Wiskunde
Getallenkennis
Functies van getallen
Getallen => rangorde, hoeveelheid, code en verhouding aanduiden
Getal als hoeveelheid
= kardinatie => kardinale getallen
Aantal van iets weergeven
Vb. 5 radijsjes
Getal als rangorde
= ordinatie => ordinale getallen (rangtelwoorden)
Duidt logische volgorde aan in ruimte of tijd
Vb. eerste
Getal als code
Unieke combinatie die enkel betekenis heeft voor de mensen die weten wat de code is
Vb. nummerplaat, rekeningnummer
Getal als verhouding
Het ene deel verhoudt zich tot het geheel
Het geheel => als breuk of procent
Drukt geen absolute hoeveelheid uit => meer info voor nodig
Vb. ¼ van de minderjarigen = ongeveer want je weet niet hoeveel er precies zijn
Waarde van het getal is afhankelijk van de eenheid
Vb. 100 cent is niet evenveel als 100 euro
Maatgetal => zegt hoeveel keer de maateenheid (vb. cm, m, g, l…voorkomt in een meting
alle getallen als maat zijn ook getallen als verhouding maar niet omgekeerd
vb. 70g => is een maat maar ook een verhouding
100 => is een verhouding maar geen maat want er is geen maateenheid
Talstelsels
= wiskundig systeem om getallen voor te stellen
2 soorten:
1. additieve systemen
- waarden van de symbolen optellen (vaak machten van 10) elk symbool heeft een
waarde
- plaats maakt niet uit
- vb. Egyptisch talstelsel, Romeinse cijfers (hebben wel regels (zie hieronder))
2. positiesystemen
- plaats van het symbool bepaalt de waarde ervan
- vb. Babylonische symbolen = oudste (grondtal 60)
Tiendelig talstelsel
Ons getallensysteem = grondtal 10 = tientallige of decimale stelsel
hoogste cijfer dat je voor 1 positie kan vormen = 9 (andere getallen zijn samenstellingen)
positie van het getal maakt veel uit (hoe meer naar links, hoe groter de waarde)
vb. 1010 => de eerste 1 heeft niet dezelfde waarde als de 2e
lezen: miljoen/ miljard eraf, duizend/ honderd eraan
vb. honderdachtenveertig miljoen tweehonderddrieënvijftigduizend
Andere talstelsels
,Onze = Arabische cijfers!
Verschillend van 10
Binaire/ tweetallige talstelsel = grondtal 2 (gebruikt enkel cijfers 0 en 1)
0 1 10 11 100 101 = 0 1 2 3 4 5
Octale talstelsel = grondtal 8 (cijfers van 0 tot 7)
8 = 10
Hexadecimale talstelsel = grondtal 16 (cijfers van 0 tot 9 + letters van A tot F)
10 = A, 15 = F, 16 = 10
Een uur = 60 minuten = overblijfsel 60-delig talstelsel
Romeins talstelsel
Regels om het overzichtelijk te houden:
I=1 Max. 1 getal optellen of aftrekken
V=5 De letters I X C M komen max. 3x na elkaar
X = 10 voor => de andere geen 2x achter elkaar
L = 50 Getallen afzonderlijk noteren om notatie te
C = 100 bepalen
D = 500 Vb. 1 999 = MCMXCIX en niet MIM
M = 1000
Getalverzamelingen
Natuurlijke getallen (ℕ)
= getallen waarmee je hoeveelheden aanduidt die er effectief zijn
Positief getal = getal groter of gelijk aan 0
Strikt positief getal = getal groter dan 0
Gehele getallen (ℤ)
= de natuurlijke getallen + de negatieve getallen
Negatief getal = getal kleiner of gelijk aan 0
Strikt negatief getal = getal kleiner dan 0
Rationale getallen (ℚ)
= natuurlijke en gehele getallen + de breuken, procenten of kommagetallen
Zowel de positieve als negatieve breuken, procenten of kommagetallen horen hierbij
Alle natuurlijke en gehele getallen zijn rationale getallen maar niet omgekeerd
2 soorten kommagetallen:
1. Afbrekend/ begrensd kommagetal
- Niet oneindig aantal cijfers na de komma maar beperkt
2. Repeterend kommagetal
- Oneindig aantal cijfers na de komma MAAR met een periode in = altijd terugkomend
patroon
2.1 Zuiver repeterend
- Periode begint meteen na de komma
2.2 Gemengd repeterend
- Eerst aantal cijfers en daarna een periode
, Reële getallen (ℝ)
= natuurlijke, gehele en rationale getallen + irrationale getallen (= oneindig # cijfers na komma
zonder periode)
Zowel positieve als negatieve irrationele getallen horen hierbij
Breuken
= een deel ten opzichte van het geheel
Soorten breuken
Stambreuk = breuk met teller 1
Tiendelige/ decimale breuk = noemer is macht van 10
Echte breuk = teller kleiner dan noemer
Onechte breuk = teller gelijk of groter dan noemer
Oneigenlijke breuk = breuk die na vereenvoudiging op een natuurlijk getal uitkomt
Gemengd getal = geheel getal + breuk vb. 3 ¼ of 10/4
Soortnamen van breuken:
1. Gelijknamige breuken = breuken met dezelfde noemer
2. Gelijkwaardige breuken = breuken met zelfde waarde (de onvereenvoudigbare breuk is
hetzelfde)
Breuken vereenvoudigen
= teller en noemer delen door de grootste gemeenschappelijke deler’
Breuken gelijknamig maken
Verschillende manieren:
1. Kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers zoeken
2. Product van beide noemers nemen => meestal groot getal (meer kansen op rekenfouten)
3. Ene noemer = veelvoud van andere noemer => je moet maar 1 noemer omrekenen
Breuken vergelijken
Verschillende manieren:
1. Gelijknamige breuken
2. Ongelijknamige breuken met een gelijke teller (hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk)
3. Ongelijknamige breuken met een verschillende teller (logisch redeneren of gelijknamig
maken)
Verschijningsvormen
1. Breuk als resultaat van een verdeelsituatie
Vb. 3 pizza’s verdelen over 4 kinderen => ¾
2. Breuk als operator = omgekeerde situatie van hierboven
Vb. kleur 5/6 van de rechthoek
3. Breuk als getal
Vb. ½ = 1 gedeeld door 2 = 0,5
4. Breuk als verhouding
Vb. 1 op 3, een schaal
5. Breuk als kans
Vb. de kans dat je 4 gooit is 1/6
Kommagetallen
Getallenkennis
Functies van getallen
Getallen => rangorde, hoeveelheid, code en verhouding aanduiden
Getal als hoeveelheid
= kardinatie => kardinale getallen
Aantal van iets weergeven
Vb. 5 radijsjes
Getal als rangorde
= ordinatie => ordinale getallen (rangtelwoorden)
Duidt logische volgorde aan in ruimte of tijd
Vb. eerste
Getal als code
Unieke combinatie die enkel betekenis heeft voor de mensen die weten wat de code is
Vb. nummerplaat, rekeningnummer
Getal als verhouding
Het ene deel verhoudt zich tot het geheel
Het geheel => als breuk of procent
Drukt geen absolute hoeveelheid uit => meer info voor nodig
Vb. ¼ van de minderjarigen = ongeveer want je weet niet hoeveel er precies zijn
Waarde van het getal is afhankelijk van de eenheid
Vb. 100 cent is niet evenveel als 100 euro
Maatgetal => zegt hoeveel keer de maateenheid (vb. cm, m, g, l…voorkomt in een meting
alle getallen als maat zijn ook getallen als verhouding maar niet omgekeerd
vb. 70g => is een maat maar ook een verhouding
100 => is een verhouding maar geen maat want er is geen maateenheid
Talstelsels
= wiskundig systeem om getallen voor te stellen
2 soorten:
1. additieve systemen
- waarden van de symbolen optellen (vaak machten van 10) elk symbool heeft een
waarde
- plaats maakt niet uit
- vb. Egyptisch talstelsel, Romeinse cijfers (hebben wel regels (zie hieronder))
2. positiesystemen
- plaats van het symbool bepaalt de waarde ervan
- vb. Babylonische symbolen = oudste (grondtal 60)
Tiendelig talstelsel
Ons getallensysteem = grondtal 10 = tientallige of decimale stelsel
hoogste cijfer dat je voor 1 positie kan vormen = 9 (andere getallen zijn samenstellingen)
positie van het getal maakt veel uit (hoe meer naar links, hoe groter de waarde)
vb. 1010 => de eerste 1 heeft niet dezelfde waarde als de 2e
lezen: miljoen/ miljard eraf, duizend/ honderd eraan
vb. honderdachtenveertig miljoen tweehonderddrieënvijftigduizend
Andere talstelsels
,Onze = Arabische cijfers!
Verschillend van 10
Binaire/ tweetallige talstelsel = grondtal 2 (gebruikt enkel cijfers 0 en 1)
0 1 10 11 100 101 = 0 1 2 3 4 5
Octale talstelsel = grondtal 8 (cijfers van 0 tot 7)
8 = 10
Hexadecimale talstelsel = grondtal 16 (cijfers van 0 tot 9 + letters van A tot F)
10 = A, 15 = F, 16 = 10
Een uur = 60 minuten = overblijfsel 60-delig talstelsel
Romeins talstelsel
Regels om het overzichtelijk te houden:
I=1 Max. 1 getal optellen of aftrekken
V=5 De letters I X C M komen max. 3x na elkaar
X = 10 voor => de andere geen 2x achter elkaar
L = 50 Getallen afzonderlijk noteren om notatie te
C = 100 bepalen
D = 500 Vb. 1 999 = MCMXCIX en niet MIM
M = 1000
Getalverzamelingen
Natuurlijke getallen (ℕ)
= getallen waarmee je hoeveelheden aanduidt die er effectief zijn
Positief getal = getal groter of gelijk aan 0
Strikt positief getal = getal groter dan 0
Gehele getallen (ℤ)
= de natuurlijke getallen + de negatieve getallen
Negatief getal = getal kleiner of gelijk aan 0
Strikt negatief getal = getal kleiner dan 0
Rationale getallen (ℚ)
= natuurlijke en gehele getallen + de breuken, procenten of kommagetallen
Zowel de positieve als negatieve breuken, procenten of kommagetallen horen hierbij
Alle natuurlijke en gehele getallen zijn rationale getallen maar niet omgekeerd
2 soorten kommagetallen:
1. Afbrekend/ begrensd kommagetal
- Niet oneindig aantal cijfers na de komma maar beperkt
2. Repeterend kommagetal
- Oneindig aantal cijfers na de komma MAAR met een periode in = altijd terugkomend
patroon
2.1 Zuiver repeterend
- Periode begint meteen na de komma
2.2 Gemengd repeterend
- Eerst aantal cijfers en daarna een periode
, Reële getallen (ℝ)
= natuurlijke, gehele en rationale getallen + irrationale getallen (= oneindig # cijfers na komma
zonder periode)
Zowel positieve als negatieve irrationele getallen horen hierbij
Breuken
= een deel ten opzichte van het geheel
Soorten breuken
Stambreuk = breuk met teller 1
Tiendelige/ decimale breuk = noemer is macht van 10
Echte breuk = teller kleiner dan noemer
Onechte breuk = teller gelijk of groter dan noemer
Oneigenlijke breuk = breuk die na vereenvoudiging op een natuurlijk getal uitkomt
Gemengd getal = geheel getal + breuk vb. 3 ¼ of 10/4
Soortnamen van breuken:
1. Gelijknamige breuken = breuken met dezelfde noemer
2. Gelijkwaardige breuken = breuken met zelfde waarde (de onvereenvoudigbare breuk is
hetzelfde)
Breuken vereenvoudigen
= teller en noemer delen door de grootste gemeenschappelijke deler’
Breuken gelijknamig maken
Verschillende manieren:
1. Kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de noemers zoeken
2. Product van beide noemers nemen => meestal groot getal (meer kansen op rekenfouten)
3. Ene noemer = veelvoud van andere noemer => je moet maar 1 noemer omrekenen
Breuken vergelijken
Verschillende manieren:
1. Gelijknamige breuken
2. Ongelijknamige breuken met een gelijke teller (hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk)
3. Ongelijknamige breuken met een verschillende teller (logisch redeneren of gelijknamig
maken)
Verschijningsvormen
1. Breuk als resultaat van een verdeelsituatie
Vb. 3 pizza’s verdelen over 4 kinderen => ¾
2. Breuk als operator = omgekeerde situatie van hierboven
Vb. kleur 5/6 van de rechthoek
3. Breuk als getal
Vb. ½ = 1 gedeeld door 2 = 0,5
4. Breuk als verhouding
Vb. 1 op 3, een schaal
5. Breuk als kans
Vb. de kans dat je 4 gooit is 1/6
Kommagetallen
