Samenvatting Wiskunde getallen en bewerkingen 2de jaar

GETALLEN EN BEWERKINGEN
1. TALSTELSELS

1.1 GESCHIEDENIS VAN DE GETALLEN

Waarom is de mens ooit begonnen met getallen te werken? Waarom is er die noodzaak aan getallen? Een
leven zonder getallen is voor de mens niet te vatten. Geen getallen betekent geen besef van tijd, ruimte of
afstand. Waarschijnlijk zouden we in deze tijd zonder getallen nog net zo primitief leven als vroeger.

VERHAAL HERDER
Vele tientallen eeuwen geleden, toen de mens overging van de jacht naar de landbouw en veeteelt, was er wel
eens een herder die met problemen zat. ’s Ochtends stuurde hij zijn kudde schapen buiten, naar de weide,
maar als hij ze ’s avonds weer in de stal liet, dan wist hij nooit of ze er allemaal waren. Op een nacht kreeg hij
een lumineus idee. Toen hij de volgende ochtend zijn schapen liet vertrekken, legde hij voor elk dier dat hem
passeerde een kiezelsteentje opzij. ’s Avonds nam hij dan voor elk schaap dat de stal opnieuw binnenkwam een
kiezelsteentje van de stapel af. Zo wist hij wanneer er schapen ontbraken (als er steentjes overbleven) en kon
hij hiernaar op zoek gaan. Of het verhaaltje helemaal waar is weten we niet.
 Het systeem met de kiezelsteentjes is slechts één voorbeeld van primitieve telmethodes.
 Een ander vb. is de kerfstok. De herder zou voor elk schaap een streep kunnen kerven in zijn stok.
 Dit systeem gebruiken we nu nog bij het turven.
NOODZAAK VAN GETALLEN
 De opkomst van handel
 Noodzaak tot nauwkeurige tijdrekening ten behoeve van landbouw en religieuze ceremonies.
Getallen werden oorspronkelijk aangegeven door middel van kervingen in bijvoorbeeld botten. Onze notatie
van het getal 1 is daar nog steeds het gevolg van. Grote getallen zijn op deze wijze moeilijk te noteren en er
werd al spoedig gebruikt gemaakt van symbolen die grotere getallen voorstelden.

1.2 ANDERE TALSTELSELS

1.2.1 EGYPTENAREN

 Een van de oudste volken die met cijfers berekeningen konden maken waren de oude Egyptenaren.
 Ze konden optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en andere basis berekeningen doen.
 Ze konden ook oppervlaktes en inhouden berekenen, zelfs van cirkels.
HIËROGLIEFEN
 De oude Egyptenaren gebruikten hiërogliefen op papyrusrollen om getallen uit te beelden.
 Elke hiëroglief beeldt een macht van tien uit. Voor 1, 10, 100 etc. waren verschillende hiërogliefen
bedacht. Om een meervoud van een macht van tien af te beelden werd de bijbehorende hiëroglief
meerdere keren getekend.
o Om 23 te schrijven werd twee maal de hiëroglief van 10 en 3 maal de hiëroglief van 1 geschreven.
Er waren geen regels voor de richting waarop de cijfers werden geschreven.
 Dit systeem had al als basis 10 en had voor 0 geen symbool.
 Om een getal te lezen maak je gewoon de som van de tekens.
 Het is dus geen positiestelsel, maar wel een additief stelsel.
o Je krijgt dus het getal door de waarde van elk symbool op te tellen. De plaats van het symbool is
van geen belang.

1.2.2 BABYLONIËRS

1

, De Babyloniërs rekenden met eenheden van 60. Ze gebruikten het zestigtallen stelsel.
 De getallen zijn geschreven in spijkerschrift. De symbolen die gebruikt worden zijn de spijkers.
 De Babyloniërs gebruikten kleitabletten om hun berekeningen op te maken.
o Voordeel: klei vergaat niet (Egyptenaren wel)
We gebruiken dit nog steeds:
 Tijdmeting: er gaan er 60 minuten in een uur en 60 seconden in een minuut.
 Ook wordt het nog gebruikt in de hoekmeting.

HET SPIJKERSCHRIFT
 De ‘spijker’ staat voor 1 of voor een macht van 60. Dit is dus niet eenduidig.
 De betekenis wordt bepaald door de positie van de ‘spijker ’ ten opzichte van de
andere ‘spijkers’ en ‘winkelhaken’. De ‘winkelhaak’ staat voor de tientallen.
 We hebben dus hier te maken met een positiestelsel.


Het Babylonische spijkerschrift kan voor verwarring zorgen. Getallen kun je op meerdere manieren lezen
indien je niet duidelijk aangeeft waar de ruimtes tussen de tekens zich precies bevinden.

1.2.3 MAYA’S

 Ze gebruikten een positiestelsel met als basis 20.
 De reden hiervoor is waarschijnlijk te vinden bij het gebruik van vingers en tenen.
 De Maya’s hadden een symbool voor nul.
 Ze schreven de cijfers onder elkaar. Het onderste gaf de eenheden aan, het tweede de twintigtallen en het
derde de 360-tallen. Niet echt logisch, want je zou hier 400 verwachten.
Hun drie basiscijfers waren:



De andere symbolen zijn:




1.2.3 CHINEZEN


2

,  Op dit ogenblik werkt men in China met tien symbolen voor de getallen van 1 tot 10 en speciale notaties
voor 100, 1000, 10 000, enz.
 Het principe van hun notatie is gemakkelijk te volgen. Het getal 469 zouden zij (met hun symbolen)
schrijven als 4 100 6 10 9.
 Een ander systeem, dat echter niet fundamenteel van het vorige verschilt, werd gedurende de vorige
twintig eeuwen gebruikt.
De symbolen voor de getallen 1 tot en met 9 zijn daarbij:




De symbolen van de tientallen zijn respectievelijk:




 Voor de honderdtallen gebruikte men dezelfde symbolen als voor de eenheden, maar men schrijft ze links
van de tientallen. Zo wisselen dezelfde symbolen elkaar steeds af voor opeenvolgend de duizendtallen,.
 We hebben hier dus opnieuw te maken met een positiestelsel.

1.2.4 ROMEINEN

 Romeinse cijfers vormen een talstelsel dat afkomstig is uit het oude Rome.
 Het stelsel is geen positiestelsel, maar een additief stelsel waarin de waarde van het voorgestelde
getal bepaald wordt door het totaal van de samenstellende symbolen.
 De Romeinen maakten geen gebruik van het getal 0 en Romeinse cijfers voorzien daar dan ook niet in.
WAARDE VAN DE ROMEINSE CIJFERS:

Symbool Waarde
I 1
V 5
X 10
Van de Romeinse basissymbolen noemen we I,X,C
L 50 en M de hoofdsymbolen en V,L en D de
C 100 nevensystemen.

D 500

M 1000




DE HUIDIGE GELDENDE REGELS VAN HET ROMEINSE STELSEL:
1. Als gelijke cijfers naast elkaar staan tellen we hun waarden op, maar V,L en D volgen zichzelf nooit op.

3