Module 1: speltheorie
Een spel bestaat uit spelers die elk een strategie kiezen om een zo goed mogelijk resultaat/payoff te bekrijgen.
Speltheorie wordt gebruikt om situaties met strategische interacties tussen verschillende beslissingsnemers te
analyseren en de uitkomst te voorspellen.
In eenvoudige situaties heeft een individuele beslissing niets te maken met de beslissingen van andere individuen.
De definitie van individueel evenwicht ligt dan voor de hand: een student koopt bijvoorbeeld boeken die hem binnen
zijn gegeven budget de grootste voldoening opleveren.
Maar de situatie wordt aanzienlijk complexer als de beslissingen van individuen niet alleen voor henzelf gevolgen
hebben, maar ook voor anderen. De complexiteit ontstaat omdat dan de beste beslissing die elk individu voor
zichzelf kan nemen in het algemeen afhangt van de beslissingen die de anderen nemen. Er ontstaat sociale
interactie. Speltheorie is de analyse van deze interactie.
Voorbeeld van gevangenen
Gevangenen kunnen kiezen om te bekennen of te ontkennen, maar afhankelijk van wat de andere doet zal hun
celstraf anders zijn. Ze willen een zo minimale gevangenisstraf. Hierbij hebben de beslissingen die individuen maken
niet alleen gevolgen voor zichzelf, maar ook voor anderen.
De resultatenmatrix toont de uitkomsten.
Gevangen 1 is de rijspeler; het eerste getal in elke cel is zijn uitkomst.
Gevangen 2 is de kolomspeler; het tweede getal in elke cel is zijn uitkomst.
Er zijn 2 strategieën; bekennen of ontkennen en er zijn 4 mogelijk uitkomsten.
Vraag: als beide gevangenen ontkennen, krijgen ze elk een celstraf van 2 jaar. (waar)
Vraag: hoeveel jaar gevangenisstraf krijgt gevangene 2 als hij kiest om te bekennen, terwijl gevangene 1 ontkent? (1
jaar)
Beide ontkennen geeft de meest gunstige uitkomst; elk 2 jaar gevangenisstraf, maar als gevangenen 1 in de
verleiding komt om te bekennen, gaat zijn straf van 2 naar 1 jaar. Dit is echter riskant want als gevangenen 2 ook
gaat bekennen (om zo ook van 2 naar 1 jaar te gaan) krijgen ze beide 8 jaar celstraf.
om de uitkomst te voorspellen bekijken we de beste uitkomst voor gevangenen 1
- 1 en 2 ontkennen beide: 2 jaar
- 1 bekent, 2 ontkent: 1 jaar
als 2 zou ontkennen is het de beste strategie voor 1 om te bekennen
- 1 ontkent, 2 bekent: 10 jaar
- 1 bekent, 2 bekent: 8 jaar
als 2 zou bekennen is het de beste strategie voor 1 om te bekennen
Ongeacht wat gevangene 2 doet, is het voor gevangene 1 het beste om tot bekentenis over te gaan
bekennen = dominante strategie = strategie die een speler altijd het beste resultaat oplevert, ongeacht de keuze
,van de andere speler (kan niet aanwezig zijn, voor 1 speler of voor meerdere spelers)
ontkennen = gedomineerde strategie
(identiek zelfde redenering voor speler 2)
Als er voor iedere speler een dominante strategie is, zal de combinatie van de strategieën de verwachte uitkomst zijn
= evenwicht in dominante strategieën (wilt niet altijd zeggen dat het de beste uitkomst is)
Beide ontkennen = coöperatieve uitkomst (als ze samen werken kunnen ze de beste gezamenlijke uitkomst
bereiken, dit evenwicht is eerder onzeker)
Nastreven van individueel belang leidt niet noodzakelijk tot de beste gezamenlijke uitkomst
Voorbeeld Eva en Daan
Het kan even goed voorkomen dat in een spel 1 speler een dominante strategie heeft, of dat er geen dominante
strategieën zijn, in dat geval kan je een andere manier gebruiken om een evenwicht te vinden.
Nash evenwicht: een combinatie van strategieën waarbij geen enkele speler de intentie heeft zijn strategie te
wijzigen, gegeven de strategie van de andere speler.
Daan wilt graag naar de voetbal, Eva naar de cinema. Maar beide gaan ze liever samen uit. Getallen geven de
voldoening van de spelers weer. Het is een coördinatiespel, het is het beste als ze beide dezelfde keuze nemen. De
beste keuze van Daan hangt af van wat Eva kiest en omgekeerd. Hun beste keuze hangt dus af van de andere.
Vraag: heeft 1 van de spelers een dominante strategie? (er is geen dominante strategie)
Vraag: als Daan kiest om naar de cinema te gaan, welke strategie levert dan Eva het meest op? (cinema)
Kijken naar wat de beste strategie voor de speler is, gegeven de strategie van de andere speler.
Standpunt Daan: weet niet wat Eva gaat kiezen, maar kan wel bepalen wat voor hem het beste resultaat is.
- Eva kiest cinema, als hij voor voetbal kiest dan levert dan niets op. Als hij kiest voor de cinema geeft hem dat een
voldoening van 1.
- Eva kiest voetbal, als hij voor cinema kiest levert dat niets op. Als hij kiest voor voetbal geeft hem dat een
voldoening van 3.
2 uitkomsten die voor zowel Daan als Eva de beste optie zijn, gegeven de strategie van de andere = Nash
evenwicht
, Evenwicht in dominante strategieën is altijd een Nash evenwicht
Een Nash evenwicht is niet altijd een evenwicht in dominante strategieën
Nash evenwicht kan 0,1 of meer zijn
Productiemogelijkhedencurve
Voorbeeld: bakker kan 2 producten maken (brood en taart) hij zal al zijn beschikbare middelen (arbeiders en
machines) moeten verdelen over deze 2 goederen. Tabel toont maximale productiemogelijkheden.
Bundels uit tabel
weergeven op
assenstelsel en
veronderstellen
dat hij ook een
half brood of een
halve taart kan
maken. Curve toont de productiemogelijkhedencurve, toont
verschillende combinaties van 2 goederen die geproduceerd kunnen worden als alle middelen efficiënt worden
ingezet. De punten op de grafiek zijn optimaal, alles onder de grafiek gaat ook maar dan is er geen optimale
benutting van zijn middelen (bijvoorbeeld machine kapot of werknemer werkt niet goed). Alle bundels boven de
grafiek kan hij niet bereiken, aangezien zijn middelen beperkt zijn.
Productiemogelijkhedenverzameling = de punten op en onder de grafiek.
Beperking van beschikbare middelen = schaarste (zijn de punten boven de
grafiek)
Vraag: de bakker kan punt Z bereiken, gegeven zijn middelen? (niet waar)
Vraag: hoeveel broden zal de bakker moeten opgeven om vanuit punt B 1 extra taart te kunnen maken, met evenveel
middelen (4)
aantal broden dat hij minder kan maken voor 1 extra taart = opportuniteitskost (af te lezen van de curve) =
gemiste opbrengst van de best mogelijke alternatieve aanwending van de beschikbare productiemiddelen (kiezen is
verliezen)
opportuniteitskost stijgt naarmate de bakker meer taarten produceert
, Hoeveel borden zal de bakker moeten opgeven om vanuit punt D 1 extra taart te kunnen maken, met evenveel
middelen (32)
Normale vorm: concaaf
opportuniteitskost neemt toe indien het goed toeneemt
vorm geeft aan hoe de opportuniteitskosten veranderen indien we al iets van een goed hebben
Uitzonderlijk: lineair
opportuniteitskost constant naarmate het goed toeneemt
Opportuniteitskost
We bekijken een samenleving met twee landen, Portugal en Engeland. Beide produceren uitsluitend textiel en wijn.
Onderstaande tabel geeft weer hoeveel uren er nodig zijn om één eenheid wijn en één eenheid textiel te
produceren.
Het is duidelijk dat Portugal een absoluut voordeel heeft in de productie: het kan eenzelfde hoeveelheid wijn én
eenzelfde hoeveelheid textiel telkens produceren met minder uren dan Engeland.
Stel dat elk land 360 000 productie uren beschikbaar heeft. Dan kunnen we aan de hand van bovenstaande tabel de
productiemogelijkhedencurve van beide landen opstellen. Dit doen we door eerst de maximale productie van wijn
en textiel (de punten op de horizontale en verticale as) te berekenen en nadien deze lineair te verbinden.
Een spel bestaat uit spelers die elk een strategie kiezen om een zo goed mogelijk resultaat/payoff te bekrijgen.
Speltheorie wordt gebruikt om situaties met strategische interacties tussen verschillende beslissingsnemers te
analyseren en de uitkomst te voorspellen.
In eenvoudige situaties heeft een individuele beslissing niets te maken met de beslissingen van andere individuen.
De definitie van individueel evenwicht ligt dan voor de hand: een student koopt bijvoorbeeld boeken die hem binnen
zijn gegeven budget de grootste voldoening opleveren.
Maar de situatie wordt aanzienlijk complexer als de beslissingen van individuen niet alleen voor henzelf gevolgen
hebben, maar ook voor anderen. De complexiteit ontstaat omdat dan de beste beslissing die elk individu voor
zichzelf kan nemen in het algemeen afhangt van de beslissingen die de anderen nemen. Er ontstaat sociale
interactie. Speltheorie is de analyse van deze interactie.
Voorbeeld van gevangenen
Gevangenen kunnen kiezen om te bekennen of te ontkennen, maar afhankelijk van wat de andere doet zal hun
celstraf anders zijn. Ze willen een zo minimale gevangenisstraf. Hierbij hebben de beslissingen die individuen maken
niet alleen gevolgen voor zichzelf, maar ook voor anderen.
De resultatenmatrix toont de uitkomsten.
Gevangen 1 is de rijspeler; het eerste getal in elke cel is zijn uitkomst.
Gevangen 2 is de kolomspeler; het tweede getal in elke cel is zijn uitkomst.
Er zijn 2 strategieën; bekennen of ontkennen en er zijn 4 mogelijk uitkomsten.
Vraag: als beide gevangenen ontkennen, krijgen ze elk een celstraf van 2 jaar. (waar)
Vraag: hoeveel jaar gevangenisstraf krijgt gevangene 2 als hij kiest om te bekennen, terwijl gevangene 1 ontkent? (1
jaar)
Beide ontkennen geeft de meest gunstige uitkomst; elk 2 jaar gevangenisstraf, maar als gevangenen 1 in de
verleiding komt om te bekennen, gaat zijn straf van 2 naar 1 jaar. Dit is echter riskant want als gevangenen 2 ook
gaat bekennen (om zo ook van 2 naar 1 jaar te gaan) krijgen ze beide 8 jaar celstraf.
om de uitkomst te voorspellen bekijken we de beste uitkomst voor gevangenen 1
- 1 en 2 ontkennen beide: 2 jaar
- 1 bekent, 2 ontkent: 1 jaar
als 2 zou ontkennen is het de beste strategie voor 1 om te bekennen
- 1 ontkent, 2 bekent: 10 jaar
- 1 bekent, 2 bekent: 8 jaar
als 2 zou bekennen is het de beste strategie voor 1 om te bekennen
Ongeacht wat gevangene 2 doet, is het voor gevangene 1 het beste om tot bekentenis over te gaan
bekennen = dominante strategie = strategie die een speler altijd het beste resultaat oplevert, ongeacht de keuze
,van de andere speler (kan niet aanwezig zijn, voor 1 speler of voor meerdere spelers)
ontkennen = gedomineerde strategie
(identiek zelfde redenering voor speler 2)
Als er voor iedere speler een dominante strategie is, zal de combinatie van de strategieën de verwachte uitkomst zijn
= evenwicht in dominante strategieën (wilt niet altijd zeggen dat het de beste uitkomst is)
Beide ontkennen = coöperatieve uitkomst (als ze samen werken kunnen ze de beste gezamenlijke uitkomst
bereiken, dit evenwicht is eerder onzeker)
Nastreven van individueel belang leidt niet noodzakelijk tot de beste gezamenlijke uitkomst
Voorbeeld Eva en Daan
Het kan even goed voorkomen dat in een spel 1 speler een dominante strategie heeft, of dat er geen dominante
strategieën zijn, in dat geval kan je een andere manier gebruiken om een evenwicht te vinden.
Nash evenwicht: een combinatie van strategieën waarbij geen enkele speler de intentie heeft zijn strategie te
wijzigen, gegeven de strategie van de andere speler.
Daan wilt graag naar de voetbal, Eva naar de cinema. Maar beide gaan ze liever samen uit. Getallen geven de
voldoening van de spelers weer. Het is een coördinatiespel, het is het beste als ze beide dezelfde keuze nemen. De
beste keuze van Daan hangt af van wat Eva kiest en omgekeerd. Hun beste keuze hangt dus af van de andere.
Vraag: heeft 1 van de spelers een dominante strategie? (er is geen dominante strategie)
Vraag: als Daan kiest om naar de cinema te gaan, welke strategie levert dan Eva het meest op? (cinema)
Kijken naar wat de beste strategie voor de speler is, gegeven de strategie van de andere speler.
Standpunt Daan: weet niet wat Eva gaat kiezen, maar kan wel bepalen wat voor hem het beste resultaat is.
- Eva kiest cinema, als hij voor voetbal kiest dan levert dan niets op. Als hij kiest voor de cinema geeft hem dat een
voldoening van 1.
- Eva kiest voetbal, als hij voor cinema kiest levert dat niets op. Als hij kiest voor voetbal geeft hem dat een
voldoening van 3.
2 uitkomsten die voor zowel Daan als Eva de beste optie zijn, gegeven de strategie van de andere = Nash
evenwicht
, Evenwicht in dominante strategieën is altijd een Nash evenwicht
Een Nash evenwicht is niet altijd een evenwicht in dominante strategieën
Nash evenwicht kan 0,1 of meer zijn
Productiemogelijkhedencurve
Voorbeeld: bakker kan 2 producten maken (brood en taart) hij zal al zijn beschikbare middelen (arbeiders en
machines) moeten verdelen over deze 2 goederen. Tabel toont maximale productiemogelijkheden.
Bundels uit tabel
weergeven op
assenstelsel en
veronderstellen
dat hij ook een
half brood of een
halve taart kan
maken. Curve toont de productiemogelijkhedencurve, toont
verschillende combinaties van 2 goederen die geproduceerd kunnen worden als alle middelen efficiënt worden
ingezet. De punten op de grafiek zijn optimaal, alles onder de grafiek gaat ook maar dan is er geen optimale
benutting van zijn middelen (bijvoorbeeld machine kapot of werknemer werkt niet goed). Alle bundels boven de
grafiek kan hij niet bereiken, aangezien zijn middelen beperkt zijn.
Productiemogelijkhedenverzameling = de punten op en onder de grafiek.
Beperking van beschikbare middelen = schaarste (zijn de punten boven de
grafiek)
Vraag: de bakker kan punt Z bereiken, gegeven zijn middelen? (niet waar)
Vraag: hoeveel broden zal de bakker moeten opgeven om vanuit punt B 1 extra taart te kunnen maken, met evenveel
middelen (4)
aantal broden dat hij minder kan maken voor 1 extra taart = opportuniteitskost (af te lezen van de curve) =
gemiste opbrengst van de best mogelijke alternatieve aanwending van de beschikbare productiemiddelen (kiezen is
verliezen)
opportuniteitskost stijgt naarmate de bakker meer taarten produceert
, Hoeveel borden zal de bakker moeten opgeven om vanuit punt D 1 extra taart te kunnen maken, met evenveel
middelen (32)
Normale vorm: concaaf
opportuniteitskost neemt toe indien het goed toeneemt
vorm geeft aan hoe de opportuniteitskosten veranderen indien we al iets van een goed hebben
Uitzonderlijk: lineair
opportuniteitskost constant naarmate het goed toeneemt
Opportuniteitskost
We bekijken een samenleving met twee landen, Portugal en Engeland. Beide produceren uitsluitend textiel en wijn.
Onderstaande tabel geeft weer hoeveel uren er nodig zijn om één eenheid wijn en één eenheid textiel te
produceren.
Het is duidelijk dat Portugal een absoluut voordeel heeft in de productie: het kan eenzelfde hoeveelheid wijn én
eenzelfde hoeveelheid textiel telkens produceren met minder uren dan Engeland.
Stel dat elk land 360 000 productie uren beschikbaar heeft. Dan kunnen we aan de hand van bovenstaande tabel de
productiemogelijkhedencurve van beide landen opstellen. Dit doen we door eerst de maximale productie van wijn
en textiel (de punten op de horizontale en verticale as) te berekenen en nadien deze lineair te verbinden.
