DEEL III – DE T-TOETS
HOOFDSTUK 10 – VERGELIJKING VAN GROEPEN MET CONTINUE UITKOMSTEN: DE T -TOETS
10.1 VOORBEELD: CAPTOPRIL -GEGEVENS
We onderzoeken 15 patiënten met hypertensie (hoge bloeddruk).
De respons van belang is de bloeddruk in liggende houding, gemeten vóór en na behandeling met Captopril.
De onderzoeksvraag:
Hoe beïnvloedt de behandeling de bloeddruk?
We willen weten hoe waarschijnlijk het is dat de waargenomen veranderingen in bloeddruk puur door toeval optreden.
Als die kans erg klein is, biedt dit bewijs dat Captopril de bloeddruk daadwerkelijk verlaagt.
Als die kans groot is, is er geen bewijs voor een effect.
10.2 VERSCHIL IN DIASTOLISCHE BLOEDDRUK
Wanneer we per patiënt het verschil nemen tussen de diastolische bloeddruk vóór en na behandeling, zien we een
gemiddelde daling van 9,27 mmHg.
We willen weten of dat verschil statistisch significant is, of het dus meer is dan toevallige variatie.
Daarvoor gebruiken we de t-toets.
10.3 T-TOETS VOOR 2 ONAFHANKELIJKE GROEPEN
De ongepaarde t-toets vergelijkt 2 onafhankelijke groepen.
Bijvoorbeeld:
• Groep A: patiënten zonder behandeling
• Groep B: patiënten na behandeling
De nulhypothese:
H₀: het gemiddelde in groep A is gelijk aan dat in groep B (μ A = μB)
PROBLEEM: TUSSEN-GROEP VARIATIE
Wanneer de groepen onafhankelijk zijn, is er tussen-groep heterogeniteit (verschillen in samenstelling, variatie, enz.).
→ Dat maakt de schatting van het verschil minder precies dan bij gepaarde metingen.
STRUCTUUR VAN DE TESTSTATISTIEK
De toetsingsgrootheid is:
𝑋ˉ𝐴 − 𝑋ˉ𝐵
𝑡=
𝑠/√𝑛
en volgt een t-verdeling met 𝑛 − 1vrijheidsgraden:
𝑡 ∼ 𝑡𝑛−1
, STANDAARDFOUT VAN HET VERSCHIL
𝜎 √2 𝜎
𝑆𝐸 = √2 ⋅ =
√𝑛 √𝑛
Voorbeeld:
𝜎 = 11.56, 𝑛 = 15
√2 × 11.56
𝑆𝐸 = = 4.22
√15
WAAROM GEEN NORMALE VERDELING VOOR T?
Hoewel het verschil van gemiddelden normaal verdeeld is, kennen we de ware standaarddeviatie σ niet.
Die wordt geschat uit de steekproef als 𝑠.
Omdat 𝑠 zelf onzekerheid bevat, volgt de teststatistiek niet exact een normale verdeling, maar een t-verdeling met
𝑛 − 1 vrijheidsgraden.
𝑋ˉ𝐴 − 𝑋ˉ𝐵
𝑡= ∼ 𝑡𝑛−1
𝑠/√𝑛
DE T-VERDELING
Net als de χ²-verdeling wordt de t-verdeling bepaald door het aantal vrijheidsgraden (df).
• Bij kleine steekproeven heeft de t-verdeling bredere spreiding (meer onzekerheid).
• Naarmate 𝑛groter wordt, nadert de t-verdeling de standaardnormale verdeling N(0,1).
• De kritieke waarden worden dus kleiner bij grotere steekproeven.
KRITIEKE WAARDEN VAN DE T-VERDELING
Let op: de waarde 1.96 hoort bij de standaardnormale verdeling.
Pas bij zeer grote n wordt de t-waarde ≈ 1.96.
HOOFDSTUK 10 – VERGELIJKING VAN GROEPEN MET CONTINUE UITKOMSTEN: DE T -TOETS
10.1 VOORBEELD: CAPTOPRIL -GEGEVENS
We onderzoeken 15 patiënten met hypertensie (hoge bloeddruk).
De respons van belang is de bloeddruk in liggende houding, gemeten vóór en na behandeling met Captopril.
De onderzoeksvraag:
Hoe beïnvloedt de behandeling de bloeddruk?
We willen weten hoe waarschijnlijk het is dat de waargenomen veranderingen in bloeddruk puur door toeval optreden.
Als die kans erg klein is, biedt dit bewijs dat Captopril de bloeddruk daadwerkelijk verlaagt.
Als die kans groot is, is er geen bewijs voor een effect.
10.2 VERSCHIL IN DIASTOLISCHE BLOEDDRUK
Wanneer we per patiënt het verschil nemen tussen de diastolische bloeddruk vóór en na behandeling, zien we een
gemiddelde daling van 9,27 mmHg.
We willen weten of dat verschil statistisch significant is, of het dus meer is dan toevallige variatie.
Daarvoor gebruiken we de t-toets.
10.3 T-TOETS VOOR 2 ONAFHANKELIJKE GROEPEN
De ongepaarde t-toets vergelijkt 2 onafhankelijke groepen.
Bijvoorbeeld:
• Groep A: patiënten zonder behandeling
• Groep B: patiënten na behandeling
De nulhypothese:
H₀: het gemiddelde in groep A is gelijk aan dat in groep B (μ A = μB)
PROBLEEM: TUSSEN-GROEP VARIATIE
Wanneer de groepen onafhankelijk zijn, is er tussen-groep heterogeniteit (verschillen in samenstelling, variatie, enz.).
→ Dat maakt de schatting van het verschil minder precies dan bij gepaarde metingen.
STRUCTUUR VAN DE TESTSTATISTIEK
De toetsingsgrootheid is:
𝑋ˉ𝐴 − 𝑋ˉ𝐵
𝑡=
𝑠/√𝑛
en volgt een t-verdeling met 𝑛 − 1vrijheidsgraden:
𝑡 ∼ 𝑡𝑛−1
, STANDAARDFOUT VAN HET VERSCHIL
𝜎 √2 𝜎
𝑆𝐸 = √2 ⋅ =
√𝑛 √𝑛
Voorbeeld:
𝜎 = 11.56, 𝑛 = 15
√2 × 11.56
𝑆𝐸 = = 4.22
√15
WAAROM GEEN NORMALE VERDELING VOOR T?
Hoewel het verschil van gemiddelden normaal verdeeld is, kennen we de ware standaarddeviatie σ niet.
Die wordt geschat uit de steekproef als 𝑠.
Omdat 𝑠 zelf onzekerheid bevat, volgt de teststatistiek niet exact een normale verdeling, maar een t-verdeling met
𝑛 − 1 vrijheidsgraden.
𝑋ˉ𝐴 − 𝑋ˉ𝐵
𝑡= ∼ 𝑡𝑛−1
𝑠/√𝑛
DE T-VERDELING
Net als de χ²-verdeling wordt de t-verdeling bepaald door het aantal vrijheidsgraden (df).
• Bij kleine steekproeven heeft de t-verdeling bredere spreiding (meer onzekerheid).
• Naarmate 𝑛groter wordt, nadert de t-verdeling de standaardnormale verdeling N(0,1).
• De kritieke waarden worden dus kleiner bij grotere steekproeven.
KRITIEKE WAARDEN VAN DE T-VERDELING
Let op: de waarde 1.96 hoort bij de standaardnormale verdeling.
Pas bij zeer grote n wordt de t-waarde ≈ 1.96.
