Sujet : En quoi les suites géométriques modélisent-elles la
propagation d’un rumeur ?
On a tous déjà entendu ce genre de phrases : « Il paraît que... », « Tu
savais que... ». C’est souvent comme ça qu’une rumeur commence. Un
mot soufflé à l’oreille, un message envoyé, un post sur les réseaux et en
quelques heures des milliers de personnes en parlent. Mais ce qui est
fascinant, c’est que derrière ce phénomène, il existe en fait une logique. Et
cette logique, les mathématiques peuvent nous aider à la comprendre.
L’un des outils les plus simples pour ça, c’est la suite géométrique : une
suite où chaque terme se calcule en multipliant le précédent par un même
nombre. Mais en quoi les suites géométriques permettent-elles de
modéliser la propagation d’une rumeur ? Pour y répondre, nous verrons
d’abord comment les suites, notamment géométriques, permettent de
représenter la propagation d’une rumeur dans une population. Puis, on
s’interrogera sur les limites de ce modèle : est-ce qu’il colle toujours à la
réalité ? Et si ce n’est pas le cas, comment l’améliorer ?
I. La modélisation de la propagation d'une rumeur par une suite
géométrique
A. Formalisation mathématique du problème
Imaginons la situation suivante : à 8h, un élève reçoit un message disant
que le prof est absent. C’est notre point de départ, la première personne
informée qu’on note u₀. Il en parle ensuite à deux camarades. On a alors q
= 2 qui représente notre facteur de transmission donc le nombre moyen
de nouvelles personnes informées par chaque porteur de la rumeur à à
chaque étape de propagation, on alors s’intéresse à uₙ, c’est-à-dire
combien de nouvelles personnes apprennent la rumeur à l’étape n. On sait
maintenant qu’à chaque étape, chaque personne transmet la rumeur à q
autres. On obtient alors notre relation de récurrence : u₊₁ₙ = q × uₙ. Mais, si
on connaît le nombre de personnes au départ, on peut modéliser la
rumeur avec le terme général de la suite géométrique qui s’écrit : uₙ = u₀
× qⁿ. Et si on veut savoir combien de personnes en tout ont été touchées
par la rumeur jusqu’à l’étape n, on calcule Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q), avec
q différent de 1. Cette formule nous montre à quel point une rumeur peut
vite devenir virale. Quand q est grand, la rumeur se propage très vite, de
façon exponentielle.
B. Interprétation probabiliste du modèle
Dans ce modèle, on a admis que chaque personne informée transmettait
la rumeur à un nombre fixe de personnes qu’on appelle q. Mais, dans la
vraie vie, tout le monde ne transmet pas forcément une rumeur. C’est
pourquoi on introduit la notion de probabilité. On note P la probabilité
qu’une personne informée transmette la rumeur à un de ses contacts et k
le nombre moyen de contacts qu’une personne a. En considérant que
chaque personne informée transmet la rumeur à P × k personnes, on
définit q comme le nombre moyen de personnes à qui une personne
informée transmet la rumeur. Ainsi on a : q = P × k. Donc plus on est
bavard ou plus on a de contacts et plus la rumeur circule. Si q > 1, la
propagation d’un rumeur ?
On a tous déjà entendu ce genre de phrases : « Il paraît que... », « Tu
savais que... ». C’est souvent comme ça qu’une rumeur commence. Un
mot soufflé à l’oreille, un message envoyé, un post sur les réseaux et en
quelques heures des milliers de personnes en parlent. Mais ce qui est
fascinant, c’est que derrière ce phénomène, il existe en fait une logique. Et
cette logique, les mathématiques peuvent nous aider à la comprendre.
L’un des outils les plus simples pour ça, c’est la suite géométrique : une
suite où chaque terme se calcule en multipliant le précédent par un même
nombre. Mais en quoi les suites géométriques permettent-elles de
modéliser la propagation d’une rumeur ? Pour y répondre, nous verrons
d’abord comment les suites, notamment géométriques, permettent de
représenter la propagation d’une rumeur dans une population. Puis, on
s’interrogera sur les limites de ce modèle : est-ce qu’il colle toujours à la
réalité ? Et si ce n’est pas le cas, comment l’améliorer ?
I. La modélisation de la propagation d'une rumeur par une suite
géométrique
A. Formalisation mathématique du problème
Imaginons la situation suivante : à 8h, un élève reçoit un message disant
que le prof est absent. C’est notre point de départ, la première personne
informée qu’on note u₀. Il en parle ensuite à deux camarades. On a alors q
= 2 qui représente notre facteur de transmission donc le nombre moyen
de nouvelles personnes informées par chaque porteur de la rumeur à à
chaque étape de propagation, on alors s’intéresse à uₙ, c’est-à-dire
combien de nouvelles personnes apprennent la rumeur à l’étape n. On sait
maintenant qu’à chaque étape, chaque personne transmet la rumeur à q
autres. On obtient alors notre relation de récurrence : u₊₁ₙ = q × uₙ. Mais, si
on connaît le nombre de personnes au départ, on peut modéliser la
rumeur avec le terme général de la suite géométrique qui s’écrit : uₙ = u₀
× qⁿ. Et si on veut savoir combien de personnes en tout ont été touchées
par la rumeur jusqu’à l’étape n, on calcule Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q), avec
q différent de 1. Cette formule nous montre à quel point une rumeur peut
vite devenir virale. Quand q est grand, la rumeur se propage très vite, de
façon exponentielle.
B. Interprétation probabiliste du modèle
Dans ce modèle, on a admis que chaque personne informée transmettait
la rumeur à un nombre fixe de personnes qu’on appelle q. Mais, dans la
vraie vie, tout le monde ne transmet pas forcément une rumeur. C’est
pourquoi on introduit la notion de probabilité. On note P la probabilité
qu’une personne informée transmette la rumeur à un de ses contacts et k
le nombre moyen de contacts qu’une personne a. En considérant que
chaque personne informée transmet la rumeur à P × k personnes, on
définit q comme le nombre moyen de personnes à qui une personne
informée transmet la rumeur. Ainsi on a : q = P × k. Donc plus on est
bavard ou plus on a de contacts et plus la rumeur circule. Si q > 1, la
