Teoría algebraica

A.P.U. “EXITUS” Ciclo 2014

TEORÍA DE EXPONENTES

LEYES DE EXPONENTES LEYES FUNDAMENTALES

Son definiciones y teoremas ligadas a las operaciones de 1) Multiplicación de bases iguales
potenciación y radicación en el campo de los números
reales.
a m .a n  a mn
Ejemplo:
 2 . 23 . 25 = 29 = 512
POTENCIACIÓN
 3-2 . 38 . 3-3 = 33 = 27
Es la operación matemática que permite la presencia del
2) División de bases iguales
exponente afectando a una expresión llamada base y cuyo
resultado se denomina potencia. am
 a m n ;a0
n
a
an  P ; a  R ; n  Z ; P R
Ejemplo:
Donde: a: Base 320
n: Exponente
 16
 32016  34  81
P: Potencia 3
Definiciones Importantes:
6n 18
1. Exponente Natural:  n 15
 6n18n15  63  216
cuando “n” es un número natural y la base “a” es un 6
número real se define:
an  a  a  a a 3) Exponente negativo
n
" n " veces
1 1
n
Ejemplos: 43 = 4 . 4. 4 = 64 a  n   ; si a  0; n  N
(-5)4 = (-5) . (-5) (-5) (-5) = 625
a a
a) Exponente Cero:
si n= 0 se tiene que toda base real a excepción Ejemplo:
del cero elevada a la cero es igual a la unidad. 1 1

3 2  
32 9
a0  1 , a  R  a  0
1 1 1
 5
3
   
 5 125
3
Ejemplos: (-4)0 = 1 125
0
5
  1 n
4 a b bn
n
NOTA: No tiene sentido calcular 0 0      ; ab0
pues es indeterminado  b a an

b) Exponente Uno NOTA
si n = 1se tiene que toda base real elevada al p
exponente uno es igual a la misma cantidad.  am  b n. p
 bn   m. p
a 1  a,  a  R   a
REGLA DE SIGNOS Ejemplo:
3 3
3 4 4
3
64
(-a)# par = +a# par       
4 3 3
3
(-a)#impar = -a# impar 27
(+a)# par = +a# par
(+a)# impar = +a# impar 4) Potencia de una potencia
n m m n n.m
Ejemplos : (a )  (a )  a
(-7)2 = 72 = 7 . 7 = 64
(-2)6 = 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64
(-5)3 = -53 = -5 . 5 . 5 = -125


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Ejemplo: REGLAS DE SIGNOS EN LA RADICACIÓN

  
2
 3 2
 2  23.2.2  212  4096
 A  R
# par
 A  R
# im par
 ;

 A  R
# im par # par
5) Potencia de un producto ;  A  imaginario
(abc)  a .b .c
n
n n n

Ejemplo: Ejemplos:
2. 3   2 . 3  8.3  24
3
216  4
3
3 3 3 4

   44 = 256
raíz real
principal
6) Potenciación de un cociente
n
a an
   n ; b0
5
32 = 2  25 = 32
b b 3 3
 125 = - 125 = -5  (-5)3 = -125
Ejemplo:
4 8) Exponente fraccionario
4 4
4
256
    4  m
5 5 625 n
a n  am ; m
es una fracción irreducible
n
Observaciones importantes:

a. La potenciación es distributiva respecto a la Ejemplos:
multiplicación y división . 1
83  38  2
 a 
p
m n   am
np 

 
1
 1 1
b. Potencia con  81 4  4 81  3 1 
exponentes en cadena 3
Potencia de
potencia 3
5 3 5
 5  5  125
5
c. Una potencia con exponentes en cadena, se reduce 5
desde la parte superior. 7 5
 2  27
w
p T
n w
m m T 9) Raíz de una raíz
a = a = a = I

d. Recordar que la igualdad goza de la propiedad m n p mnp
simétrica, es decir: a  a ; m , n, p  R

a  b  b  a, a, b R Si mnp > 0  a  0

Ejemplo:

RADICACIÓN 34 5 2.3.4 5 24 5
x  x  x
Es una operación inversa a la potenciación, donde a partir
de dos cantidades: Índice y Radicando obtendremos otra 10) Producto de radicales con índices iguales

 
cantidad llamada raíz.
n
ab  n
a . n
b ; n
a ; n
b R
n
a  r  a  r ; n N  n1
n
Si n es par entonces a  0  b  0
Donde:
Ejemplos:
Indice (n  N)
 18 . 8  144  12
n
a = r
3 8 3 6 3 2 3
Radicando Raíz enésima
 x  x . x  x2 . x2



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11) División de radicales con índices iguales
7) a(a  1)  a(a  1)  a(a  1)......  a  1
n
a a
n
b

n
b
; b0,  a ; b  R
n n
a(a  1)  a(a  1)  a(a  1)....  a  1

Si n es par entonces a  0  b > 0 n
nn
n
Ejemplo: n
8.1 n
n n
294 249 
  49  7 8) nn
6 6 n
n
8.2 n
n n
CASOS ESPECIALES

a n  bn
m
x an
y b p
z  x . mn y .
c m a b mnp
z c 9)
n  ab
a  n  b n
1)
 mnp x anp . y bp . z c
a n  bn
10)
n  ab
OBSERVACIÓN: Del Teorema anterior, si las bases x, y z b n  a  n
son iguales, se concluye a una forma práctica de reducir,
veamos:
(ab)n  (ac) n  (bc) n
11)  abc
m a n b p c mnp (an  b)p  c a  n  b n  c  n
1.1) x x x  x Leyes
de
Waltor ¡Algo para recordar!

m a n p mnp (an  b)p  c
1.2) x : x b : xc  x (am  b)p  c
n
x a m
x b p
x x c n.m.p

nm 1
nm Para el numerador
2)
n
a n
a n a m rad  a n 1
x + x +
a m b p c
producto, suma
mn m 1 n


a m 1
m m
a: a : m a : .... m a : 
3)

; Si “n” es impar (am  b)p  c

x  x  x x
n radicales n a m b p c n.m.p



mn m n 1
Para el numerador
a m 1
m
a : m a : m a : .... m a :  x - x +
4)  ; Si “n” es par
n radicales
a m b p c
producto,resta,producto,suma

m nm n m1 n
5) x x   x


m n m n m n m1 n
6) x  x  x    x




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