BIOMECHANICA
Inhoudsopgave
Biomechanica................................................................................................................................................ 1
HC1-2: kinematica van een puntlichaam in 1D.....................................................................................................2
2.1 inleiding.......................................................................................................................................................2
2.2 Beweging van een puntlichaam in 1D.........................................................................................................4
WG 1-1 kinematica van een puntlichaam in 1D...................................................................................................9
HC1-3: Kinematica van een puntlichaam in 2D..................................................................................................10
2.3.1 Rechthoekige, bol- en poolcoördinaten.................................................................................................10
2.3.2 Coördinatentransformaties....................................................................................................................11
2.3.3 Baan en baanvergelijking van een punt in 2D........................................................................................12
2.3.4 Plaats, snelheid en versnelling; analogie tussen 1D en 2D....................................................................12
2.3.5 Plaatsvector van een punt in 2D............................................................................................................13
2.3.6 Snelheidsvector van een punt in 2D......................................................................................................14
2.3.7 Versnellingsvector van een punt in 2D..................................................................................................15
HC1-4: Cirkelbeweging in 2D, gekoppelde bewegingen, relatieve beweging....................................................18
Kinematica van rigid bodies in 2d.......................................................................................................................18
2.3.8 Cirkelbeweging van een punt in 2d........................................................................................................18
2.3.10 beweging van twee gekoppelde puntlichamen...................................................................................19
2.3.11 relatieve beweging van puntlichamen.................................................................................................21
HC1-5: Toepassingen van kinematica. herhaling Syllabus hoofdstuk 2.1 t/m 2.3..............................................22
Voorbeeldopgave 1 – deel c............................................................................................................................22
voorbeeldopgave 2 – deel b............................................................................................................................22
Voorbeeldopgave 3 – te hoog niveau.............................................................................................................22
Voorbeeldopgave 4.........................................................................................................................................22
voorbeeld totale differentiaal.........................................................................................................................22
HC1-7: Wetten van Newton; massamiddelpunt Voorbereiden: Syllabus hoofdstuk 3.1 t/m 3.4 en 4.1.
Opfrissen Wiskunde: differentiaalvergelijkingen................................................................................................23
3.2 De drie weten van Newton.......................................................................................................................23
3.2.1 Eerste wet van Newton..........................................................................................................................23
3.2.2 Tweede wet van Newton.......................................................................................................................23
3.2.3 Derde wet van Newton..........................................................................................................................24
3.3 Stappenplan...............................................................................................................................................26
3.3.1 Maak een situatieschets.........................................................................................................................26
3.3.2 Kies een free body..................................................................................................................................26
3.3.3 Teken het free body diagram en definieer het assenstelsel..................................................................26
3.3.4 Stel de krachten- en momentenvergelijking op.....................................................................................27
3.3.5 Los de kracht- en momentenvergelijking op voor de onbekenden.......................................................27
3.3.6 Stappen in vogelvlucht...........................................................................................................................27
3.4 Inertiële en niet-inertiële assenstelsels....................................................................................................28
3.4.1 Schijnkrachten bij gebruik van niet-inertieel assenstelsel.....................................................................29
, 4.1 Massamiddelpunt......................................................................................................................................29
HC1-8: Toepassen van de wetten van Newton; soorten krachten Voorbereiden: Syllabus hoofdstuk 3.5 t/m 3.6
en 4.2.1 t/m 4.2.4................................................................................................................................................30
3.5 voorwaartse en inverse dynamica............................................................................................................30
3.6 eenheden en dimensies............................................................................................................................30
4.2 soorten krachten.......................................................................................................................................30
4.2.1 veerkracht..............................................................................................................................................30
4.2.2 demperkracht.........................................................................................................................................33
4.2.3 luchtwrijvingskracht...............................................................................................................................34
4.2.4 waterwrijvingskracht..............................................................................................................................36
HC1-9: Soorten krachten II - Syllabus hoofdstuk 4.2.5 t/m 4.2.9........................................................................37
4.2.5 normaalkracht tussen twee onvervormbare lichamen.........................................................................37
4.2.6 contactwrijvingskracht...........................................................................................................................37
4.2.7 rolwrijvingskracht...................................................................................................................................38
4.2.8 zwaartekracht.........................................................................................................................................39
HC1-11: Bespreking voorbeeldtentamen............................................................................................................41
HC1-2: KINEMATICA VAN EEN PUNTLICHAAM IN 1D
2.1 INLEIDING
Kinematica = beschrijven van bewegingen in termen van positie, snelheid, versnelling en hoek, hoek-snelheid
en hoekversnelling.
2.1.1 ASSENSTELSELS
Assenstelsel = referentiekader ten opzichte waarvan beweging wordt omschreven.
Rechts georiënteerd, rechthoekig assenstelsel.
2.1.2 GRADEN EN BEWEGINGSVRIJHEID
Aantal vrijheidsgraden (DOF) van een mechanisch systeem = het minimale aantal variabele coördinaten
waarmee de positie van dat systeem (ofwel: van alle punten die deel uitmaken van dat systeem) volledig kan
worden vastgelegd.
Puntlichaam 2D – 2 DOF
Puntlichaam 3D – 3 DOF
Uitgebreid onvervormbaar lichaam 2D – 3 DOF
Uitgebreid onvervormbaar lichaam 3D – 6 DOF
Aantal met 1 DOF minder voor elke beperking van bewegingsmogelijkheid.
2.1.3 PUNTLICHAMEN, UITGEBREIDE LICHAMEN EN RIGID BODIES
,Puntlichamen hebben geen ‘uitgebreidheid’ en nemen dus geen ruimte in. Vaak geen objecten maar specifieke
punten op een uitgebreid lichaam.
Onvervormbaar uitgebreid lichaam = de afstand tussen elke twee punten die deel uitmaken van dat lichaam
op alle tijdstippen hetzelfde is.
Vervormbaar uitgebreid lichaam = rigid body = onderlinge afstand van elke twee punten die deel uitmaken van
dat rigid body is onveranderlijk.
, 2.2 BEWEGING VAN EEN PUNTLICHAAM IN 1D
2.2.1 PLAATS, VERPLAATSING EN AFGELEGDE WEG
Beweging is relatief (je hebt een ‘nulpunt’ nodig).
Plaats duid je altijd aan t.o.v. een bepaald nulpunt, ookwel ten opzichte van oorsprong van as(sen)stelsel;
keuze van assenstelsel is arbitrair.
Tijd ten opzichte van arbitrair gekozen t = 0.
Plaats coördinaat: r
Verplaatsing r: verandering van plaats tussen twee tijdstippen.
r en r (en ook t) kunnen negatief zijn.
Afgelegde weg s: ‘kilometerteller’
s is altijd positief.
Voorbeeld:
2.2.2 GEMIDDELDE EN INSTANTANE SNELHEID (BEPALEN UIT POSITIEVERLOOP)
Relatie tussen plaats en snelheid:
∆r
Gemiddelde snelheid: v gem=
∆t
In woorden: de gemiddelde snelheid over een tijdsinterval is gelijk aan de bijbehorende verplaatsing gedeeld
door de lengte van het tijdsinterval.
dr
Instantane snelheid v= =ṙ : gemiddelde snelheid over oneindig korte t.
dt
(helling van de lijn)
In woorden: op elk tijdstip is de instantane snelheid v van een punt dat over
een rechte lijn beweegt gelijk aan de afgeleide naar tijd op dat tijdstip van de
plaatsfunctie van r(t).
ṙ wordt alleen gebruikt voor tijdsafgeleide, niet voor andere afgeleiden!
Instantane snelheid grafisch: RC van raaklijn aan r(t)
Inhoudsopgave
Biomechanica................................................................................................................................................ 1
HC1-2: kinematica van een puntlichaam in 1D.....................................................................................................2
2.1 inleiding.......................................................................................................................................................2
2.2 Beweging van een puntlichaam in 1D.........................................................................................................4
WG 1-1 kinematica van een puntlichaam in 1D...................................................................................................9
HC1-3: Kinematica van een puntlichaam in 2D..................................................................................................10
2.3.1 Rechthoekige, bol- en poolcoördinaten.................................................................................................10
2.3.2 Coördinatentransformaties....................................................................................................................11
2.3.3 Baan en baanvergelijking van een punt in 2D........................................................................................12
2.3.4 Plaats, snelheid en versnelling; analogie tussen 1D en 2D....................................................................12
2.3.5 Plaatsvector van een punt in 2D............................................................................................................13
2.3.6 Snelheidsvector van een punt in 2D......................................................................................................14
2.3.7 Versnellingsvector van een punt in 2D..................................................................................................15
HC1-4: Cirkelbeweging in 2D, gekoppelde bewegingen, relatieve beweging....................................................18
Kinematica van rigid bodies in 2d.......................................................................................................................18
2.3.8 Cirkelbeweging van een punt in 2d........................................................................................................18
2.3.10 beweging van twee gekoppelde puntlichamen...................................................................................19
2.3.11 relatieve beweging van puntlichamen.................................................................................................21
HC1-5: Toepassingen van kinematica. herhaling Syllabus hoofdstuk 2.1 t/m 2.3..............................................22
Voorbeeldopgave 1 – deel c............................................................................................................................22
voorbeeldopgave 2 – deel b............................................................................................................................22
Voorbeeldopgave 3 – te hoog niveau.............................................................................................................22
Voorbeeldopgave 4.........................................................................................................................................22
voorbeeld totale differentiaal.........................................................................................................................22
HC1-7: Wetten van Newton; massamiddelpunt Voorbereiden: Syllabus hoofdstuk 3.1 t/m 3.4 en 4.1.
Opfrissen Wiskunde: differentiaalvergelijkingen................................................................................................23
3.2 De drie weten van Newton.......................................................................................................................23
3.2.1 Eerste wet van Newton..........................................................................................................................23
3.2.2 Tweede wet van Newton.......................................................................................................................23
3.2.3 Derde wet van Newton..........................................................................................................................24
3.3 Stappenplan...............................................................................................................................................26
3.3.1 Maak een situatieschets.........................................................................................................................26
3.3.2 Kies een free body..................................................................................................................................26
3.3.3 Teken het free body diagram en definieer het assenstelsel..................................................................26
3.3.4 Stel de krachten- en momentenvergelijking op.....................................................................................27
3.3.5 Los de kracht- en momentenvergelijking op voor de onbekenden.......................................................27
3.3.6 Stappen in vogelvlucht...........................................................................................................................27
3.4 Inertiële en niet-inertiële assenstelsels....................................................................................................28
3.4.1 Schijnkrachten bij gebruik van niet-inertieel assenstelsel.....................................................................29
, 4.1 Massamiddelpunt......................................................................................................................................29
HC1-8: Toepassen van de wetten van Newton; soorten krachten Voorbereiden: Syllabus hoofdstuk 3.5 t/m 3.6
en 4.2.1 t/m 4.2.4................................................................................................................................................30
3.5 voorwaartse en inverse dynamica............................................................................................................30
3.6 eenheden en dimensies............................................................................................................................30
4.2 soorten krachten.......................................................................................................................................30
4.2.1 veerkracht..............................................................................................................................................30
4.2.2 demperkracht.........................................................................................................................................33
4.2.3 luchtwrijvingskracht...............................................................................................................................34
4.2.4 waterwrijvingskracht..............................................................................................................................36
HC1-9: Soorten krachten II - Syllabus hoofdstuk 4.2.5 t/m 4.2.9........................................................................37
4.2.5 normaalkracht tussen twee onvervormbare lichamen.........................................................................37
4.2.6 contactwrijvingskracht...........................................................................................................................37
4.2.7 rolwrijvingskracht...................................................................................................................................38
4.2.8 zwaartekracht.........................................................................................................................................39
HC1-11: Bespreking voorbeeldtentamen............................................................................................................41
HC1-2: KINEMATICA VAN EEN PUNTLICHAAM IN 1D
2.1 INLEIDING
Kinematica = beschrijven van bewegingen in termen van positie, snelheid, versnelling en hoek, hoek-snelheid
en hoekversnelling.
2.1.1 ASSENSTELSELS
Assenstelsel = referentiekader ten opzichte waarvan beweging wordt omschreven.
Rechts georiënteerd, rechthoekig assenstelsel.
2.1.2 GRADEN EN BEWEGINGSVRIJHEID
Aantal vrijheidsgraden (DOF) van een mechanisch systeem = het minimale aantal variabele coördinaten
waarmee de positie van dat systeem (ofwel: van alle punten die deel uitmaken van dat systeem) volledig kan
worden vastgelegd.
Puntlichaam 2D – 2 DOF
Puntlichaam 3D – 3 DOF
Uitgebreid onvervormbaar lichaam 2D – 3 DOF
Uitgebreid onvervormbaar lichaam 3D – 6 DOF
Aantal met 1 DOF minder voor elke beperking van bewegingsmogelijkheid.
2.1.3 PUNTLICHAMEN, UITGEBREIDE LICHAMEN EN RIGID BODIES
,Puntlichamen hebben geen ‘uitgebreidheid’ en nemen dus geen ruimte in. Vaak geen objecten maar specifieke
punten op een uitgebreid lichaam.
Onvervormbaar uitgebreid lichaam = de afstand tussen elke twee punten die deel uitmaken van dat lichaam
op alle tijdstippen hetzelfde is.
Vervormbaar uitgebreid lichaam = rigid body = onderlinge afstand van elke twee punten die deel uitmaken van
dat rigid body is onveranderlijk.
, 2.2 BEWEGING VAN EEN PUNTLICHAAM IN 1D
2.2.1 PLAATS, VERPLAATSING EN AFGELEGDE WEG
Beweging is relatief (je hebt een ‘nulpunt’ nodig).
Plaats duid je altijd aan t.o.v. een bepaald nulpunt, ookwel ten opzichte van oorsprong van as(sen)stelsel;
keuze van assenstelsel is arbitrair.
Tijd ten opzichte van arbitrair gekozen t = 0.
Plaats coördinaat: r
Verplaatsing r: verandering van plaats tussen twee tijdstippen.
r en r (en ook t) kunnen negatief zijn.
Afgelegde weg s: ‘kilometerteller’
s is altijd positief.
Voorbeeld:
2.2.2 GEMIDDELDE EN INSTANTANE SNELHEID (BEPALEN UIT POSITIEVERLOOP)
Relatie tussen plaats en snelheid:
∆r
Gemiddelde snelheid: v gem=
∆t
In woorden: de gemiddelde snelheid over een tijdsinterval is gelijk aan de bijbehorende verplaatsing gedeeld
door de lengte van het tijdsinterval.
dr
Instantane snelheid v= =ṙ : gemiddelde snelheid over oneindig korte t.
dt
(helling van de lijn)
In woorden: op elk tijdstip is de instantane snelheid v van een punt dat over
een rechte lijn beweegt gelijk aan de afgeleide naar tijd op dat tijdstip van de
plaatsfunctie van r(t).
ṙ wordt alleen gebruikt voor tijdsafgeleide, niet voor andere afgeleiden!
Instantane snelheid grafisch: RC van raaklijn aan r(t)
