KT2101
Modelvorming
Htt Htt lukt
Laplace
461
SYN I YN
t
YN ff UN
overdrachtsfunctie
Gtst
SGA © 2020
, MODELVORMING EN REGELGEVING
Lecture 1: Feedback Control
Een systeem met feedback kan zijn output y(t) meten
en vergelijken met een referentiewaarde r(t). Na zo’n
controleactie kan het de input u(t) compenseren
wanneer y(t) niet dichtbij de referentie ligt (zie §6).
Er zijn twee soorten feedback-controle-systemen:
• open loop: geen feedback Een o en o
• closed loop: wel feedback se m
Bij een systeem met ‘geheugen’ heeft een input-waarde op t = 0 effect
op de ouput-waarde van t > 0. Om de ouput te berekenen wordt de
afgeleide gebruikt.
Lecture 2: State-space vorm
Om als regeltechnicus theorieen van
dynamische systemen te modelleren wordt
gebruik gemaakt van modellen in state-
space vorm, waarbij:
◦ x: toestand (‘state’)
◦ x’ (ẋ): verandering van toestand
◦ u: input
◦ y: output
De state-space-vorm is een beschrijving met daarin slechts een 1e
afgeleide. Dit wordt gedaan door het systeem te beschrijven in meerdere
variabelen.
Neem onderstaand voorbeeld van een tweede-orde massa-veer-demper-
systeem, waarbij we de natuurwetten omzetten in een state-space model:
p -lo p
sy t e
, Newton mi F DE h z l
State Space 2 l É n F M s v er-d m er
se m
II f
Ir axiaal u
We schrijven een n-de orde differentiaalvergelijking als n 1e orde
differentiaalvergelijkingen, die lineair en niet-lineair kunnen zijn. Daarbij
kies je meestal de nieuwe variabelen (x) zo, dat x1 = de oude
variabele, x2 = x1 ’, etc.
• bijvoorbeeld: p’’ + p = 0
• kies dan: x1 = p, x2 = p’
2.1 Lineariseren
Uiteindelijk wil je voor dit vak een Lineair-Tijd-Invariante beschrijving van
een systeem: een LTI-systeem:
• een systeem is lineair als geldt dat functies op te tellen zijn
◦ additiviteit: ƒ(a) + ƒ(b) = ƒ(a+b)
◦ homogeniteit: ƒ(r*a) = r * ƒ(a)
• een systeem is tijd-invariant als geldt dat functies over de tijd te
verschuiven zijn
◦ x(t) = x(t – τ) en y(t) = y(t – τ)
Om van een niet-lineair state-space model (x’ = ƒ(x,u)) naar een lineaire
beschrijving te gaan, kan men linealiseren, oftewel de functie approxi-
meren m.b.v. een soort raaklijn.
1 neem een werkpunt (x*,u*) zodat x’* = ƒ(x*,u*) = 0: dit is een punt
waar het systeem in evenwicht is
as a- e e p -
sy t e
Modelvorming
Htt Htt lukt
Laplace
461
SYN I YN
t
YN ff UN
overdrachtsfunctie
Gtst
SGA © 2020
, MODELVORMING EN REGELGEVING
Lecture 1: Feedback Control
Een systeem met feedback kan zijn output y(t) meten
en vergelijken met een referentiewaarde r(t). Na zo’n
controleactie kan het de input u(t) compenseren
wanneer y(t) niet dichtbij de referentie ligt (zie §6).
Er zijn twee soorten feedback-controle-systemen:
• open loop: geen feedback Een o en o
• closed loop: wel feedback se m
Bij een systeem met ‘geheugen’ heeft een input-waarde op t = 0 effect
op de ouput-waarde van t > 0. Om de ouput te berekenen wordt de
afgeleide gebruikt.
Lecture 2: State-space vorm
Om als regeltechnicus theorieen van
dynamische systemen te modelleren wordt
gebruik gemaakt van modellen in state-
space vorm, waarbij:
◦ x: toestand (‘state’)
◦ x’ (ẋ): verandering van toestand
◦ u: input
◦ y: output
De state-space-vorm is een beschrijving met daarin slechts een 1e
afgeleide. Dit wordt gedaan door het systeem te beschrijven in meerdere
variabelen.
Neem onderstaand voorbeeld van een tweede-orde massa-veer-demper-
systeem, waarbij we de natuurwetten omzetten in een state-space model:
p -lo p
sy t e
, Newton mi F DE h z l
State Space 2 l É n F M s v er-d m er
se m
II f
Ir axiaal u
We schrijven een n-de orde differentiaalvergelijking als n 1e orde
differentiaalvergelijkingen, die lineair en niet-lineair kunnen zijn. Daarbij
kies je meestal de nieuwe variabelen (x) zo, dat x1 = de oude
variabele, x2 = x1 ’, etc.
• bijvoorbeeld: p’’ + p = 0
• kies dan: x1 = p, x2 = p’
2.1 Lineariseren
Uiteindelijk wil je voor dit vak een Lineair-Tijd-Invariante beschrijving van
een systeem: een LTI-systeem:
• een systeem is lineair als geldt dat functies op te tellen zijn
◦ additiviteit: ƒ(a) + ƒ(b) = ƒ(a+b)
◦ homogeniteit: ƒ(r*a) = r * ƒ(a)
• een systeem is tijd-invariant als geldt dat functies over de tijd te
verschuiven zijn
◦ x(t) = x(t – τ) en y(t) = y(t – τ)
Om van een niet-lineair state-space model (x’ = ƒ(x,u)) naar een lineaire
beschrijving te gaan, kan men linealiseren, oftewel de functie approxi-
meren m.b.v. een soort raaklijn.
1 neem een werkpunt (x*,u*) zodat x’* = ƒ(x*,u*) = 0: dit is een punt
waar het systeem in evenwicht is
as a- e e p -
sy t e
