Entwicklung der Rechnertechnik
n
,Bit S
=> kleinste Informationseinheit
=>
Steuerung Statusinformationen die einen Ja/Nein-Zustand haben
=> kann nur O oder 1 haben
Darstellung:
·
gespeicherte Bit bleibt nur so lange bestehen,
wie die
Schaltung mit Strom
versorgt wird
=> Bits können auch Kondensator
gespeichert werden
geladener Kundensatur = 1
entladener = O
,Bit
Definition :
·
kleinste Informationseinheit
·
kann nur die Werte O oder 1 haben
Anwendungen : Bit Speichert Statusinformationen die einen
Ja/Nein Zustand haben
Darstellung:
ELEKTRONISCHE SPEICHERUNG VON BITS
in elektrischen Schaltungen kann ein Bit als elektrischer Zustand
werden
Gespeichert
Ein Statischer Speicher hält das Bit nur
,
solange Strom fließt
DYNAMISCHE SPEICHERZELLEN
Bits können auch in einem Kondensator
gespeichert werden
Kondensator
geladener = 1
entladener Kondensator =E
ELEKTRISCHE LEITUNG
Ein Bit kann als Spannung auf einer
Leitung dargestellt werden
Spannung vorhanden (Empfänger) 1
=
Spannung wird engespeist (Sender)
SPEICHERUNG AUF FESTPLATTEN
auf einer Festplatte werden Bits
magnetisch gespeichert.
ermöglicht dauerhafte Speicherung -
ohne Strom
kleine magnetische Bereiche auf der Platte werden so ausgerichtet,
dasS i e entweder Ooder 1 darstellen.
, Anwendung für mehrere Bits
·
mit 7 Bits kann man 4 Zustände erzeugen 2
Zustände erzeugen ?
·
mit 3 Bits kann man 8
G 6 0 110 11
Byte
·
mit 8 Bits kann man 256 Zustände erzeugen 26
=>
Gruppierung von 8. Bits nennt man
Byte
dezimales Zahlensystem
Symbole dargestellt durch Ziffer : 0-S
·
,
·
für größere Zahlen >
-
links ein Zahlsymbol einfügen mit der Wertigkeit 10
BSP .
28 bedeutet, der Zahlenwert beträgt 2x 10 + 8
10-Fache Y letzte Stelle
Wertigkeit = 1
Wertigkeit
binäres Zahlensystem
Wertigkeit- Zahl -
Symbole dargestellt durch Ziffer : O und 1
·
, Wertigkeit verdoppelt sich
~
größere Zahlensysteme - links ein Zahlsymbol einfügen mit der Wertigkeit 1 einfügen.
mitjedeStel een vorne
BSP .Ö bedeutet, der Zahlenwert beträgt 16 1 .
+ 8 - 1+ 4 -
0 + 201 + 1 -1 =
27
Hexadezimal Zahlensystem KLAUSURAUFGABE
J
Klausur Binärzahlen
jede umwandeln oder mit denen
Rechnen -
> viele Punkte
·
1Ger System Umrechnen zus
Zahlensystemen & rechnen in Zahlensystemen
ZD
, mit binär rechnen
.
0
·
Statt Ziffern 10-15 wird A-F verwendet
erstmal 01234 5 6 7 8 S
dann 101112131415
A BCDE
beFragt
-
BSP AS bedeutet, der Zahlenwert 10 16.
+ 9 -
1
Wert 10 Y1-S bleibt
Wertigkeit 16
,Binär -
> Dezimal
·
Jede Stelle der Binärzahl ist eine Wertigkeit zugeordnet
Dezimal -
> Binär (Divisionsmethode) Dezimal-> Binär (Subtraktionsmethode)
·
Dezimal wird modulo 2 ·
grüßte Zweierpotenz die größte ist , die noch "hineinpasst
·
Divisionsrest ist die letzte Stelle im Binär ·
Gefundene Zweierpotenz subtrahieren
letzte Stelle
4
Ergebnis : Resultat un oben nach unten lesen
I soweit bis
hier O ist
Hexadezimal-Binär& umgekehrt
BSP :
umwandlung von A5C7 :
A 5 C 7
=> 1010 0101 1100 0111 110110100 in Hexadezimal
Umwandlung von 1001 1110 001 1101 => 1 .
von hinten anfangen ,
da man 4 Stellen braucht & trennen
1001 1110 0011 1101
=> SE3D 2 .
in der Tabelle schauen
0001 1011 0100
↓
eine Zahl übrig
man kann immer so viele O hinzufügen
bis es wieder 4 Ziffern sind
,AlB A .
B AvD A + B Ä
=>
UND-Verknüpfung =>
ODER-Verknüpfung =>
Negierung
=> wenn beide wahr sind => mind . eine Aussage ist wahr
Wahrheitstabelle
DSP : E = (A + B) ·
(A 1)+
BSP .
mit zwei
Eingangswerten (ACB)
kann 4 Zustände
man
projizieren
22 = 4
=> E =
A
·
nur Zeilen betrachten , deren Ergebnis 1 .
ist
·
Eingangswerte die O sind werden negiert
·
Teillerme werden mit ODER-verknüpft
Aufgabe C
Bedingung Normaler Würfel :
:
·
O O 1 4 · O Bist in der Mitte 1 3 5
, ,
o
⑧
A
B O 2 5 Daraus folgt A ist nur bei 6
· 8
O O 3 & .
6 ·
Binärzahlen
5S
1001 4 3 Bits also
W2 We Wo
Wo = niedrigstes
Wa
2 010
W2 Wa =) höchstes
3
wo
=> B leuchtet wenn Wo =
1
3
A
We
:
Lampe ist nur an
,
wenn alle
-
Bedingungen gleichzeitig stimmen
=> Wa ·
Wn ·
Wo
· negieren ,
weil O
, Eingang 0-negieren = ) dann ist wieder 1
Eingang 1 - bleibt normal
Rechnen mit logischen Verknüpfungen
·
Volladdierer
= eine Schaltung die ,
zwei Binärzahlen addieren
=> 2 Bits (A & B) werden addiert und
gibt einen Übertrag an die nächste Stelle weiter (Un) 2 kommen raus
3 Eingänge
BSP : 9 =
10012
11 =
10112
Ergebnis S + 11 =
20
kein 2 gibt
1001 +1 10 weil es
03
1 =
im
Binärsystem
dh. . Schreibe O
übertrage 1
↳ Computer kann aber nur 4 Stellen
speicher (on hinten
nach vorne)
also bleibt 01002
Überlauf wird ignoriert
Interpretation als positive Dezimalzahlen
positive Zahl zur
negativen Zahl umwandeln
·
wenn die erste Stelle (links) eine O ist = positive Zahl ① alle bytes umdrehen
·
wenn die erste Stelle (rechts) eine 1 i st
negative Zahl aus O wird 1 und auch 1 wird O
positiv +
positiv & negativ + negativ ② 1 dazu addieren
=> kann Überlauf erzeugen , wäre dann außerhalb des Zeitraums BSP : 5 -
> -
5
h
BSP : G +G 0 .
- 6 + -
6 ①0101 >
-
1010
100 ⑦ 1010
+3 +
0001 111 in Binär
0100
1100 1011
überlauf
5 1011
positiv negativ = =
+
-
=> bleibt immer im Zahlenbereich , ist möglich
,Zahl - Zweierkomplement Zahl im
zweierkomplement - Dezimalzahl
Bsp .
-
7
positive Zahl -
> Binärformat 710 =
01112 Zahl bitweise negieren : 10012> 0110
bitweise negieren 01112 Eins hinzuzählen :
Ergebnis : 10002 0001 0111z
->
0102 + =
Eins hinzuzählen 1000 + 0001 =
10012 Zahl -
> Dezimalformat : 01112 =
Fro
Subtrahieren mit Zweierkomplement positives Ergebnis
1 .
Zahl - Binär Z B. .
710-510
2 . zum negativen Binär machen ①7 - 011125 -
01012 1 addieren
i
.
3 positive +
negative rechnen ② 5 - -
5 01017310102 -- 1010 + 0001 =
10112
4
. Überlauf wird ignoriert ③011 + 10112 =
100102
④ -
> 0010 = 210
↳ hier O worne also direkt
ablesbar
nur Zahlen von
Subtrahieren mit Zweierkomplement -u
negatives Ergebnis
-
128 -
+ 127
möglich
1 .
Zahl - Binär ZB .
.
210 -
Gro
2 . zum negativen Binär machen ① 2 -
00102 Ge 01102
.
3 positive +
negative rechnen ②6 -
0102010- 7 1001, 1001 + 0001 =
1010
Ergebnis zurückrechnen ③ 0010+ 1010
1100
4. =
dh . .
-
Bits umdrehen
addieren Zahl
1 ·
beginnt mit 1 Somit negative
-
>
-
also wieder umdrehen & +1
① 1100 2 -
>00112 OM + 0001 =
0100
0100 = 410 = -
0100 = 3 -
410
Multiplikation :
= wie bei halbschriftlichen Mal.
~
BSP .
Handschriftlich :
Binärsystem
, Fließkommazahlen
durch Kommaverschiebung Zehnerpotenz darstellen
sehr
große Zahlen -
per
·
-
BSP :
"normale Zahlen"
Binärzahlen
Fließzahlen mit 32 Bit besteht aus & Bit-Exponent (stellt Grüße da
1 Bit-Vorzeichen Co=
positiv 1=
negativ)
Bit-Mantisse
23
Leigentl .
Zahl
BSP : 14 , 25
① Zahl in Binär umwandeln ① 14 in binär =
11102
025 in binär = 0 01
.
110 , 25 2 = 05 llrest
.
0 5 . 2 =
All kein Rest
14 ,250 =
1110, 012 .
=> A also 0 , 01
② komma verschieben , damit es ② 1110 01 +
0,
O111001
,
Vorne steht . -
O hinzufügen
③ 0 , 111001 x2"
③ um
Verschiebung auszugleichen ,
Zahl mit 2" multiplizieren
↓
hoch 4 weil 4x das
Komma verschoben wurde
n
,Bit S
=> kleinste Informationseinheit
=>
Steuerung Statusinformationen die einen Ja/Nein-Zustand haben
=> kann nur O oder 1 haben
Darstellung:
·
gespeicherte Bit bleibt nur so lange bestehen,
wie die
Schaltung mit Strom
versorgt wird
=> Bits können auch Kondensator
gespeichert werden
geladener Kundensatur = 1
entladener = O
,Bit
Definition :
·
kleinste Informationseinheit
·
kann nur die Werte O oder 1 haben
Anwendungen : Bit Speichert Statusinformationen die einen
Ja/Nein Zustand haben
Darstellung:
ELEKTRONISCHE SPEICHERUNG VON BITS
in elektrischen Schaltungen kann ein Bit als elektrischer Zustand
werden
Gespeichert
Ein Statischer Speicher hält das Bit nur
,
solange Strom fließt
DYNAMISCHE SPEICHERZELLEN
Bits können auch in einem Kondensator
gespeichert werden
Kondensator
geladener = 1
entladener Kondensator =E
ELEKTRISCHE LEITUNG
Ein Bit kann als Spannung auf einer
Leitung dargestellt werden
Spannung vorhanden (Empfänger) 1
=
Spannung wird engespeist (Sender)
SPEICHERUNG AUF FESTPLATTEN
auf einer Festplatte werden Bits
magnetisch gespeichert.
ermöglicht dauerhafte Speicherung -
ohne Strom
kleine magnetische Bereiche auf der Platte werden so ausgerichtet,
dasS i e entweder Ooder 1 darstellen.
, Anwendung für mehrere Bits
·
mit 7 Bits kann man 4 Zustände erzeugen 2
Zustände erzeugen ?
·
mit 3 Bits kann man 8
G 6 0 110 11
Byte
·
mit 8 Bits kann man 256 Zustände erzeugen 26
=>
Gruppierung von 8. Bits nennt man
Byte
dezimales Zahlensystem
Symbole dargestellt durch Ziffer : 0-S
·
,
·
für größere Zahlen >
-
links ein Zahlsymbol einfügen mit der Wertigkeit 10
BSP .
28 bedeutet, der Zahlenwert beträgt 2x 10 + 8
10-Fache Y letzte Stelle
Wertigkeit = 1
Wertigkeit
binäres Zahlensystem
Wertigkeit- Zahl -
Symbole dargestellt durch Ziffer : O und 1
·
, Wertigkeit verdoppelt sich
~
größere Zahlensysteme - links ein Zahlsymbol einfügen mit der Wertigkeit 1 einfügen.
mitjedeStel een vorne
BSP .Ö bedeutet, der Zahlenwert beträgt 16 1 .
+ 8 - 1+ 4 -
0 + 201 + 1 -1 =
27
Hexadezimal Zahlensystem KLAUSURAUFGABE
J
Klausur Binärzahlen
jede umwandeln oder mit denen
Rechnen -
> viele Punkte
·
1Ger System Umrechnen zus
Zahlensystemen & rechnen in Zahlensystemen
ZD
, mit binär rechnen
.
0
·
Statt Ziffern 10-15 wird A-F verwendet
erstmal 01234 5 6 7 8 S
dann 101112131415
A BCDE
beFragt
-
BSP AS bedeutet, der Zahlenwert 10 16.
+ 9 -
1
Wert 10 Y1-S bleibt
Wertigkeit 16
,Binär -
> Dezimal
·
Jede Stelle der Binärzahl ist eine Wertigkeit zugeordnet
Dezimal -
> Binär (Divisionsmethode) Dezimal-> Binär (Subtraktionsmethode)
·
Dezimal wird modulo 2 ·
grüßte Zweierpotenz die größte ist , die noch "hineinpasst
·
Divisionsrest ist die letzte Stelle im Binär ·
Gefundene Zweierpotenz subtrahieren
letzte Stelle
4
Ergebnis : Resultat un oben nach unten lesen
I soweit bis
hier O ist
Hexadezimal-Binär& umgekehrt
BSP :
umwandlung von A5C7 :
A 5 C 7
=> 1010 0101 1100 0111 110110100 in Hexadezimal
Umwandlung von 1001 1110 001 1101 => 1 .
von hinten anfangen ,
da man 4 Stellen braucht & trennen
1001 1110 0011 1101
=> SE3D 2 .
in der Tabelle schauen
0001 1011 0100
↓
eine Zahl übrig
man kann immer so viele O hinzufügen
bis es wieder 4 Ziffern sind
,AlB A .
B AvD A + B Ä
=>
UND-Verknüpfung =>
ODER-Verknüpfung =>
Negierung
=> wenn beide wahr sind => mind . eine Aussage ist wahr
Wahrheitstabelle
DSP : E = (A + B) ·
(A 1)+
BSP .
mit zwei
Eingangswerten (ACB)
kann 4 Zustände
man
projizieren
22 = 4
=> E =
A
·
nur Zeilen betrachten , deren Ergebnis 1 .
ist
·
Eingangswerte die O sind werden negiert
·
Teillerme werden mit ODER-verknüpft
Aufgabe C
Bedingung Normaler Würfel :
:
·
O O 1 4 · O Bist in der Mitte 1 3 5
, ,
o
⑧
A
B O 2 5 Daraus folgt A ist nur bei 6
· 8
O O 3 & .
6 ·
Binärzahlen
5S
1001 4 3 Bits also
W2 We Wo
Wo = niedrigstes
Wa
2 010
W2 Wa =) höchstes
3
wo
=> B leuchtet wenn Wo =
1
3
A
We
:
Lampe ist nur an
,
wenn alle
-
Bedingungen gleichzeitig stimmen
=> Wa ·
Wn ·
Wo
· negieren ,
weil O
, Eingang 0-negieren = ) dann ist wieder 1
Eingang 1 - bleibt normal
Rechnen mit logischen Verknüpfungen
·
Volladdierer
= eine Schaltung die ,
zwei Binärzahlen addieren
=> 2 Bits (A & B) werden addiert und
gibt einen Übertrag an die nächste Stelle weiter (Un) 2 kommen raus
3 Eingänge
BSP : 9 =
10012
11 =
10112
Ergebnis S + 11 =
20
kein 2 gibt
1001 +1 10 weil es
03
1 =
im
Binärsystem
dh. . Schreibe O
übertrage 1
↳ Computer kann aber nur 4 Stellen
speicher (on hinten
nach vorne)
also bleibt 01002
Überlauf wird ignoriert
Interpretation als positive Dezimalzahlen
positive Zahl zur
negativen Zahl umwandeln
·
wenn die erste Stelle (links) eine O ist = positive Zahl ① alle bytes umdrehen
·
wenn die erste Stelle (rechts) eine 1 i st
negative Zahl aus O wird 1 und auch 1 wird O
positiv +
positiv & negativ + negativ ② 1 dazu addieren
=> kann Überlauf erzeugen , wäre dann außerhalb des Zeitraums BSP : 5 -
> -
5
h
BSP : G +G 0 .
- 6 + -
6 ①0101 >
-
1010
100 ⑦ 1010
+3 +
0001 111 in Binär
0100
1100 1011
überlauf
5 1011
positiv negativ = =
+
-
=> bleibt immer im Zahlenbereich , ist möglich
,Zahl - Zweierkomplement Zahl im
zweierkomplement - Dezimalzahl
Bsp .
-
7
positive Zahl -
> Binärformat 710 =
01112 Zahl bitweise negieren : 10012> 0110
bitweise negieren 01112 Eins hinzuzählen :
Ergebnis : 10002 0001 0111z
->
0102 + =
Eins hinzuzählen 1000 + 0001 =
10012 Zahl -
> Dezimalformat : 01112 =
Fro
Subtrahieren mit Zweierkomplement positives Ergebnis
1 .
Zahl - Binär Z B. .
710-510
2 . zum negativen Binär machen ①7 - 011125 -
01012 1 addieren
i
.
3 positive +
negative rechnen ② 5 - -
5 01017310102 -- 1010 + 0001 =
10112
4
. Überlauf wird ignoriert ③011 + 10112 =
100102
④ -
> 0010 = 210
↳ hier O worne also direkt
ablesbar
nur Zahlen von
Subtrahieren mit Zweierkomplement -u
negatives Ergebnis
-
128 -
+ 127
möglich
1 .
Zahl - Binär ZB .
.
210 -
Gro
2 . zum negativen Binär machen ① 2 -
00102 Ge 01102
.
3 positive +
negative rechnen ②6 -
0102010- 7 1001, 1001 + 0001 =
1010
Ergebnis zurückrechnen ③ 0010+ 1010
1100
4. =
dh . .
-
Bits umdrehen
addieren Zahl
1 ·
beginnt mit 1 Somit negative
-
>
-
also wieder umdrehen & +1
① 1100 2 -
>00112 OM + 0001 =
0100
0100 = 410 = -
0100 = 3 -
410
Multiplikation :
= wie bei halbschriftlichen Mal.
~
BSP .
Handschriftlich :
Binärsystem
, Fließkommazahlen
durch Kommaverschiebung Zehnerpotenz darstellen
sehr
große Zahlen -
per
·
-
BSP :
"normale Zahlen"
Binärzahlen
Fließzahlen mit 32 Bit besteht aus & Bit-Exponent (stellt Grüße da
1 Bit-Vorzeichen Co=
positiv 1=
negativ)
Bit-Mantisse
23
Leigentl .
Zahl
BSP : 14 , 25
① Zahl in Binär umwandeln ① 14 in binär =
11102
025 in binär = 0 01
.
110 , 25 2 = 05 llrest
.
0 5 . 2 =
All kein Rest
14 ,250 =
1110, 012 .
=> A also 0 , 01
② komma verschieben , damit es ② 1110 01 +
0,
O111001
,
Vorne steht . -
O hinzufügen
③ 0 , 111001 x2"
③ um
Verschiebung auszugleichen ,
Zahl mit 2" multiplizieren
↓
hoch 4 weil 4x das
Komma verschoben wurde
