Calculus for Biology and Medicine – 4th
ST
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Comprehensive Solutions Manual for Instructors
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and Students
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,ST
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Contents
1 Preview and Review 5
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1.1 Precalculus Skills Diagnostic Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Graphing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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Chapter 1 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2 Discrete-Time Models, Sequences, and Difference Equations 87
2.1 Exponential Growth and Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3 Modeling with Recursion Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
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Chapter 2 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Limits and Continuity 133
3.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
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3.3 Limits at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.4 Trigonometric Limits and the Sandwich Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.5 Properties of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.6 A Formal Definition of Limits (Optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Chapter 3 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
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4 Differentiation 185
4.1 Formal Definition of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.2 Properties of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.3 The Power Rule, the Basic Rules of Differentiation, and the Derivatives of Polynomials . . 201
4.4 The Product and Quotient Rules, and the Derivatives of Rational and Power Functions . 214
D?
4.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.6 Implicit Functions and Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.7 Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.8 Derivatives of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.9 Derivatives of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
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4.10 Derivatives of Inverse Functions, Logarithmic Functions, and the Inverse Tangent Function 254
4.11 Linear Approximation and Error Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Chapter 4 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
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, 2 CONTENTS
5 Applications of Differentiation 275
ST
5.1 Extrema and the Mean-Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.2 Monotonicity and Concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.3 Extrema and Inflection Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
5.4 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.5 L’Hôpital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
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5.6 Graphing and Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.7 Recurrence Equations: Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.8 Numerical Methods: The Newton-Raphson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
5.9 Modeling Biological Systems Using Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
5.10 Antiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Chapter 5 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
IA
6 Integration 399
6.1 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.2 The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.3 Applications of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
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Chapter 6 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
7 Integration Techniques and Computational Methods 465
7.1 The Substitution Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
7.2 Integration by Parts and Practicing Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
7.3 Rational Functions and Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
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7.4 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
7.5 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.6 The Taylor Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
7.7 Tables of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
Chapter 7 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
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8 Differential Equations 565
8.1 Solving Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
8.2 Equilibria and Their Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
8.3 Differential Equation Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
8.4 Integrating Factors and Two-Compartment Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
Chapter 8 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
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9 Linear Algebra and Analytic Geometry 655
9.1 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
9.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
9.3 Linear Maps, Eigenvectors, and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
9.4 Demographic Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
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9.5 Analytic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
Chapter 9 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
10 Multivariable Calculus 733
10.1 Functions of Two or More Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
10.2 Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
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10.3 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
10.4 Tangent Planes, Differentiability, and Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
10.5 The Chain Rule and Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
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, CONTENTS 3
10.6 Directional Derivatives and Gradient Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
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10.7 Maximization and Minimization of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
10.8 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
10.9 Systems of Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
Chapter 10 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
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11 Systems of Differential Equations 831
11.1 Linear Systems: Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831
11.2 Linear Systems: Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
11.3 Nonlinear Autonomous Systems: Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
11.4 Nonlinear Systems: Lotka-Volterra Model for Interspecific Interactions . . . . . . . . . . . 895
11.5 More Mathematical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
Chapter 11 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
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12 Probability and Statistics 935
12.1 Counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
12.2 What is Probability? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940
12.3 Conditional Probability and Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948
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12.4 Discrete Random Variables and Discrete Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
12.5 Continuous Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
12.6 Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
12.7 Statistical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
Chapter 12 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020
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1 Preview and Review 5
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1.1 Precalculus Skills Diagnostic Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Graphing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
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Chapter 1 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2 Discrete-Time Models, Sequences, and Difference Equations 87
2.1 Exponential Growth and Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3 Modeling with Recursion Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
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Chapter 2 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Limits and Continuity 133
3.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
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3.3 Limits at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.4 Trigonometric Limits and the Sandwich Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.5 Properties of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.6 A Formal Definition of Limits (Optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Chapter 3 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
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4 Differentiation 185
4.1 Formal Definition of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.2 Properties of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.3 The Power Rule, the Basic Rules of Differentiation, and the Derivatives of Polynomials . . 201
4.4 The Product and Quotient Rules, and the Derivatives of Rational and Power Functions . 214
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4.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.6 Implicit Functions and Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.7 Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.8 Derivatives of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.9 Derivatives of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
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4.10 Derivatives of Inverse Functions, Logarithmic Functions, and the Inverse Tangent Function 254
4.11 Linear Approximation and Error Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Chapter 4 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
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5 Applications of Differentiation 275
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5.1 Extrema and the Mean-Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.2 Monotonicity and Concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.3 Extrema and Inflection Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
5.4 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.5 L’Hôpital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
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5.6 Graphing and Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.7 Recurrence Equations: Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.8 Numerical Methods: The Newton-Raphson Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
5.9 Modeling Biological Systems Using Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
5.10 Antiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Chapter 5 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
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6 Integration 399
6.1 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
6.2 The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.3 Applications of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
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Chapter 6 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
7 Integration Techniques and Computational Methods 465
7.1 The Substitution Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
7.2 Integration by Parts and Practicing Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
7.3 Rational Functions and Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
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7.4 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
7.5 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
7.6 The Taylor Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
7.7 Tables of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
Chapter 7 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
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8 Differential Equations 565
8.1 Solving Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
8.2 Equilibria and Their Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
8.3 Differential Equation Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
8.4 Integrating Factors and Two-Compartment Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
Chapter 8 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
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9 Linear Algebra and Analytic Geometry 655
9.1 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
9.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
9.3 Linear Maps, Eigenvectors, and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
9.4 Demographic Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
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9.5 Analytic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714
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10 Multivariable Calculus 733
10.1 Functions of Two or More Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
10.2 Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
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10.3 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
10.4 Tangent Planes, Differentiability, and Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
10.5 The Chain Rule and Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
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10.6 Directional Derivatives and Gradient Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
ST
10.7 Maximization and Minimization of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
10.8 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
10.9 Systems of Difference Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
Chapter 10 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
UV
11 Systems of Differential Equations 831
11.1 Linear Systems: Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831
11.2 Linear Systems: Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
11.3 Nonlinear Autonomous Systems: Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873
11.4 Nonlinear Systems: Lotka-Volterra Model for Interspecific Interactions . . . . . . . . . . . 895
11.5 More Mathematical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
Chapter 11 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924
IA
12 Probability and Statistics 935
12.1 Counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935
12.2 What is Probability? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 940
12.3 Conditional Probability and Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948
_A
12.4 Discrete Random Variables and Discrete Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
12.5 Continuous Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
12.6 Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
12.7 Statistical Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
Chapter 12 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1020
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