DIDACTIEK WISKUNDE 2
DEEL 1: LOGICA EN VERZAMELINGEN
HOOFDSTUK I : BELANGRIJKSTE ASPECTEN VAN LOGISCH DENKEN
1 LOGICA
Zowel logica als verzamelingen zijn basisbouwstenen die overal in de wiskunde worden gebruikt.
Het is dus belangrijk er voldoende vertrouwd mee te geraken. Dit zijn de belangrijkste aspecten van
logisch denken die in de lagere school aan bod kunnen komen:
1. Uitspraken met de operatoren ‘en’, ‘of’ en ‘niet’
2. Als ... dan-relaties
3. Enkel en alleen als-relaties
Om de logicataal op een eenvoudige en speelse manier te oefenen, wordt in de kleuterklas vaak
gewerkt met logisets.
1.1 UITSPRAKEN MET DE OPERATOREN ‘EN’, ‘OF’ EN ‘NIET’
Een uitspraak of gebeurtenis is een zin waar je duidelijk kan zeggen of het waar is of niet waar.
DEF
Door middel van voegwoorden maken we langere samengestelde uitspraken.
OPERATOR BETEKENIS
en Verbindt twee uitspraken en is waar als beide uitspraken waar zijn.
Bijv.: 15 is deelbaar door 3 en 5.
of Verbindt twee uitspraken en is waar als minstens één van de uitspraken waar is.
• Exclusieve of: juist één van de gebeurtenissen komt voor
Bijv.: 15 is deelbaar door 3 of 4. (enkel 3 is juist)
• Inclusieve of: minstens één van de gebeurtenissen komt voor (kan dus beiden)
Bijv.: 15 is deelbaar door 3 of 5. (beide zijn juist)
niet (of geen) Beschrijft de ontkenning van een uitspraak. Uit de ontkenning kan je het
tegengestelde van de ontkende gebeurtenis afleiden.
Bijv.: een scherphoekige driehoek heeft geen rechte hoeken. → Het heeft scherpe hoeken.
1.1.1 COMBINATIES VAN NIET MET EN/OF
In uitspraken kan je ook combinaties maken van deze 3 operatoren.
Samengestelde uitspraak → Negatie/ontkenning
a of b Niet (a of b) = Niet a en niet b
Hij is Belg of Nederlander. Hij is geen Belg en (geen) Nederlander.
a en b Niet (a en b) = niet a of niet b
Hij kreeg een boete en een celstraf. Hij kreeg geen boete of geen celstraf.
1.2 ALS ... DAN – RELATIES (⇒)
Als uit een bepaalde gebeurtenis een andere volgt, kunnen we spreken van een als-dan-relatie of
een oorzaak-gevolgrelatie. Telkens als de eerste gebeurtenis zich voordoet, weten we dat de
tweede er automatisch uit volgt. Bij ‘als’ staat de oorzaak, bij ‘dan’ het gevolg.
In de wiskunde duiden we deze relatie aan met een dubbele pijl in één richting (⇒)(van oorzaak naar
gevolg).
LET OP! Je kan de uitspraak niet zomaar omdraaien. Dus uit p ⇒ q kan je afleiden NIET q ⇒ NIET p.
Bijv.: ‘ALS ik een goed rapport heb, DAN krijg ik snoep’ wil niet zeggen dat je enkel snoep krijgt bij een goed rapport.
1
,1.3 ENKEL EN ALLEEN ALS-RELATIES
Bij een enkel-en-alleen-als-relatie hebben we een als-dan-relatie in twee richtingen. In de wiskunde
duiden we deze relatie aan met een dubbele pijl in twee richtingen (⇔).
Bijv.: Ik draag een bril enkel en alleen als ik de krant lees.
2 VERZAMELINGEN EN DEELVERZAMELINGEN
Verzamelingenleer biedt een fundamenteel kader om wiskundige concepten te begrijpen en
structureren. Ze vormt de basis van bijna alle wiskunde.
Al vanaf de kleuterklas kan verzamelingenleer op een speelse en visuele manier aangebracht
worden, met de nadruk op intuïtief leren ordenen, sorteren en structuur zien. Kinderen leren daarbij:
• voorwerpen groeperen op basis van eigenschappen (kleur, vorm, grootte, aantal),
• verzamelingen maken en vergelijken (meer, minder, evenveel),
• logische taal gebruiken (alles, niets, sommige, geen),
• en verbanden leggen tussen groepen en elementen als eerste stap naar logisch redeneren.
2.1 BEGRIP EN VOORSTELLINGSWIJZE
Een verzameling is een groep van objecten, mensen, getallen, ... die bij elkaar horen, die iets
DEF
gemeenschappelijk hebben.
Wiskundig gebruiken we een Venndiagram om een verzameling voor te stellen. Dat is een gesloten
kring, die we benoemen met een hoofdletter, en waarbij we de objecten/elementen in de kring
plaatsen.
A
2.2 MEERDERE VERZAMELINGEN – DEELVERZAMELINGEN
Als we twee verzamelingen A en B willen voorstellen, zorgen we voor een gemeenschappelijk gebied
met de elementen die tot twee verzamelingen horen.
A B
Het kan ook dat alle elementen van een verzameling ook tot de andere verzameling horen. Dan is
DEF
de ene verzameling een deel van de andere, we noemen dit wiskundig een deelverzameling.
A
D
2.3 LINK MET LOGITAAL
Als we alle elementen verzamelen die zowel tot A en B behoren,
hebben we een nieuwe verzameling. Wiskundig wordt dit de
doorsnede van A en B genoemd. Hier koppelen we de operator ‘en’.
Als we alle elementen bekijken die ofwel tot A ofwel tot B behoren,
noemen we dit wiskundig de unie van A en B. Hier koppelen we de
operator ‘of’ (inclusief).
2
, We kunnen ook elementen bekijken die tot A maar niet tot B
behoren, dit noemen we wiskundig het verschil van A en B. Hier
koppelen we de operatoren ‘en’ en ‘niet’.
2.4 ANDERE LOGISCHE BEGRIPPEN
Er zijn nog andere logische begrippen die iets zeggen over een aantal elementen waarvoor een
uitspraak is bedoeld:
Alle Deze uitspraak is bedoeld voor alle elementen van een bepaalde groep.
Bijv.: alle even getallen zijn deelbaar door 2.
Er bestaat Deze uitspraak is geldig voor minstens één element van de groep.
(er zijn, er is iemand, sommige) Bijv.: sommige driehoeken zijn gelijkzijdig.
Ontkenning Soms komen bestaande begrippen samen met een ontkenning voor:
Bijv.: alle → niet alle, elke → niet elke, er is een → geen enkele, sommige → geen enkele
2.5 TEGENVOORBEELD
Een tegenvoorbeeld is een voorbeeld dat aantoont dat een uitspraak niet altijd waar is. Je hebt
DEF
maar 1 tegenvoorbeeld nodig om te tonen dat een uitspraak fout is.
Binnen wiskunde wordt dit heel vaak gebruikt bij algemene redeneringen als ‘alle’, ‘geen enkele’.
1. Is het waar dat alle vierhoeken met loodrechte diagonale ruiten zijn?
Niet waar, tegenvoorbeeld: een vlieger
2.6 EIGENSCHAP OF KENMERK
2.6.1 EIGENSCHAPPEN ⇒
DEFEen ware uitspraak die geldt voor alle leden van een bepaalde groep, wordt een eigenschap van de
leden van die groep genoemd.
Een eigenschap kan je altijd schrijven met behulp van een als-dan-relatie (⇒).
• Het getal eindigt op 5 ⇒ het is deelbaar door 5
LET OP!
1. Ware uitspraken die niet voor alle leden van een groep gelden, zijn geen eigenschappen.
Bijv.: Sommige getallen die deelbaar zijn door 4, eindigen op 4. (dit geldt niet voor alle getallen deelbaar door 4)
2. Uitspraken die niet waar zijn, zijn geen eigenschappen.
Bijv.: Alle oneven getallen zijn deelbaar door 2. (dit is niet waar)
2.6.2 KENMERKEN ⇔
DEFEen eigenschap geldt voor alle leden van een groep. Als die eigenschap enkel voor alle leden van
deze groep geldt en je zo de groep kan herkennen, dan is die eigenschap een kenmerk van de groep.
Een kenmerk is dus een eigenschap die geldt in twee richtingen. Je kan ze opsplitsen in een
eigenschap en een omgekeerde eigenschap.
Je kan een kenmerk formuleren met behulp van de ‘enkel en alleen als’-relatie (⇔).
• Het getal is deelbaar door 3 ⇔ de som van de cijfers is deelbaar door 3
3
, DEEL 2: MEETKUNDE
HOOFDSTUK I : RUIMTELIJKE ORIËNTATIE EN RUIMTELIJK INZICHT
1 INLEIDING
Ruimtelijke oriëntatie gaat over het bepalen van de positie, richting en afstand. Dit zowel in de
DEF
werkelijke als in de verkleinde of afgebeelde ruimte.
2 DIDACTISCHE PRINCIPES
We beschrijven de evolutie van het meetkundig denken in 5 opeenvolgende fasen vertrekkende
vanuit de ruimtelijke oriëntatie van kleuters tot het ruimtelijk inzicht op het einde van de
basisschool.
FASE 1 WAARNEMEN – IN WERKELIJKHEID EN OP AFBEELDINGEN
Het kind leert de hem omringde wereld te interpreteren en benoemen: wat is groot/klein,
hoog/laag, voor/achter, enz. Er wordt een beeld gevormd van de werkelijkheid; de
waarneming wordt gerelativeerd (vanuit eigen standpunt) en geobjectiveerd.
FASE 2 (MENTAAL) INNEMEN VAN EEN STANDPUNT
Het kind leert ruimtelijk redeneren: het denkt na over hoe iets eruitziet vanuit een andere
hoek of perspectief. Wat is ‘voor’, ‘achter’, ‘links’ en ‘rechts’ vanuit een ander standpunt?
FASE 3 HET BESCHRIJVEN VAN EEN OBJECT
Het kind leert dat één afbeelding of perspectief niet genoeg is om een object volledig te
begrijpen. Daarom leert het meer nauwkeurige beschrijvingsmiddelen gebruiken — zoals
plattegronden, aanzichten, maquettes of schema’s.
FASE 4 ZICH EEN MENTAAL BEELD VORMEN
De leerling kan een mentaal beeld vormen van de situatie.
FASE 5 HET HANDELEN AAN EEN MENTALE VOORSTELLING
Deze fase is niet te scheiden van de vorige. Voor het vormen van een mentaal beeld moet een
aanleiding bestaan. Die kan je vinden in een probleemstelling, waar iets moet gedaan
worden met het mentaal beeld.
2.1 AANDACHTSPUNTEN
Er zijn een aantal didactische principes waarmee je rekening moet houden bij de overgang van het
ene meetkundige niveau naar het andere:
• Bij de volgorde van meetkundeactiviteiten laten we ons leiden door het niveau in de
denkontwikkeling van de leerling (niet de systematiek van het wiskundig systeem)
• Voor elke ontwikkelingsfase voorzien we voldoende activiteit. Te snel formaliseren leidt tot schijn-
of splintervaardigheden.
• Op elk moment in de leergang staan we leerlingen toe terug te keren naar een vorige denkfase als
ze moeilijkheden ondervinden.
3 LEERINHOUDEN
Ruimtelijke oriëntatie heeft een sterke link met aardrijkskunde.
3.1 STANDPUNTEN
Meetkundetaal is essentieel om ruimte, positie, richting en afstand te beschrijven. Vooral bij jonge
kinderen vraagt dit veel aandacht. De leerkracht gebruikt bewust de juiste termen (bijv. boven, onder,
op, ...), zodat leerlingen deze overnemen.
4
DEEL 1: LOGICA EN VERZAMELINGEN
HOOFDSTUK I : BELANGRIJKSTE ASPECTEN VAN LOGISCH DENKEN
1 LOGICA
Zowel logica als verzamelingen zijn basisbouwstenen die overal in de wiskunde worden gebruikt.
Het is dus belangrijk er voldoende vertrouwd mee te geraken. Dit zijn de belangrijkste aspecten van
logisch denken die in de lagere school aan bod kunnen komen:
1. Uitspraken met de operatoren ‘en’, ‘of’ en ‘niet’
2. Als ... dan-relaties
3. Enkel en alleen als-relaties
Om de logicataal op een eenvoudige en speelse manier te oefenen, wordt in de kleuterklas vaak
gewerkt met logisets.
1.1 UITSPRAKEN MET DE OPERATOREN ‘EN’, ‘OF’ EN ‘NIET’
Een uitspraak of gebeurtenis is een zin waar je duidelijk kan zeggen of het waar is of niet waar.
DEF
Door middel van voegwoorden maken we langere samengestelde uitspraken.
OPERATOR BETEKENIS
en Verbindt twee uitspraken en is waar als beide uitspraken waar zijn.
Bijv.: 15 is deelbaar door 3 en 5.
of Verbindt twee uitspraken en is waar als minstens één van de uitspraken waar is.
• Exclusieve of: juist één van de gebeurtenissen komt voor
Bijv.: 15 is deelbaar door 3 of 4. (enkel 3 is juist)
• Inclusieve of: minstens één van de gebeurtenissen komt voor (kan dus beiden)
Bijv.: 15 is deelbaar door 3 of 5. (beide zijn juist)
niet (of geen) Beschrijft de ontkenning van een uitspraak. Uit de ontkenning kan je het
tegengestelde van de ontkende gebeurtenis afleiden.
Bijv.: een scherphoekige driehoek heeft geen rechte hoeken. → Het heeft scherpe hoeken.
1.1.1 COMBINATIES VAN NIET MET EN/OF
In uitspraken kan je ook combinaties maken van deze 3 operatoren.
Samengestelde uitspraak → Negatie/ontkenning
a of b Niet (a of b) = Niet a en niet b
Hij is Belg of Nederlander. Hij is geen Belg en (geen) Nederlander.
a en b Niet (a en b) = niet a of niet b
Hij kreeg een boete en een celstraf. Hij kreeg geen boete of geen celstraf.
1.2 ALS ... DAN – RELATIES (⇒)
Als uit een bepaalde gebeurtenis een andere volgt, kunnen we spreken van een als-dan-relatie of
een oorzaak-gevolgrelatie. Telkens als de eerste gebeurtenis zich voordoet, weten we dat de
tweede er automatisch uit volgt. Bij ‘als’ staat de oorzaak, bij ‘dan’ het gevolg.
In de wiskunde duiden we deze relatie aan met een dubbele pijl in één richting (⇒)(van oorzaak naar
gevolg).
LET OP! Je kan de uitspraak niet zomaar omdraaien. Dus uit p ⇒ q kan je afleiden NIET q ⇒ NIET p.
Bijv.: ‘ALS ik een goed rapport heb, DAN krijg ik snoep’ wil niet zeggen dat je enkel snoep krijgt bij een goed rapport.
1
,1.3 ENKEL EN ALLEEN ALS-RELATIES
Bij een enkel-en-alleen-als-relatie hebben we een als-dan-relatie in twee richtingen. In de wiskunde
duiden we deze relatie aan met een dubbele pijl in twee richtingen (⇔).
Bijv.: Ik draag een bril enkel en alleen als ik de krant lees.
2 VERZAMELINGEN EN DEELVERZAMELINGEN
Verzamelingenleer biedt een fundamenteel kader om wiskundige concepten te begrijpen en
structureren. Ze vormt de basis van bijna alle wiskunde.
Al vanaf de kleuterklas kan verzamelingenleer op een speelse en visuele manier aangebracht
worden, met de nadruk op intuïtief leren ordenen, sorteren en structuur zien. Kinderen leren daarbij:
• voorwerpen groeperen op basis van eigenschappen (kleur, vorm, grootte, aantal),
• verzamelingen maken en vergelijken (meer, minder, evenveel),
• logische taal gebruiken (alles, niets, sommige, geen),
• en verbanden leggen tussen groepen en elementen als eerste stap naar logisch redeneren.
2.1 BEGRIP EN VOORSTELLINGSWIJZE
Een verzameling is een groep van objecten, mensen, getallen, ... die bij elkaar horen, die iets
DEF
gemeenschappelijk hebben.
Wiskundig gebruiken we een Venndiagram om een verzameling voor te stellen. Dat is een gesloten
kring, die we benoemen met een hoofdletter, en waarbij we de objecten/elementen in de kring
plaatsen.
A
2.2 MEERDERE VERZAMELINGEN – DEELVERZAMELINGEN
Als we twee verzamelingen A en B willen voorstellen, zorgen we voor een gemeenschappelijk gebied
met de elementen die tot twee verzamelingen horen.
A B
Het kan ook dat alle elementen van een verzameling ook tot de andere verzameling horen. Dan is
DEF
de ene verzameling een deel van de andere, we noemen dit wiskundig een deelverzameling.
A
D
2.3 LINK MET LOGITAAL
Als we alle elementen verzamelen die zowel tot A en B behoren,
hebben we een nieuwe verzameling. Wiskundig wordt dit de
doorsnede van A en B genoemd. Hier koppelen we de operator ‘en’.
Als we alle elementen bekijken die ofwel tot A ofwel tot B behoren,
noemen we dit wiskundig de unie van A en B. Hier koppelen we de
operator ‘of’ (inclusief).
2
, We kunnen ook elementen bekijken die tot A maar niet tot B
behoren, dit noemen we wiskundig het verschil van A en B. Hier
koppelen we de operatoren ‘en’ en ‘niet’.
2.4 ANDERE LOGISCHE BEGRIPPEN
Er zijn nog andere logische begrippen die iets zeggen over een aantal elementen waarvoor een
uitspraak is bedoeld:
Alle Deze uitspraak is bedoeld voor alle elementen van een bepaalde groep.
Bijv.: alle even getallen zijn deelbaar door 2.
Er bestaat Deze uitspraak is geldig voor minstens één element van de groep.
(er zijn, er is iemand, sommige) Bijv.: sommige driehoeken zijn gelijkzijdig.
Ontkenning Soms komen bestaande begrippen samen met een ontkenning voor:
Bijv.: alle → niet alle, elke → niet elke, er is een → geen enkele, sommige → geen enkele
2.5 TEGENVOORBEELD
Een tegenvoorbeeld is een voorbeeld dat aantoont dat een uitspraak niet altijd waar is. Je hebt
DEF
maar 1 tegenvoorbeeld nodig om te tonen dat een uitspraak fout is.
Binnen wiskunde wordt dit heel vaak gebruikt bij algemene redeneringen als ‘alle’, ‘geen enkele’.
1. Is het waar dat alle vierhoeken met loodrechte diagonale ruiten zijn?
Niet waar, tegenvoorbeeld: een vlieger
2.6 EIGENSCHAP OF KENMERK
2.6.1 EIGENSCHAPPEN ⇒
DEFEen ware uitspraak die geldt voor alle leden van een bepaalde groep, wordt een eigenschap van de
leden van die groep genoemd.
Een eigenschap kan je altijd schrijven met behulp van een als-dan-relatie (⇒).
• Het getal eindigt op 5 ⇒ het is deelbaar door 5
LET OP!
1. Ware uitspraken die niet voor alle leden van een groep gelden, zijn geen eigenschappen.
Bijv.: Sommige getallen die deelbaar zijn door 4, eindigen op 4. (dit geldt niet voor alle getallen deelbaar door 4)
2. Uitspraken die niet waar zijn, zijn geen eigenschappen.
Bijv.: Alle oneven getallen zijn deelbaar door 2. (dit is niet waar)
2.6.2 KENMERKEN ⇔
DEFEen eigenschap geldt voor alle leden van een groep. Als die eigenschap enkel voor alle leden van
deze groep geldt en je zo de groep kan herkennen, dan is die eigenschap een kenmerk van de groep.
Een kenmerk is dus een eigenschap die geldt in twee richtingen. Je kan ze opsplitsen in een
eigenschap en een omgekeerde eigenschap.
Je kan een kenmerk formuleren met behulp van de ‘enkel en alleen als’-relatie (⇔).
• Het getal is deelbaar door 3 ⇔ de som van de cijfers is deelbaar door 3
3
, DEEL 2: MEETKUNDE
HOOFDSTUK I : RUIMTELIJKE ORIËNTATIE EN RUIMTELIJK INZICHT
1 INLEIDING
Ruimtelijke oriëntatie gaat over het bepalen van de positie, richting en afstand. Dit zowel in de
DEF
werkelijke als in de verkleinde of afgebeelde ruimte.
2 DIDACTISCHE PRINCIPES
We beschrijven de evolutie van het meetkundig denken in 5 opeenvolgende fasen vertrekkende
vanuit de ruimtelijke oriëntatie van kleuters tot het ruimtelijk inzicht op het einde van de
basisschool.
FASE 1 WAARNEMEN – IN WERKELIJKHEID EN OP AFBEELDINGEN
Het kind leert de hem omringde wereld te interpreteren en benoemen: wat is groot/klein,
hoog/laag, voor/achter, enz. Er wordt een beeld gevormd van de werkelijkheid; de
waarneming wordt gerelativeerd (vanuit eigen standpunt) en geobjectiveerd.
FASE 2 (MENTAAL) INNEMEN VAN EEN STANDPUNT
Het kind leert ruimtelijk redeneren: het denkt na over hoe iets eruitziet vanuit een andere
hoek of perspectief. Wat is ‘voor’, ‘achter’, ‘links’ en ‘rechts’ vanuit een ander standpunt?
FASE 3 HET BESCHRIJVEN VAN EEN OBJECT
Het kind leert dat één afbeelding of perspectief niet genoeg is om een object volledig te
begrijpen. Daarom leert het meer nauwkeurige beschrijvingsmiddelen gebruiken — zoals
plattegronden, aanzichten, maquettes of schema’s.
FASE 4 ZICH EEN MENTAAL BEELD VORMEN
De leerling kan een mentaal beeld vormen van de situatie.
FASE 5 HET HANDELEN AAN EEN MENTALE VOORSTELLING
Deze fase is niet te scheiden van de vorige. Voor het vormen van een mentaal beeld moet een
aanleiding bestaan. Die kan je vinden in een probleemstelling, waar iets moet gedaan
worden met het mentaal beeld.
2.1 AANDACHTSPUNTEN
Er zijn een aantal didactische principes waarmee je rekening moet houden bij de overgang van het
ene meetkundige niveau naar het andere:
• Bij de volgorde van meetkundeactiviteiten laten we ons leiden door het niveau in de
denkontwikkeling van de leerling (niet de systematiek van het wiskundig systeem)
• Voor elke ontwikkelingsfase voorzien we voldoende activiteit. Te snel formaliseren leidt tot schijn-
of splintervaardigheden.
• Op elk moment in de leergang staan we leerlingen toe terug te keren naar een vorige denkfase als
ze moeilijkheden ondervinden.
3 LEERINHOUDEN
Ruimtelijke oriëntatie heeft een sterke link met aardrijkskunde.
3.1 STANDPUNTEN
Meetkundetaal is essentieel om ruimte, positie, richting en afstand te beschrijven. Vooral bij jonge
kinderen vraagt dit veel aandacht. De leerkracht gebruikt bewust de juiste termen (bijv. boven, onder,
op, ...), zodat leerlingen deze overnemen.
4
