Stochastik
Was ist Stochastik?
Die Stochastik umfasst ein Teilgebiet der Statistik, das sich der Untersuchung von Zufällen,
abhängigen Ereignissen und Prozessen befasst.
Begriffsdefinitionen
Zufallsexperiment: Experiment, dessen Ausgang zufällig (nicht deterministisch) ist.
z.B. einmaliges Werfen eines 6-seitigen Würfels
Ergebnis: Ausgang/Resultat eines Zufallsexperiments (ZE)
z.B. Werfen einer 6
Ergebnismenge ( ): Anzahl/Menge aller möglichen Ergebnisse
z.B. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
z.B. | | = 6 (Menge an möglichen Ausgängen)
Ereignis: Zusammenfassen von möglichen Ergebnissen
z.B. gerade Zahl würfeln ==> mögliche Ergebnisse 2,4,6
E: „gerade Zahl würfeln“ ==> E = {2, 4, 6}
• Sicheres Ereignis: Ereignis, dass mit Sicherheit eintrifft
z.B. E1: „Zahl zwischen 1 und 6 würfeln“
• Unmögliches Ereignis: Ereignis, dass mit Sicherheit NICHT eintrifft
z.B. E2: „keine Zahl wird gewürfelt“
• Elementarereignis: Ereignis, dass aus nur einem Element der Ergebnismenge besteht
z.B. E3: „1 würfeln“
• Gegenereignis: Ereignis besteht aus allem, außer den genannten Ergebnissen
z.B. E4: „gerade Zahl“ ==> E4: „ungerade Zahl“
E4 = {2, 4, 6} ==> E4 = {1, 3, 5}
,Absolute Häufigkeit: Anzahl des Eintretens eines bestimmten Ereignisses
z.B. beim Basketball werden von 10 Würfen 2 getroffen ==> absolute Häufigkeit: 2
Relative Häufigkeit: Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche
(Absolute Häufigkeit : Anzahl der Treffer = relative Häufigkeit)
z.B. 2 : 10 = 0,2 ==> relative Häufigkeit: 0,2
Wahrscheinlichkeit: Die Chance, dass bei einem Ereignis ein bestimmtes Ereignis auftritt
Gesetz der großen Zahlen: Je häufiger ein Zufallsexperiment durchgeführt wird, desto mehr
nähert sich die Häufigkeit seiner rechnerischen Wahrscheinlichkeit an
Laplace-Experiment: Ein Experiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind
z.B. Werfen eines Würfels, bei dem alle Seiten gleich groß sind
Mehrstufiges Zufallsexperiment: Zufallsexperiment, welches aus mehreren Stufen besteht
z.B. das mehrfache Drehen eines Glücksrades
Baumdiagramme
Baumdiagramme werden dazu genutzt, mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben.
Jedem Ergebnis des Gesamtexperiments entspricht ein Pfad im Baum vom Startpunkt zu
einem Endpunkt.
, Beispiel: Auf einem Tisch nebenan hat ein anderer Gast verdeckt vier Asse, drei Könige und
zwei Damen abgelegt. Peter zieht nacheinander zwei zufällig gewählte Karten und legt sie
aufgedeckt nebeneinander hin. Die Farbe der Karten ist dabei nicht zu beachten.
Erstellen und beschriften Sie das zugehörige Baumdiagramm
Regeln bei Baumdiagrammen
Multiplikationsregel: Die Pfadwkeit ist das Produkt aus allen Zweigwkeiten entlang des
Pfades. (Elementarereignis)
z.B. E: „zwei Damen ziehen“: 2/9 • 1/8 = 2/72 = 2,78%
Summenregel: Die Wkeit eines Ereignisses, das aus mehreren Pfaden (also aus mehreren
Ereignissen) besteht, ist die Summe aller Pfadwkeiten.
z.B. E: „mindestens eine Dame“: 2/9 • 1/8 + 2/9 • 3/8 + 2/9 • 1/2 + 1/3 • 1/4 + 4/9 • 1/4 = 1/4 =
25%
Was ist Stochastik?
Die Stochastik umfasst ein Teilgebiet der Statistik, das sich der Untersuchung von Zufällen,
abhängigen Ereignissen und Prozessen befasst.
Begriffsdefinitionen
Zufallsexperiment: Experiment, dessen Ausgang zufällig (nicht deterministisch) ist.
z.B. einmaliges Werfen eines 6-seitigen Würfels
Ergebnis: Ausgang/Resultat eines Zufallsexperiments (ZE)
z.B. Werfen einer 6
Ergebnismenge ( ): Anzahl/Menge aller möglichen Ergebnisse
z.B. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
z.B. | | = 6 (Menge an möglichen Ausgängen)
Ereignis: Zusammenfassen von möglichen Ergebnissen
z.B. gerade Zahl würfeln ==> mögliche Ergebnisse 2,4,6
E: „gerade Zahl würfeln“ ==> E = {2, 4, 6}
• Sicheres Ereignis: Ereignis, dass mit Sicherheit eintrifft
z.B. E1: „Zahl zwischen 1 und 6 würfeln“
• Unmögliches Ereignis: Ereignis, dass mit Sicherheit NICHT eintrifft
z.B. E2: „keine Zahl wird gewürfelt“
• Elementarereignis: Ereignis, dass aus nur einem Element der Ergebnismenge besteht
z.B. E3: „1 würfeln“
• Gegenereignis: Ereignis besteht aus allem, außer den genannten Ergebnissen
z.B. E4: „gerade Zahl“ ==> E4: „ungerade Zahl“
E4 = {2, 4, 6} ==> E4 = {1, 3, 5}
,Absolute Häufigkeit: Anzahl des Eintretens eines bestimmten Ereignisses
z.B. beim Basketball werden von 10 Würfen 2 getroffen ==> absolute Häufigkeit: 2
Relative Häufigkeit: Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche
(Absolute Häufigkeit : Anzahl der Treffer = relative Häufigkeit)
z.B. 2 : 10 = 0,2 ==> relative Häufigkeit: 0,2
Wahrscheinlichkeit: Die Chance, dass bei einem Ereignis ein bestimmtes Ereignis auftritt
Gesetz der großen Zahlen: Je häufiger ein Zufallsexperiment durchgeführt wird, desto mehr
nähert sich die Häufigkeit seiner rechnerischen Wahrscheinlichkeit an
Laplace-Experiment: Ein Experiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind
z.B. Werfen eines Würfels, bei dem alle Seiten gleich groß sind
Mehrstufiges Zufallsexperiment: Zufallsexperiment, welches aus mehreren Stufen besteht
z.B. das mehrfache Drehen eines Glücksrades
Baumdiagramme
Baumdiagramme werden dazu genutzt, mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben.
Jedem Ergebnis des Gesamtexperiments entspricht ein Pfad im Baum vom Startpunkt zu
einem Endpunkt.
, Beispiel: Auf einem Tisch nebenan hat ein anderer Gast verdeckt vier Asse, drei Könige und
zwei Damen abgelegt. Peter zieht nacheinander zwei zufällig gewählte Karten und legt sie
aufgedeckt nebeneinander hin. Die Farbe der Karten ist dabei nicht zu beachten.
Erstellen und beschriften Sie das zugehörige Baumdiagramm
Regeln bei Baumdiagrammen
Multiplikationsregel: Die Pfadwkeit ist das Produkt aus allen Zweigwkeiten entlang des
Pfades. (Elementarereignis)
z.B. E: „zwei Damen ziehen“: 2/9 • 1/8 = 2/72 = 2,78%
Summenregel: Die Wkeit eines Ereignisses, das aus mehreren Pfaden (also aus mehreren
Ereignissen) besteht, ist die Summe aller Pfadwkeiten.
z.B. E: „mindestens eine Dame“: 2/9 • 1/8 + 2/9 • 3/8 + 2/9 • 1/2 + 1/3 • 1/4 + 4/9 • 1/4 = 1/4 =
25%
