Samenvatting verklarende statistiek (17/20)

Verklarende statistiek

DEEL I: Schatters en toetsen
Hoofdstuk 1: Het schatten van populatieparameters
1.1 Inleiding: schatters versus schatting
o De populatieparameters µ, σ²,  en  worden in de praktijk zelden berekend
 Wel proberen te schatten
 Schatting gebaseerd op aantal metingen of waarnemingen x1, x2, …, xn die je uitvoert
- M.a.w. de steekproefgegevens die je verzamelt
o De schatting voor de onbekende  zal een functie zijn van de verzamelde steekproefwaarden
n
xi
x1, x2, …, xn, bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde x = ∑
i=1 n
 Elke onderzoeker krijgt ander steekproefgemiddelde of een andere schatting
- Reden: aantal uitkomsten in het kantoor in een bepaald tijdsinterval een
kansvariabele is (weergeven door hoofdletters X 1, X2, …, Xn)
o Feit dat elke onderzoeker andere schatting voor  verkrijgt, kunnen we expliciteren door een
hoofdletter te gebruiken voor steekproefgemiddelde X
 Steekproefgemiddelde wordt zo geïnterpreteerd als kansvariabele
- Men spreekt van een schatter (geen schatting)
o Besluit: een schatting is altijd een reëel getal terwijl een schatter een kansvariabele is
waarvan de waarde nog niet bekend is
o Onderzoeker wil schatting verkrijgen die gemiddeld gelijk is aan de onbekende parameter en
liefst garandeert dicht bij de onbekende parameter ligt
 Statistici vertalen vereiste naar: ‘schatter moet onvertekend zijn’ en ‘schatter moet
een kleine variantie hebben’

1.2 Het schatten van een gemiddelde
o Eisen van een goede schatter kunnen best geïllustreerd worden aan de hand van 2
simulatiestudies:
 1ste studie: normaal verdeelde populatie bestuderen
 2de studie: populatie met exponentiële kansdichtheid bestuderen

1.2.1. Gemiddelde van een normaal verdeelde populatie
o Stel: normaal verdeelde populatie
 µ = 3000
 σ = 100
 n = 1000 (studenten)
o Elk van de studenten verricht 5 metingen
 Optie 1: µ schatten door steekproefgemiddelde te berekenen
- Zo verkrijg je 1000 steekproefgemiddeldes
 Optie 2: µ schatten door mediaan te berekenen
- Voor normale verdelen: mediaan = µ = verwachte waarde



1

, o Steekproefgemiddelde en mediaan zijn zuivere of onvertekende schatters van het
gemiddelde van normaal verdeelde populatie (2 uitkomsten zijn ongeveer gelijk aan 3000)
o Spreidingsbreedte, interkwartielbreedte, standaarddeviatie en variantie zijn kleiner dan 1000
steekproefmedianen -> steekproefgemiddelde is betrouwbaardere schatter dan mediaan
 Onderzoekers kiezen sneller voor steekproefgemiddelde
- = Efficiëntere of preciezere schatter

1.2.2. Gemiddelde van een exponentieel verdeelde populatie
o Stel een exponentieel verdeelde populatie
  = 1/100
 “Onbekende” populatiegemiddelde µ = 1/ = 100
o Elk van de studenten verricht 5 metingen
 Optie 1: steekproefgemiddelde berekenen
 Optie 2: medianen berekenen
- Gemiddeld verre van gelijk aan µ -> slechte schatter
 Geen zuivere, maar vertekende schatter van populatiegemiddelde

1.3 Criteria voor schatters
1.3.1. Een onvertekende of zuivere schatter
o Ideale schatter die gegarandeerd aangeeft wat de precieze waarde van een onbekende
populatieparameter is, bestaat niet
 Sommige schatters (zuiver of onvertekend) zijn gemiddeld gezien gelijk aan de
onbekende populatieparameters, terwijl andere systematisch een
populatieparameter onder- of overschatten
o Definitie: schatter  voor een populatieparameter  is zuiver of onvertekend indien E() = 
o De vertekening van een schatter is het verschil V() = |E()-|
 Zuivere schatter heeft een vertekening van 0
- Schatting is precies gelijk aan gezochte populatieparameters
 Griekse letters omdat het gaat over populatieparameters
o In deze cursus aandacht geven aan 3 specifieke schatters:
 Steekproefgemiddelde X, steekproefproportie P en steekproefvariantie S²
- Symbolen i.p.v. µ,  en σ²
o Steekproefgemiddelde is een overtekende of zuivere schatter van populatiegemiddelde
n
 Geldt voor alle mogelijke lineaire functies Y = ∑ ai X i van steekproefwaarnemingen
i=1
n
waarbij ∑ ai= 1
i=1
n
1 1 1 1 1
 Als ai = 1/n dan X = ∑ X i= (X1, X2, …,Xn) = X1 + X2 +…+ Xn
n i=1 n n n n
o Kan aangetoond worden dat steekproefgemiddelde van alle mogelijke lineaire functies van
X1, X2,…,Xn de kleinste variantie heeft
 M.a.w. steekproefgemiddelde zal onderzoeker schatting opleveren die dichter bij het
populatiegemiddelde ligt dan elke andere lineaire functie Y van X 1, X2,…, Xn
n
1
o Steekproefvariantie S² = ∑ (X −X ) ²
n−1 i=1 i
 Onvertekende schatter van een populatievariantie σ²
 Stelling geeft aan waarom er gedeeld door n-1 en niet door n gedaan wordt

2

, o !! Steekproefstandaarddeviatie S is vertekende schatter van populatiestandaarddeviatie σ
o Steekproefproportie P is een speciaal geval van steekproefgemiddelde
 Verwachte waarde is gelijk aan populatieproportie 
 P is een onvertekende schatter

1.3.2. Precisie of efficiëntie van een schatter
o Schatter moet zo betrouwbaar mogelijk zijn en moeten zo dicht mogelijk bij onbekende
populatieparameter liggen
 = Schatter moet kleine variantie of standaarddeviatie hebben
 = Efficiënte of precieze schatter
o Als 1 en 2 twee onvertekende of zuivere schatters zijn voor eenzelfde onbekende
populatieparameter , dan wordt de relatieve efficiëntie van 2 ten opzichte van 1 berekend
als var(1)/var(2)
o Keuze tussen schatter die onvertekend is maar grote variantie bezit of schatter die vertekend
is met kleine variantie is moeilijk
 Keuze voor schatter die kleinste gemiddelde gekwadrateerde afwijking GAA() bezit
o Definitie: de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van een schatter  is de som van zijn
variantie en het kwadraat van de vertekening: GAA() = var() + [V()]²
o Wenselijk dat nauwkeurigheid of precisie van de schatter toeneemt als het aantal
waarnemingen stijgt -> meer waarnemingen = meer informatie = betere schatting

1.4 Methoden voor het berekenen van schatters
o 3 methoden die vallen buiten bestek van de cursus:
 Methode van de momenten
 Methode van de kleinste kwadraten
 Methode van de grootste aannemelijkheid

1.5 Het steekproefgemiddelde
1.5.1. Verwachte waarde en variantie
o Als steekproefgemiddelde als schatter beschouwd wordt en dus als een kansvariabele
aangezien wordt, dan kunnen de verwachte waarde, variantie en kansdichtheid bepaald w
n
1
o Steekproefgemiddelde wordt genoteerd als X = ∑X
n i=1 i
 Beschouwen als kansvariabele/schatter zolang er geen data is dus zolang X 1, X2,…, Xn
niet bekend zijn
 Als de gegevens bekend zijn gebruiken we kleine letters x 1, x2,…, xn
o Voor steekproefgemiddelde dat we berekenen o.b.v. waargenomen waarden x 1, x2,…, xn
n
1
gebruiken we ook een kleine letter: x = ∑ x i
n i=1
o Stelling: voor een lukrake steekproef uit een populatie met verwachte waarde µ geldt dat
E(X) = µ
n n
1 1 1 nµ
o Bewijs: E(X) = E( ∑ X i) = ∑ E (X i ) = (µ + µ + µ +…+ µ) = =µ
n i=1 n i=1 n n
o Stelling geeft aan dat voordat steekproefgegevens verzameld worden, de verwachte waarde
van steekproefgemiddelde gelijk is aan populatiegemiddelde
 M.a.w. stelling toont aan dat steekproefgemiddelde de meest onvertekende/zuivere
schatter is van het populatiegemiddelde


3

, o Standaarddeviatie en variantie van X bestuderen om een idee van de grootte van mogelijke
afwijkingen te krijgen
o Stelling: voor een lukrake steekproef van n waarnemingen uit een populatie met variantie σ²
2 σ² σ
geldt dat σ X = var(X) = en σX =
n √n




4