Rekenen-wiskunde in de praktijk - bovenbouw
Hoofdstuk 7. Rijke problemen bij meetkunde en meten
Het zoeken naar een plek waar je iets goed kunt overzien, vraagt om meetkundig redeneren.
Door gebruik te maken van viseerlijnen kun je verklaren waarom bijvoorbeeld de grensrechter het
best kan zien of een voetbalspeler buitenspel staat. Kijklijnen of viseerlijnen kunnen redeneringen
over ruimtelijke verschijnselen verhelderen. Een viseerlijn is een lijn die getekend is in de richting
waarin je kijkt. Het helpt te verklaren waar je moet staan.
Lokaliseren: een plaats vaststellen van waar je staat.
Redeneren: is een reden zoeken waarom iets zo is.
Verklaren: is een verklaring geven.
Er zijn veel situaties waarbij het denken in termen van viseerlijnen je kan helpen bij het verklaren van
meetkundige verschijnselen. Dat doet zich bijvoorbeeld voor bij de vraag waarom een boom in de
verte kleiner lijkt dan eenzelfde boom van dichtbij en waarom de schaduw eigenlijk een vlakke
projectie van die boom op de grond valt waar hij valt.
Uitleggen neemt bij meetkunde de vorm aan van: (samen) verklaren door te beredeneren wat je
ziet of ervaart en daaruit conclusies trekken.
Meetkunde:
Meetkunde wordt vaak verward met meten. Bij meetkunde gaat het om greep krijgen op ruimtelijke
aspecten van de werkelijkheid. Daaronder vallen:
- Oriëntatie in de ruimte: bv. Het beredeneren dat de grensrechter het buitspel kan
beoordelen.
- Vlakke en ruimtelijke meetkundige figuren: het herkennen van verschillende figuren en hun
eigenschappen.
- Visualiseren en representeren: de techniek die je nodig hebt om ruimtelijk te redeneren bij
de hiervoor genoemde onderwerpen, zoals het gebruik van viseerlijnen en het weergeven
van een driedimensionale figuur op het platte vlak.
Ervaren, redeneren en verklaren:
Meetkunde leren begint altijd met het concreet ervaren van verschijnselen in de ruimte. In de
bovenbouw ligt de nadruk op het redeneren en verklaren.
Bij dit meetkundig redeneren loop je systematisch enkele overwegingen langs, die vaak de vorm
hebben van een als-dan-redenering. Voorbeelden:
- Als er tussen mij en dat wat ik wil zien een obstakel staat, dan kan ik het niet zien.
- Als ik hoger sta, dan kan ik verder kijken.
- Als ik verder van iets vandaan ga staan, dan krijg ik meer overzicht.
Meten:
Bij meten gaat het om het opmeten van een maat: het kwantificeren van verschijnselen in de
werkelijkheid. Wat opgemeten wordt, heeft een grootheid (lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht,
tijd, temperatuur en de samengestelde grootheid snelheid).
Heuristiek: probleem oplossen waarvan je geen standaardoplossing kent.
Leerlingen moeten genoeg voorkennis hebben om gemotiveerd aan een probleem te kunnen
beginnen.
Bij een rijk probleem ligt er geen standaardoplossingsroute klaar. Als je vaker problemen aanpakt,
leer je hoe je een probleem kunt aanpakken: je ontdekt heuristieken.
, Een algemeen bruikbare heuristiek voor wiskundige problemen is:
- Lees de opgave rustig door
- Leg in je eigen woorden uit wat precies het probleem is
- Welke gegevens heb je nodig om het probleem op te lossen
- Bedenk een strategie en voer die uit
- Kijk terug naar het probleem, heb je een oplossing?
Specifiekere heuristieken zijn bijvoorbeeld:
- Probeer een schema te tekenen
- Vereenvoudig de getallen: lukt het nu wel?
- Ga opzoek naar een vergelijkbaar probleem dat je eerder aangepakt hebt.
Door te reflecteren op het oplossingsproces is de kans groter dat de leerling bij een volgend
probleem inziet dat het lijkt op een vorig probleem.
Werken met rijke problemen stimuleert de wiskundige attitude van de leerlingen vaak meer dan het
gewone reken-wiskundewerk uit de methode.
Plezier hebben in wiskunde en het zelf leren om problemen aan te pakken zijn belangrijke elementen
van een positieve wiskundige attitude. Daaronder vallen:
- Een algemene positieve houding ten aanzien van rekenen-wiskunde
- Een reflecterende houding
- Een onderzoekende houding
- Een communicatieve houding
- Een doelgerichte houding
Werken aan rijke problemen bevordert bij kinderen een positieve wiskundige attitude. Een rijk
probleem bevat veel meer dan een in een context verborgen opgave. Goede rijke problemen
stimuleren de wiskundige attitude van kinderen.
- Positieve houding t.o.v rek-wiskunde
- Reflecterende houding
- Onderzoekende houding
- Communicatieve houding
- Doelgerichte houding.
Rijke problemen:
- Motiverend en activerend
- Aansprekende en heldere context
- Maken verschillende aanpakken mogelijk
- Is op verschillende niveaus
- Samenwerking en interactie
Rijke problemen zijn vaak meer omvattende problemen dan de korte opgaven uit methoden. Bij rijke
problemen moet er meer onderzocht en geredeneerd worden. De aanpak ligt, in tegenstelling tot bij
de meeste opgave uit de methode niet voor de hand.
De beste rijke problemen komen uit eigen ervaringen/kranten/grafieken etc. -> betekenisvol
Hoofdstuk 7. Rijke problemen bij meetkunde en meten
Het zoeken naar een plek waar je iets goed kunt overzien, vraagt om meetkundig redeneren.
Door gebruik te maken van viseerlijnen kun je verklaren waarom bijvoorbeeld de grensrechter het
best kan zien of een voetbalspeler buitenspel staat. Kijklijnen of viseerlijnen kunnen redeneringen
over ruimtelijke verschijnselen verhelderen. Een viseerlijn is een lijn die getekend is in de richting
waarin je kijkt. Het helpt te verklaren waar je moet staan.
Lokaliseren: een plaats vaststellen van waar je staat.
Redeneren: is een reden zoeken waarom iets zo is.
Verklaren: is een verklaring geven.
Er zijn veel situaties waarbij het denken in termen van viseerlijnen je kan helpen bij het verklaren van
meetkundige verschijnselen. Dat doet zich bijvoorbeeld voor bij de vraag waarom een boom in de
verte kleiner lijkt dan eenzelfde boom van dichtbij en waarom de schaduw eigenlijk een vlakke
projectie van die boom op de grond valt waar hij valt.
Uitleggen neemt bij meetkunde de vorm aan van: (samen) verklaren door te beredeneren wat je
ziet of ervaart en daaruit conclusies trekken.
Meetkunde:
Meetkunde wordt vaak verward met meten. Bij meetkunde gaat het om greep krijgen op ruimtelijke
aspecten van de werkelijkheid. Daaronder vallen:
- Oriëntatie in de ruimte: bv. Het beredeneren dat de grensrechter het buitspel kan
beoordelen.
- Vlakke en ruimtelijke meetkundige figuren: het herkennen van verschillende figuren en hun
eigenschappen.
- Visualiseren en representeren: de techniek die je nodig hebt om ruimtelijk te redeneren bij
de hiervoor genoemde onderwerpen, zoals het gebruik van viseerlijnen en het weergeven
van een driedimensionale figuur op het platte vlak.
Ervaren, redeneren en verklaren:
Meetkunde leren begint altijd met het concreet ervaren van verschijnselen in de ruimte. In de
bovenbouw ligt de nadruk op het redeneren en verklaren.
Bij dit meetkundig redeneren loop je systematisch enkele overwegingen langs, die vaak de vorm
hebben van een als-dan-redenering. Voorbeelden:
- Als er tussen mij en dat wat ik wil zien een obstakel staat, dan kan ik het niet zien.
- Als ik hoger sta, dan kan ik verder kijken.
- Als ik verder van iets vandaan ga staan, dan krijg ik meer overzicht.
Meten:
Bij meten gaat het om het opmeten van een maat: het kwantificeren van verschijnselen in de
werkelijkheid. Wat opgemeten wordt, heeft een grootheid (lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht,
tijd, temperatuur en de samengestelde grootheid snelheid).
Heuristiek: probleem oplossen waarvan je geen standaardoplossing kent.
Leerlingen moeten genoeg voorkennis hebben om gemotiveerd aan een probleem te kunnen
beginnen.
Bij een rijk probleem ligt er geen standaardoplossingsroute klaar. Als je vaker problemen aanpakt,
leer je hoe je een probleem kunt aanpakken: je ontdekt heuristieken.
, Een algemeen bruikbare heuristiek voor wiskundige problemen is:
- Lees de opgave rustig door
- Leg in je eigen woorden uit wat precies het probleem is
- Welke gegevens heb je nodig om het probleem op te lossen
- Bedenk een strategie en voer die uit
- Kijk terug naar het probleem, heb je een oplossing?
Specifiekere heuristieken zijn bijvoorbeeld:
- Probeer een schema te tekenen
- Vereenvoudig de getallen: lukt het nu wel?
- Ga opzoek naar een vergelijkbaar probleem dat je eerder aangepakt hebt.
Door te reflecteren op het oplossingsproces is de kans groter dat de leerling bij een volgend
probleem inziet dat het lijkt op een vorig probleem.
Werken met rijke problemen stimuleert de wiskundige attitude van de leerlingen vaak meer dan het
gewone reken-wiskundewerk uit de methode.
Plezier hebben in wiskunde en het zelf leren om problemen aan te pakken zijn belangrijke elementen
van een positieve wiskundige attitude. Daaronder vallen:
- Een algemene positieve houding ten aanzien van rekenen-wiskunde
- Een reflecterende houding
- Een onderzoekende houding
- Een communicatieve houding
- Een doelgerichte houding
Werken aan rijke problemen bevordert bij kinderen een positieve wiskundige attitude. Een rijk
probleem bevat veel meer dan een in een context verborgen opgave. Goede rijke problemen
stimuleren de wiskundige attitude van kinderen.
- Positieve houding t.o.v rek-wiskunde
- Reflecterende houding
- Onderzoekende houding
- Communicatieve houding
- Doelgerichte houding.
Rijke problemen:
- Motiverend en activerend
- Aansprekende en heldere context
- Maken verschillende aanpakken mogelijk
- Is op verschillende niveaus
- Samenwerking en interactie
Rijke problemen zijn vaak meer omvattende problemen dan de korte opgaven uit methoden. Bij rijke
problemen moet er meer onderzocht en geredeneerd worden. De aanpak ligt, in tegenstelling tot bij
de meeste opgave uit de methode niet voor de hand.
De beste rijke problemen komen uit eigen ervaringen/kranten/grafieken etc. -> betekenisvol
