln(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝐶
3 3
2𝑦 − 𝑥 − ln(𝑥 + 𝑦) = 𝐶
Ejemplo 14.
Halle la solución de la siguiente ecuación diferencial por reducibles a variables separables
(𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 + 𝑥 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0 considere que 𝑢 = 𝑥𝑦
Solución.
(𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 + 𝑥 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑦 −(𝑥 2 𝑦 3 +𝑦+𝑥−2)
(𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑦 = −(𝑥 2 𝑦 3 + 𝑦 + 𝑥 − 2)𝑑𝑥; =
𝑑𝑥 𝑥 3 𝑦 2 +𝑥
𝑑𝑢
𝑢 𝑑𝑦 𝑥 −𝑢
𝑦= ; = 𝑑𝑥
igualando las derivadas y sustituyendo el valor de 𝑦.
𝑥 𝑑𝑥 𝑥2
𝑑𝑢 𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑢3 𝑢 𝑑𝑢 𝑢3 +𝑢+𝑥2 −2𝑥
𝑥 −𝑢 −(𝑥 2 ( )3 + +𝑥−2) 𝑥 −𝑢 −( + +𝑥−2) 𝑥 −𝑢 −( )
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑢
𝑥
; 𝑑𝑥
= 𝑥 𝑥 𝑑𝑥
; = 𝑥
𝑥2 𝑥 3 ( )2 +𝑥 𝑥2 𝑥𝑢2 +𝑥 𝑥2 𝑥𝑢2 +𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑥 −𝑢 −(𝑢3 +𝑢+𝑥 2 −2𝑥) 𝑑𝑢 −𝑢3 −𝑢−𝑥 2 +2𝑥
𝑑𝑥
= ; 𝑥 = + 𝑢;
𝑥2 𝑥 2 (𝑢2 +1) 𝑑𝑥 𝑢2 +1
𝑑𝑢 −𝑢3 −𝑢−𝑥 2 +2𝑥+𝑢3 +𝑢 𝑑𝑢 −𝑥 2 +2𝑥
𝑥 = ; 𝑥 = ; (𝑢2 + 1)𝑑𝑢 = (−𝑥 + 2)𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑢2 +1 𝑑𝑥 𝑢2 +1
, 𝑢3 𝑥2
∫(𝑢2 + 1) 𝑑𝑢 = ∫(−𝑥 + 2) 𝑑𝑥; 3
+ 𝑢 = − +2x+C
2
1 𝑥2
𝑥 3 𝑦 3 + 𝑥𝑦 = − + 2𝑥 + 𝐶; 2𝑥 3 𝑦 3 + 6𝑥𝑦 + 3𝑥 2 − 12𝑥 = 𝐶
3 2
Ejemplo 15.
Halle la solución de la siguiente diferencial reducible a variables separables.
𝑑𝑦 2𝑥 − 3𝑦 + 1
− =0
𝑑𝑥 −6𝑥 + 9𝑦 + 2
Solución.
𝑑𝑦 2𝑥−3𝑦+1 𝑑𝑦 2𝑥−3𝑦+1 𝑑𝑦 2𝑥−3𝑦+1 𝑑𝑢 𝑑𝑦
− = 0; = ; = cambio de variable 𝑢 = 2𝑥 − 3𝑦; =2−3 ;
𝑑𝑥 −6𝑥+9𝑦+2 𝑑𝑥 −6𝑥+9𝑦+2 𝑑𝑥 −3(2𝑥−3𝑦)+2 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢
−2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−3 𝑑𝑥
𝑑𝑢
−2 𝑢+1 𝑑𝑢 −3𝑢−3 𝑑𝑢 −3𝑢−3 𝑑𝑢 −3𝑢−3−6𝑢+4
𝑑𝑥
= ; −2= ; = + 2; =
−3 −3𝑢+2 𝑑𝑥 −3𝑢+2 𝑑𝑥 −3𝑢+2 𝑑𝑥 −3𝑢+2
𝑑𝑢 −9𝑢+1 −3𝑢+2 −3𝑢+2
= ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 dividiendo
𝑑𝑥 −3𝑢+2 −9𝑢+1 −9𝑢+1
5
1 1 5
∫ (3 + −9𝑢+1
3
) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 ;
3
𝑢−
27
ln(−9𝑢 + 1) = 𝑥 + 𝐶 ;
1 5
(2𝑥 − 3𝑦) − ln(−9(2𝑥 − 3𝑦) + 1) = 𝑥 + 𝐶
3 27
1 5
𝑦+ 𝑦+ ln(1 + 27𝑦 − 18𝑥) = 𝐶
3 27
Ejemplo 16.
Halle la solución de la siguiente ecuación:
𝑦 ′ √𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 + 𝑦 − 1
Solución.
𝑦 ′ √𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 + 𝑦 + 1 − 1 − 1; si 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 + 1 entonces;
𝑑𝑦 𝑥+𝑦−2 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
= si =1+ ; = − 1 sustituyendo y separando las variables
𝑑𝑥 √𝑥+𝑦+1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑢−2 𝑑𝑢 𝑢+√𝑢−2
= +1; =
𝑑𝑥 √𝑢 𝑑𝑥 √𝑢
√𝑢 √𝑢
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 aplicando el operador de integración ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 si
𝑢+√𝑢−2 𝑢+√𝑢−2
𝑧 = √𝑢 ; 𝑢 = 𝑧 2 ; aplicando el operador de derivación en ambos lados de la igualdad
𝑑 𝑑𝑢 𝑑𝑧
(𝑢 = 𝑧 2 ); = 2𝑧 ; 𝑑𝑢 = 2𝑧𝑑𝑧 sustituyendo
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
2𝑧 2 𝑑𝑧 𝑧2 −𝑧+2
∫ 𝑧 2+𝑧−2 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶; dividiendo 𝑧 2 +𝑧−2
=1+
𝑧 2 +𝑧−2
