Wiskunde 1.2
Deel 1: meten en metend rekenen (algemeen)
Inleiding
Meten en metend rekenen maakt gebruik van de kennis en vaardigheden uit de andere wiskundige
leerdomeinen. Het gaat immers niet alleen over het meten, maar ook over het rekenen met de
bekomen getallen. Ook biedt het kansen om vakoverschrijdend te werken. En tenslotte biedt het de
ideale context om probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen.
In de kleuterschool doen kinderen intuïtieve meetervaringen op, gericht of spontaan
In de lagere school worden deze ervaringen dan verder uitgediept en gebruikt als basis om te
komen tot bewuste meetactiviteiten
Dit houdt in dat de leerlingen meetreferenties opbouwen, meettoestellen op een juiste en gepaste
manier leren hanteren en de verbanden tussen gelijksoortige maten leren kennen, begrijpen en
toepassen.
Meten
DEFINITIE: Meten is de waarde van een grootheid bepalen die te vergelijken met een gelijksoortige
grootheid en het resultaat van die vergelijking uitdrukken in woorden (= kwalitatief) of in een getal
en een maat (= kwantitatief).
Kwalitatief meten
We spreken hierover wanneer het meetresultaat niet wordt uitgedrukt in een getal. Er wordt daarbij
(meestal) geen meetinstrument gebruikt. Je gaat vergelijken en kinderen doen dit veel!
Begrippen zoals koud, zwaar, vol, … wijzen op een vergelijking die meestal kwalitatief gebeurt, bv.
een volle beker melk; Brrr, wat is het buiten koud! …
Kinderen leren door dergelijke meetactiviteiten de verschillende eigenschappen van iets
herkennen en doorgronden
o Om dingen te kunnen vergelijken moet je immers niet enkel weten wat je gaat
vergelijken, maar moet je ook op zoek gaan naar (meet-)strategieën waarmee je de
vergelijking kan uitvoeren
Volwassenen meten vaak op een kwalitatieve manier.
o Oei, te weinig zout
Opmerkingen:
Dit vergelijken is niet altijd eenduidig ervaren. Deze zijn relatief, gerelateerd aan andere
factoren
o A vindt het water warm, maar B vindt het koud
Een vergelijking is subjectief
o Ik vind het zwaar, jij ook?
Sommige eigenschappen kan je niet meten
o X vindt dat beeldje mooi, Y niet
Een kwalitatieve activiteit wordt ook wel een onvolledige meetact genoemd
Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek) Pagina | 1
,Kwantitatief meten
Het betekent uitgedrukt in getallen. Het meetresultaat wordt dus uitgedrukt in een getal. We maken
bij het meten gebruik van een maat en drukken de te meten grootheid/eigenschap uit in verhouding
tot die maat. Dit doen we meestal m.b.v. een meetinstrument.
Een kwantitatieve meetactiviteit noemt men ook een volledige meetact
Deze metingen zijn objectief, tenminste als er eenduidigheid is over de maateenheid
Een maat bestaat uit een maatgetal en een maateenheid.
Maatgetal: 21 Maateenheid: cm Maat: 21 cm
Maatgetal en maateenheid staan nooit los van elkaar en zijn omgekeerd evenredig. Hoe groter het
maatgetal, hoe kleiner de maateenheid; hoe kleiner het maatgetal, hoe groter de maateenheid.
Opmerkingen:
Maat is een woord met meerdere betekenissen
o Meetinstrument (de verkorting van maateenheid)
In de basisschool wordt niet van de kinderen verwacht dat ze de begrippen kunnen
definiëren. Het belangrijkste is dat ze ze begrijpen en kunnen hanteren
Het kan een zelfgekozen maat zijn of de maat kan een conventionele maat zijn
o Je voet als natuurlijke lengtemaat, een dm als conventionele maat
Kwalitatief Kwantitatief
Niet altijd nodig om getal te kennen Eenduidig
Meetstrategie onderzoeken
Taal leren kennen
Nadeel: Beredenerend vanuit:
- Kan subjectief zijn - Referentiematen
- Kan relatief zijn - Referentiepunten
Precies meten
Het is belangrijk om het resultaat zo nauwkeurig als nodig te bepalen. Begrip nauwkeurigheid!
Het gepaste meetinstrument
Nadat kinderen een goed zicht hebben op de te meten grootheid en de verschillende
meetinstrumenten, moeten ze ook beslissen welk meetinstrument in welke situatie het meest
aangewezen is. Belangrijk is dat de leerlingen daarvoor kunnen beschikken over een geijkt en
onbeschadigd meetinstrument om correct te leren/kunnen meten. Het juiste gebruik, de juiste
meettechniek van een juist meetinstrument is uiteraard van primair belang.
Vereiste nauwkeurigheid
Dit hangt af van het doel en de verwachting van de meting. Het heeft alles te maken met de context
waarin de meting gebeurt.
Als een persoon zich thuis weegt op een personenweegschaal is die tevreden als hij zijn
gewicht kent op ½ kg na
o De toestellen geven meestal een gewicht in kilogram met één cijfer na de komma
Een apotheker daarentegen moet heel nauwkeurig kunnen wegen bij het bereiden van
geneesmiddelen
Aard van het te meten object
Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek) Pagina | 2
,De omtrek van een rechthoekige figuur kan je preciezer meten dan de omtrek van je hand.
Schattend meten
Schatten
Het is een nuttige vaardigheid. Het geeft je meer vertrouwen om een gepast meetinstrument te
kiezen alvorens aan de meting te beginnen, om de juiste maateenheden te gebruiken en laat toe om
achteraf te controleren, door dit te vergelijken met je vooraf gemaakte schatting.
Merk ook op dat je bij precies meten en schattend meten telkens kwalitatief of kwantitatief kan
meten.
Referentiepunten en referentiematen
DEFINITIE: schatten is dan passend gebruik maken van die referenties en passende schat- en
rekenstrategieën toepassen om een zo goed mogelijke benadering te maken van de werkelijke
waarde.
Om te kunnen schatten is het belangrijk dat je je kan baseren op maten die je kent uit ervaring
(referentiepunten). Referentiepunten bouwen we op vanuit ervaringen in onze leefomgeving.
Door maten aanschouwelijk voor te stellen m.b.v. deze referentiepunten, ontwikkelt men
maatgevoel. Zo bouwt iedereen aan zijn persoonlijk referentiekader.
Referentiepunten die verwijzen naar eenheidsmaten zijn referentiematen. Deze worden ook wel
‘ijzeren maten’ of ‘ankermaten’ genoemd.
Kies voor de gebruikelijke standaardmaten dezelfde referentiemaat doorheen de hele lagere school.
Organisatie meetles
Het is van essentieel belang dat kinderen meetervaringen opdoen. De lessen meten en metend
rekenen vragen een goed georganiseerde voorbereiding aangezien een te rommelig geheel zowel
voor de lerende leerlingen als voor de begeleidende leerkracht bevorderlijk is.
Maak een materialenlijst
Groepswerk, klassikaal of een combinatie
Is het nodig/zinvol dat leerlingen nota nemen van hun metingen
Wat met leerlingen die vroegtijdig klaar zijn met hun metingen
Heb ik aandacht geschonken aan schatactiviteiten met controle
Wat kan er fout lopen en hoe kan ik dit opvangen
Hoe een (eventuele) nabespreking laten plaatsvinden
Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek) Pagina | 3
, Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek)
Hoofdstuk 1: lengte
1.1 Lengtebegrip
Lengte is een veelzijdige grootheid: het gaat hierbij niet enkel om de zuivere ‘lengte’ van een object,
maar ook om de breedte, diepte, hoogte, omtrek en afstand tussen objecten.
1.2 Belang van lengtemetingen
Lengtemetingen nemen een belangrijke plaats in het meetproces. Meestal is de lengte de eerste
grootheid die kinderen meten. Enkele redenen:
Lengten zijn duidelijk waarneembaar: je kan lengten vaak ‘op zicht’ vergelijken
Kinderen zijn erg geïnteresseerd in hun lengte
Kinderen ervaren al heel snel afstanden en afmetingen
Het is zichtbaar en een gewicht niet
…
Maar ook om didactische redenen is het aangewezen om voldoende ruimte te geven tot ervaren en
onderzoeken van lengtemetingen.
Het is ook de basis voor de andere metingen: we gebruiken immers heel wat
meetinstrumenten bij het meten van andere grootheden, waarbij het aflezen van het
meetresultaat een vorm van lengtemeting is
o Aflezen van een maatbeker, een analoge weegschaal of snelheidsmeter,…
Bovendien is de tiendelige opbouw van het systeem van maten en afgeleide maten altijd goed
zichtbaar waardoor het model kan staan voor andere maten.
Het is dan ook van fundamenteel belang om kinderen veel kansen te bieden om lengtemetingen uit
te voeren en de lengtematen te verkennen.
1.4 De standaardmaat: de meter
Vanuit de ervaringen die de leerlingen opdoen met het meten met natuurlijke maten, ontstaat bij
hen de nood aan een standaardmaat.
Om de meter te introduceren wordt meestal een stokmeter of bordlat gebruikt. Dit voorwerp wordt
dan meteen een goede referentiemaat: het is immers altijd in de klas aanwezig waardoor er steeds
kan naar gerefereerd worden. Voordeel bij de stokmeter is dat die precies 1 meter is en dat er vaak
aan één kant geen onderverdeling in kleinere maten opstaat, zodat de kinderen daardoor niet
verward worden.
In het eerste leerjaar wordt vaak de armwijdte als referentiemaat gebruikt. Voordeel is dat de
kinderen die altijd bij de hand hebben, maar nadeel is natuurlijk dat deze maat groeit en dus zijn
waarde als referentie verliest.
Onderzoekjes/metingen: hierbij moet de nodige aandacht gaan naar het taalgebruik bij het
verwoorden van de strategie en het meetresultaat (bv. ruim, bijna, ongeveer, precies, iets minder
dan, gelijk aan). Voor het noteren van de schatting en de meetresultaten wordt vaak gebruik
gemaakt van een meetkaart.
1.5 Afgeleide maten
De nood aan een kleinere of grotere maten dringt zich op.
Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek) Pagina | 4
Deel 1: meten en metend rekenen (algemeen)
Inleiding
Meten en metend rekenen maakt gebruik van de kennis en vaardigheden uit de andere wiskundige
leerdomeinen. Het gaat immers niet alleen over het meten, maar ook over het rekenen met de
bekomen getallen. Ook biedt het kansen om vakoverschrijdend te werken. En tenslotte biedt het de
ideale context om probleemoplossende vaardigheden te ontwikkelen.
In de kleuterschool doen kinderen intuïtieve meetervaringen op, gericht of spontaan
In de lagere school worden deze ervaringen dan verder uitgediept en gebruikt als basis om te
komen tot bewuste meetactiviteiten
Dit houdt in dat de leerlingen meetreferenties opbouwen, meettoestellen op een juiste en gepaste
manier leren hanteren en de verbanden tussen gelijksoortige maten leren kennen, begrijpen en
toepassen.
Meten
DEFINITIE: Meten is de waarde van een grootheid bepalen die te vergelijken met een gelijksoortige
grootheid en het resultaat van die vergelijking uitdrukken in woorden (= kwalitatief) of in een getal
en een maat (= kwantitatief).
Kwalitatief meten
We spreken hierover wanneer het meetresultaat niet wordt uitgedrukt in een getal. Er wordt daarbij
(meestal) geen meetinstrument gebruikt. Je gaat vergelijken en kinderen doen dit veel!
Begrippen zoals koud, zwaar, vol, … wijzen op een vergelijking die meestal kwalitatief gebeurt, bv.
een volle beker melk; Brrr, wat is het buiten koud! …
Kinderen leren door dergelijke meetactiviteiten de verschillende eigenschappen van iets
herkennen en doorgronden
o Om dingen te kunnen vergelijken moet je immers niet enkel weten wat je gaat
vergelijken, maar moet je ook op zoek gaan naar (meet-)strategieën waarmee je de
vergelijking kan uitvoeren
Volwassenen meten vaak op een kwalitatieve manier.
o Oei, te weinig zout
Opmerkingen:
Dit vergelijken is niet altijd eenduidig ervaren. Deze zijn relatief, gerelateerd aan andere
factoren
o A vindt het water warm, maar B vindt het koud
Een vergelijking is subjectief
o Ik vind het zwaar, jij ook?
Sommige eigenschappen kan je niet meten
o X vindt dat beeldje mooi, Y niet
Een kwalitatieve activiteit wordt ook wel een onvolledige meetact genoemd
Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek) Pagina | 1
,Kwantitatief meten
Het betekent uitgedrukt in getallen. Het meetresultaat wordt dus uitgedrukt in een getal. We maken
bij het meten gebruik van een maat en drukken de te meten grootheid/eigenschap uit in verhouding
tot die maat. Dit doen we meestal m.b.v. een meetinstrument.
Een kwantitatieve meetactiviteit noemt men ook een volledige meetact
Deze metingen zijn objectief, tenminste als er eenduidigheid is over de maateenheid
Een maat bestaat uit een maatgetal en een maateenheid.
Maatgetal: 21 Maateenheid: cm Maat: 21 cm
Maatgetal en maateenheid staan nooit los van elkaar en zijn omgekeerd evenredig. Hoe groter het
maatgetal, hoe kleiner de maateenheid; hoe kleiner het maatgetal, hoe groter de maateenheid.
Opmerkingen:
Maat is een woord met meerdere betekenissen
o Meetinstrument (de verkorting van maateenheid)
In de basisschool wordt niet van de kinderen verwacht dat ze de begrippen kunnen
definiëren. Het belangrijkste is dat ze ze begrijpen en kunnen hanteren
Het kan een zelfgekozen maat zijn of de maat kan een conventionele maat zijn
o Je voet als natuurlijke lengtemaat, een dm als conventionele maat
Kwalitatief Kwantitatief
Niet altijd nodig om getal te kennen Eenduidig
Meetstrategie onderzoeken
Taal leren kennen
Nadeel: Beredenerend vanuit:
- Kan subjectief zijn - Referentiematen
- Kan relatief zijn - Referentiepunten
Precies meten
Het is belangrijk om het resultaat zo nauwkeurig als nodig te bepalen. Begrip nauwkeurigheid!
Het gepaste meetinstrument
Nadat kinderen een goed zicht hebben op de te meten grootheid en de verschillende
meetinstrumenten, moeten ze ook beslissen welk meetinstrument in welke situatie het meest
aangewezen is. Belangrijk is dat de leerlingen daarvoor kunnen beschikken over een geijkt en
onbeschadigd meetinstrument om correct te leren/kunnen meten. Het juiste gebruik, de juiste
meettechniek van een juist meetinstrument is uiteraard van primair belang.
Vereiste nauwkeurigheid
Dit hangt af van het doel en de verwachting van de meting. Het heeft alles te maken met de context
waarin de meting gebeurt.
Als een persoon zich thuis weegt op een personenweegschaal is die tevreden als hij zijn
gewicht kent op ½ kg na
o De toestellen geven meestal een gewicht in kilogram met één cijfer na de komma
Een apotheker daarentegen moet heel nauwkeurig kunnen wegen bij het bereiden van
geneesmiddelen
Aard van het te meten object
Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek) Pagina | 2
,De omtrek van een rechthoekige figuur kan je preciezer meten dan de omtrek van je hand.
Schattend meten
Schatten
Het is een nuttige vaardigheid. Het geeft je meer vertrouwen om een gepast meetinstrument te
kiezen alvorens aan de meting te beginnen, om de juiste maateenheden te gebruiken en laat toe om
achteraf te controleren, door dit te vergelijken met je vooraf gemaakte schatting.
Merk ook op dat je bij precies meten en schattend meten telkens kwalitatief of kwantitatief kan
meten.
Referentiepunten en referentiematen
DEFINITIE: schatten is dan passend gebruik maken van die referenties en passende schat- en
rekenstrategieën toepassen om een zo goed mogelijke benadering te maken van de werkelijke
waarde.
Om te kunnen schatten is het belangrijk dat je je kan baseren op maten die je kent uit ervaring
(referentiepunten). Referentiepunten bouwen we op vanuit ervaringen in onze leefomgeving.
Door maten aanschouwelijk voor te stellen m.b.v. deze referentiepunten, ontwikkelt men
maatgevoel. Zo bouwt iedereen aan zijn persoonlijk referentiekader.
Referentiepunten die verwijzen naar eenheidsmaten zijn referentiematen. Deze worden ook wel
‘ijzeren maten’ of ‘ankermaten’ genoemd.
Kies voor de gebruikelijke standaardmaten dezelfde referentiemaat doorheen de hele lagere school.
Organisatie meetles
Het is van essentieel belang dat kinderen meetervaringen opdoen. De lessen meten en metend
rekenen vragen een goed georganiseerde voorbereiding aangezien een te rommelig geheel zowel
voor de lerende leerlingen als voor de begeleidende leerkracht bevorderlijk is.
Maak een materialenlijst
Groepswerk, klassikaal of een combinatie
Is het nodig/zinvol dat leerlingen nota nemen van hun metingen
Wat met leerlingen die vroegtijdig klaar zijn met hun metingen
Heb ik aandacht geschonken aan schatactiviteiten met controle
Wat kan er fout lopen en hoe kan ik dit opvangen
Hoe een (eventuele) nabespreking laten plaatsvinden
Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek) Pagina | 3
, Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek)
Hoofdstuk 1: lengte
1.1 Lengtebegrip
Lengte is een veelzijdige grootheid: het gaat hierbij niet enkel om de zuivere ‘lengte’ van een object,
maar ook om de breedte, diepte, hoogte, omtrek en afstand tussen objecten.
1.2 Belang van lengtemetingen
Lengtemetingen nemen een belangrijke plaats in het meetproces. Meestal is de lengte de eerste
grootheid die kinderen meten. Enkele redenen:
Lengten zijn duidelijk waarneembaar: je kan lengten vaak ‘op zicht’ vergelijken
Kinderen zijn erg geïnteresseerd in hun lengte
Kinderen ervaren al heel snel afstanden en afmetingen
Het is zichtbaar en een gewicht niet
…
Maar ook om didactische redenen is het aangewezen om voldoende ruimte te geven tot ervaren en
onderzoeken van lengtemetingen.
Het is ook de basis voor de andere metingen: we gebruiken immers heel wat
meetinstrumenten bij het meten van andere grootheden, waarbij het aflezen van het
meetresultaat een vorm van lengtemeting is
o Aflezen van een maatbeker, een analoge weegschaal of snelheidsmeter,…
Bovendien is de tiendelige opbouw van het systeem van maten en afgeleide maten altijd goed
zichtbaar waardoor het model kan staan voor andere maten.
Het is dan ook van fundamenteel belang om kinderen veel kansen te bieden om lengtemetingen uit
te voeren en de lengtematen te verkennen.
1.4 De standaardmaat: de meter
Vanuit de ervaringen die de leerlingen opdoen met het meten met natuurlijke maten, ontstaat bij
hen de nood aan een standaardmaat.
Om de meter te introduceren wordt meestal een stokmeter of bordlat gebruikt. Dit voorwerp wordt
dan meteen een goede referentiemaat: het is immers altijd in de klas aanwezig waardoor er steeds
kan naar gerefereerd worden. Voordeel bij de stokmeter is dat die precies 1 meter is en dat er vaak
aan één kant geen onderverdeling in kleinere maten opstaat, zodat de kinderen daardoor niet
verward worden.
In het eerste leerjaar wordt vaak de armwijdte als referentiemaat gebruikt. Voordeel is dat de
kinderen die altijd bij de hand hebben, maar nadeel is natuurlijk dat deze maat groeit en dus zijn
waarde als referentie verliest.
Onderzoekjes/metingen: hierbij moet de nodige aandacht gaan naar het taalgebruik bij het
verwoorden van de strategie en het meetresultaat (bv. ruim, bijna, ongeveer, precies, iets minder
dan, gelijk aan). Voor het noteren van de schatting en de meetresultaten wordt vaak gebruik
gemaakt van een meetkaart.
1.5 Afgeleide maten
De nood aan een kleinere of grotere maten dringt zich op.
Deel 2: meten en metend rekenen (specifiek) Pagina | 4
