Inhoudsopgave Statistiek
DEEL 1
Week 1: Telproblemen en kansen en kansaxioma’s (pagina 2 & 3)
Week 2: Kansverdelingen en kansdichtheden (pagina 4 & 5)
Week 3: Simultane, marginale en voorwaardelijke verdelingen (pagina 6,7 & 8)
Week 4: Verwachtingswaarden, momenten en (pagina 9,10 & 11)
moment-generende functies
Week 5: Momenten bij simultane verdelingen en (pagina 12 & 13)
discreet uniforme, Bernoulli en bionomiale verdelingen
Week 6: Poisson, multinomiale, uniforme en gamma-verdeling (pagina 14 & 15)
Week 7: Exponentiële, chi-kwadraat, normale (pagina 16,17 & 18)
(benadering van de) binomiale verdeling
Week 8: Functies van stochastische variabelen, (pagina 19 & 20)
transformatietechnieken
DEEL 2
Week 9: Steekproefverdelingen (pagina 21,22 & 23)
Week 10: Puntschatters, zuiverheid, momentmethode en (pagina 24 & 25)
maximum likelihood
Week 11: Betrouwbaarheidsintervallen en hypothese toetsen (pagina 26,27 & 28)
Week 12: Toetsen van hypothese (pagina 29,30,31 & 32)
Week 13: Niet-parametrische toetsen (pagina 33,34 & 35)
,Week 1: Telproblemen en kansen en kansaxioma’s
Telproblemen
𝑛! 𝑛!
Permunaties: 𝑛𝑃𝑟 = (𝑛−𝑟)!
Combinaties: 𝑛𝐶𝑟 = (𝑛𝑟) = 𝑟!(𝑛−𝑟)!
Bewijs combinaties: (𝒏𝒓) = (𝒏−𝟏
𝒓
) + (𝒏−𝟏
𝒓−𝟏
)
𝑛! (𝑛−1)! (𝑛−1)!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
= 𝑟!(𝑛−1−𝑟)! + (𝑟−1)!(𝑛−1−(𝑟−1))!
(𝑛−1)! (𝑛−1)!
= 𝑟!(𝑛−1−𝑟)! + (𝑟−1)!(𝑛−𝑟)!
(𝑛−1)!(𝑛−𝑟) 𝑟(𝑛−1)! 𝑟 ⋅ (𝑟 − 1)! = 𝑟!
= 𝑟!(𝑛−𝑟)!
+ 𝑟!(𝑛−𝑟)! (𝑛 − 𝑟 − 1) ⋅ (𝑛 − 𝑟)
(𝑛−1)!(𝑛−𝑟)+𝑟(𝑛−1)!
=𝑛−𝑟
=
𝑟!(𝑛−𝑟)!
(𝑛−1)!⋅((𝑛−𝑟)+𝑟)
= 𝑟!(𝑛−𝑟)!
(𝑛−1)!⋅𝑛 𝑛!
= 𝑟!(𝑛−𝑟)!
= 𝑟!(𝑛−𝑟)!
Objecten verdelen
Aantal manieren om 𝑛 objecten te verdleen in 𝑘 verschillende deelversamenlingen met 𝑛𝑘 objecten:
𝑛 𝑛!
(𝑛 )=𝑛
1 ,𝑛2 ,…𝑛𝑘 1 !∙𝑛2 !∙…∙𝑛𝑘 !
Voorbeeld: Op hoeveel manieren kun je 14 studenten verdelen over 2 werkruimtes voor 5 studenten en
1 werkruimte voor 4 studenten?
14 14!
(5,5,4 ) = 5!∙5!∙4! = 252252 𝑚𝑎𝑛𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛.
Binomium van Newton en de driehoek van pascal
(𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑𝑛𝑟=0(𝑛𝑟)𝑥 𝑛−𝑟 𝑦 𝑟
Kans (axioma’s)
Axioma 1: 𝑃(𝐴) ≥ 0, 𝐴 ⊆ 𝑆
Axioma 2: 𝑃(𝑆) = 1
Axioma 3: Als 𝐴1 , 𝐴2 ,…,𝐴𝑛 een reeks elkaar uitsluitende gebeurtenissen binnen 𝑆 is,
dan 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 )
Voorbeeld: 𝑃(𝐴𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑜𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑏𝑏𝑒𝑙𝑠𝑡𝑒𝑒𝑛) = 𝑃({2} ∪ {4} ∪ {6}) =
1 1 1 1
= 𝑃({2}) + 𝑃({4}) + 𝑃({6}) = 6 + 6 + 6 = 2
Kans (basisstellingen)
1. Als 𝐴 een gebeurtenis is in een discrete steekproefruimte 𝑆, dan is 𝑃(𝐴) gelijk aan de som van de
kansen op de individuele uitkomsten die samen 𝐴 vormen.
2. Als een experiment kan resulteren in 𝑁 verschillende even waarschijnlijke uitkomsten en 𝑛 van deze
𝑛
uitkomsten vormen samen 𝐴, dan geldt 𝑃(𝐴) = 𝑁 .
3. Als 𝐴 en 𝐴’ complementerende gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆, dan geldt:
𝑃(𝐴’) = 1 − 𝑃(𝐴) .
4. 𝑃(∅) = 0 voor iedere steekproefruimte 𝑆 .
5. Als 𝐴 en 𝐵 gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 en 𝐴 ⊆ 𝐵 dan geldt: 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) .
6. Voor iedere gebeurtenis 𝐴 geldt 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 .
7. Als 𝐴 en 𝐵 gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆, dan geldt:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) .
8. Als 𝐴, 𝐵 en 𝐶 drie gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 dan geldt:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) .
,Onafhaneklijke gebeurtenissen
Definities:
• Twee gebeurtenissen 𝐴 en 𝐵 zijn onafhankelijk dan en slechts dan als geldt:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) .
• Gebeurtenissen 𝐴1 , 𝐴2 , … en 𝐴𝑘 zijn onafhankelijk dan en slechts dan als de kans op de doorsnede van
iedere 2, 3 of 𝑘 van deze gebeurtenissen gelijk is aan het product van hun betreffende kansen.
Voorbeeld: 𝐴, 𝐵 en 𝐶 zijn onafhankelijk als geldt:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶) én 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)
Stelling:
Als 𝐴 en 𝐵 onafhankelijke gebeurtenissen zijn, zijn 𝐴 en 𝐵’ dat ook.
Voorwaardelijke kans
Definitie:
Als 𝐴 en 𝐵 twee gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 en 𝑃(𝐴) ≠ 0 dan is de voorwaardelijke kans van
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝐵 gegeven 𝐴: 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴)
Stellingen:
• Als 𝐴 en 𝐵 twee gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 en 𝑃(𝐴) ≠ 0 dan geldt:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) .
• Als 𝐴, 𝐵 en 𝐶 drie gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 en 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 0 dan geldt: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) =
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) .
Stelling van Bayes
Als 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑘 een partitie is van steekproefruimte 𝑆 en 𝑃(𝐵𝑖 ) ≠ 0 voor 𝑖 = 1,2, … , 𝑘, dan geldt voor iedere
gebeurtenis 𝐴 in 𝑆 waarvoor geldt 𝑃(𝐴) ≠ 0.
𝑃(𝐵𝑟 ) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵𝑟 )
𝑃(𝐵𝑟 |𝐴) = 𝑘
∑𝑖=1 𝑃(𝐵𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 )
Voorbeeld: Een verhuurbedrijf verhuurt 60% van de auto’s aan bedrijf 𝐴, 30% aan bedrijf 𝐵 en
10% aan bedrijf 𝐶. Bij bedrijf 𝐴 tankt 9% niet, bij bedrijf 𝐵 20% en bij bedrijf 𝐶 3%.
Bereken de kans dat een niet afgetankte auto afkomstig is van bedrijf 𝐵?
𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(¬𝑇|𝐵) 0,3 ∙ 0,2
𝑃(𝐵|¬𝑇) = = ≈ 0,51
∑𝑘𝑖=1 𝑃(𝐵𝑒𝑑𝑟𝑖𝑗𝑓) ∙ 𝑃(¬𝑇|𝐵𝑒𝑑𝑟𝑖𝑗𝑓) 0,6 ∙ 0,09 + 0,3 ∙ 0,2 + 0,1 ∙ 0,03
Betrouwbaarheid van een product
Definitie:
• De betrouwbaarheid van een product is de kans dat het functioneert binnen gespecificeerde grenzen
voor een gespecificeerde tijd en onder gespecificeerde voorwaarden.
Stellingen:
• De betrouwbaarheid van een in serie geschakeld systeem van 𝑛 onafhankelijke
componenten wordt gegeven door:
𝑛
𝑅𝑖 = 𝑑𝑒 𝑏𝑒𝑡𝑟𝑜𝑢𝑤𝑏𝑎𝑎𝑟ℎ𝑒𝑖𝑑
𝑅𝑠 = ∏ 𝑅𝑖 𝑣𝑎𝑛 ℎ𝑒𝑡 𝑖 − 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡
𝑖=1
• De betrouwbaarheid van een parallel geschakeld systeem van 𝑛 onafhankelijke
componenten wordt gegeven door:
𝑛
𝑅𝑝 = 1 − ∏(1 − 𝑅𝑖 )
𝑖=1
Voorbeeld:
Serie-deel: 0,7 ⋅ 0,8 = 0,56
Parallel-deel: 1 − (1 − 0,56)(1 − 0,6) = 0,824
Serie-totaal: 0,824 ⋅ 0,9 = 0,7416
, Week 2: Kansverdelingen en kansdichtheden
Stochasitische variabelen (kans/toevalsvariabelen / Random variables)
Definitie:
Laat 𝑆 een steekproefruimte met een kansmaat zijn. De kans zit altijd tussen 0 en 1.
Een stochastische variabele 𝑋 is een reële functie die is gedefinieerd voor alle elementen van 𝑆.
Voorbeeld 1: (Werpen met een dobbelsteen, tel aantal ogen)
𝑋: 𝑆 → ℝ met 𝑋(𝑠) = 𝑠, 𝑠 = 1,2, … ,6
Voorbeeld 2: (Werpen met een dobbelsteen, even aantal ogen)
0 𝑠 = 1,3,5
𝑋: 𝑆 → ℝ met 𝑋(𝑠) = {
1 𝑠 = 2,4,6
Voorbeeld 3: Tel aantal keren 6 bij het gooien van 3 dobbelstenen. Benoem stochastische variabele 𝑋 als
‘aantal zessen’ dat je gooit. Bepaal alle 𝑷(𝑿 = 𝒙) . (X = ‘6 gooien’ en 𝑥 = ‘aantal keer’.)
5 5 5 125
𝑷(𝑿 = 𝟎) = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 ≈ 0,579
1 5 5 75
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ (31) = 216 ≈ 0,347
1 1 5 15
𝑷(𝑿 = 𝟐) = ∙ ∙ ∙ (32) = ≈ 0,069
6 6 6 216
1 1 1 1
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 ≈ 0,005
Kansverdeling
Definitie:
De kansverdeling van een discrete stochastische variabele 𝑋 is de functie gegeven door
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) voor elke 𝑥 in het bereik van 𝑋.
Stelling:
Een functie kan dienen als kansverdeling van een discrete stochastische variabele dan en alleen dan als
deze voldoet aan de volgende voorwaarden:
1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 voor iedere waarde in zijn domein
2. ∑𝑥 𝑓(𝑥) = 1
1 𝑥 5 3−𝑥
Voorbeeld: Bij voorbeeld 3 hoort de kansverdelingsfunctie 𝑓(𝑥) = (𝑥3) ∙ (6) ∙ (6) .
Voldoet deze aan de twee voorwaarden om een kansverdeling te zijn?
1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 voor iedere waarde in zijn domein? → Ja, zie waarden die horen bij 𝑥 = 0, 1, 2, 3.
125 75 15 1 216
2. ∑𝑥 𝑓(𝑥) = 1 ? → Ja, want: 216 + 216 + 216 + 216 = 216 = 1 .
(Cumulatieve) Verdelingsfunctie
Definitie:
De verdelingsfunctie van een discrete stochastische variabele 𝑋 is de functie gegeven door:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑡) , − ∞ < 𝑥 < ∞
𝑡≤𝑥
Stelling:
De waarden 𝐹(𝑥) van de verdelingsfunctie van een discrete stochastische variabele 𝑋 voldoen aan de
volgende voorwaarden:
1. 𝐹(−∞) = 0 en 𝐹(∞) = 1
2. Als 𝑎 < 𝑏 dan geldt 𝐹(𝑎) ≤ 𝐹(𝑏) voor alle reële waarden 𝑎 en 𝑏 .
(𝟒𝒙)
Voorbeeld: Wat is de verdelingsfunctie bij kansverdeling 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟔
voor 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 ?
1
0, 𝑥<0 𝐹(0) = 𝑓(0) =
16
1
, 0≤𝑥<1 5
16 𝐹(1) = 𝑓(0) + 𝑓(1) =
5 16
16
, 1≤𝑥<2
11
𝐹(𝑥) = 11 𝐹(2) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) =
16
16
, 2≤𝑥<3
15
15 𝐹(3) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) =
16
,3≤𝑥<4 16
{ 1, 𝑥≥4 𝐹(4) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) = 1
DEEL 1
Week 1: Telproblemen en kansen en kansaxioma’s (pagina 2 & 3)
Week 2: Kansverdelingen en kansdichtheden (pagina 4 & 5)
Week 3: Simultane, marginale en voorwaardelijke verdelingen (pagina 6,7 & 8)
Week 4: Verwachtingswaarden, momenten en (pagina 9,10 & 11)
moment-generende functies
Week 5: Momenten bij simultane verdelingen en (pagina 12 & 13)
discreet uniforme, Bernoulli en bionomiale verdelingen
Week 6: Poisson, multinomiale, uniforme en gamma-verdeling (pagina 14 & 15)
Week 7: Exponentiële, chi-kwadraat, normale (pagina 16,17 & 18)
(benadering van de) binomiale verdeling
Week 8: Functies van stochastische variabelen, (pagina 19 & 20)
transformatietechnieken
DEEL 2
Week 9: Steekproefverdelingen (pagina 21,22 & 23)
Week 10: Puntschatters, zuiverheid, momentmethode en (pagina 24 & 25)
maximum likelihood
Week 11: Betrouwbaarheidsintervallen en hypothese toetsen (pagina 26,27 & 28)
Week 12: Toetsen van hypothese (pagina 29,30,31 & 32)
Week 13: Niet-parametrische toetsen (pagina 33,34 & 35)
,Week 1: Telproblemen en kansen en kansaxioma’s
Telproblemen
𝑛! 𝑛!
Permunaties: 𝑛𝑃𝑟 = (𝑛−𝑟)!
Combinaties: 𝑛𝐶𝑟 = (𝑛𝑟) = 𝑟!(𝑛−𝑟)!
Bewijs combinaties: (𝒏𝒓) = (𝒏−𝟏
𝒓
) + (𝒏−𝟏
𝒓−𝟏
)
𝑛! (𝑛−1)! (𝑛−1)!
𝑟!(𝑛−𝑟)!
= 𝑟!(𝑛−1−𝑟)! + (𝑟−1)!(𝑛−1−(𝑟−1))!
(𝑛−1)! (𝑛−1)!
= 𝑟!(𝑛−1−𝑟)! + (𝑟−1)!(𝑛−𝑟)!
(𝑛−1)!(𝑛−𝑟) 𝑟(𝑛−1)! 𝑟 ⋅ (𝑟 − 1)! = 𝑟!
= 𝑟!(𝑛−𝑟)!
+ 𝑟!(𝑛−𝑟)! (𝑛 − 𝑟 − 1) ⋅ (𝑛 − 𝑟)
(𝑛−1)!(𝑛−𝑟)+𝑟(𝑛−1)!
=𝑛−𝑟
=
𝑟!(𝑛−𝑟)!
(𝑛−1)!⋅((𝑛−𝑟)+𝑟)
= 𝑟!(𝑛−𝑟)!
(𝑛−1)!⋅𝑛 𝑛!
= 𝑟!(𝑛−𝑟)!
= 𝑟!(𝑛−𝑟)!
Objecten verdelen
Aantal manieren om 𝑛 objecten te verdleen in 𝑘 verschillende deelversamenlingen met 𝑛𝑘 objecten:
𝑛 𝑛!
(𝑛 )=𝑛
1 ,𝑛2 ,…𝑛𝑘 1 !∙𝑛2 !∙…∙𝑛𝑘 !
Voorbeeld: Op hoeveel manieren kun je 14 studenten verdelen over 2 werkruimtes voor 5 studenten en
1 werkruimte voor 4 studenten?
14 14!
(5,5,4 ) = 5!∙5!∙4! = 252252 𝑚𝑎𝑛𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛.
Binomium van Newton en de driehoek van pascal
(𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑𝑛𝑟=0(𝑛𝑟)𝑥 𝑛−𝑟 𝑦 𝑟
Kans (axioma’s)
Axioma 1: 𝑃(𝐴) ≥ 0, 𝐴 ⊆ 𝑆
Axioma 2: 𝑃(𝑆) = 1
Axioma 3: Als 𝐴1 , 𝐴2 ,…,𝐴𝑛 een reeks elkaar uitsluitende gebeurtenissen binnen 𝑆 is,
dan 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 )
Voorbeeld: 𝑃(𝐴𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑜𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑏𝑏𝑒𝑙𝑠𝑡𝑒𝑒𝑛) = 𝑃({2} ∪ {4} ∪ {6}) =
1 1 1 1
= 𝑃({2}) + 𝑃({4}) + 𝑃({6}) = 6 + 6 + 6 = 2
Kans (basisstellingen)
1. Als 𝐴 een gebeurtenis is in een discrete steekproefruimte 𝑆, dan is 𝑃(𝐴) gelijk aan de som van de
kansen op de individuele uitkomsten die samen 𝐴 vormen.
2. Als een experiment kan resulteren in 𝑁 verschillende even waarschijnlijke uitkomsten en 𝑛 van deze
𝑛
uitkomsten vormen samen 𝐴, dan geldt 𝑃(𝐴) = 𝑁 .
3. Als 𝐴 en 𝐴’ complementerende gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆, dan geldt:
𝑃(𝐴’) = 1 − 𝑃(𝐴) .
4. 𝑃(∅) = 0 voor iedere steekproefruimte 𝑆 .
5. Als 𝐴 en 𝐵 gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 en 𝐴 ⊆ 𝐵 dan geldt: 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) .
6. Voor iedere gebeurtenis 𝐴 geldt 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 .
7. Als 𝐴 en 𝐵 gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆, dan geldt:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) .
8. Als 𝐴, 𝐵 en 𝐶 drie gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 dan geldt:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) .
,Onafhaneklijke gebeurtenissen
Definities:
• Twee gebeurtenissen 𝐴 en 𝐵 zijn onafhankelijk dan en slechts dan als geldt:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) .
• Gebeurtenissen 𝐴1 , 𝐴2 , … en 𝐴𝑘 zijn onafhankelijk dan en slechts dan als de kans op de doorsnede van
iedere 2, 3 of 𝑘 van deze gebeurtenissen gelijk is aan het product van hun betreffende kansen.
Voorbeeld: 𝐴, 𝐵 en 𝐶 zijn onafhankelijk als geldt:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶) én 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶)
Stelling:
Als 𝐴 en 𝐵 onafhankelijke gebeurtenissen zijn, zijn 𝐴 en 𝐵’ dat ook.
Voorwaardelijke kans
Definitie:
Als 𝐴 en 𝐵 twee gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 en 𝑃(𝐴) ≠ 0 dan is de voorwaardelijke kans van
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝐵 gegeven 𝐴: 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴)
Stellingen:
• Als 𝐴 en 𝐵 twee gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 en 𝑃(𝐴) ≠ 0 dan geldt:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) .
• Als 𝐴, 𝐵 en 𝐶 drie gebeurtenissen zijn in steekproefruimte 𝑆 en 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 0 dan geldt: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) =
𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) .
Stelling van Bayes
Als 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑘 een partitie is van steekproefruimte 𝑆 en 𝑃(𝐵𝑖 ) ≠ 0 voor 𝑖 = 1,2, … , 𝑘, dan geldt voor iedere
gebeurtenis 𝐴 in 𝑆 waarvoor geldt 𝑃(𝐴) ≠ 0.
𝑃(𝐵𝑟 ) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵𝑟 )
𝑃(𝐵𝑟 |𝐴) = 𝑘
∑𝑖=1 𝑃(𝐵𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 )
Voorbeeld: Een verhuurbedrijf verhuurt 60% van de auto’s aan bedrijf 𝐴, 30% aan bedrijf 𝐵 en
10% aan bedrijf 𝐶. Bij bedrijf 𝐴 tankt 9% niet, bij bedrijf 𝐵 20% en bij bedrijf 𝐶 3%.
Bereken de kans dat een niet afgetankte auto afkomstig is van bedrijf 𝐵?
𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(¬𝑇|𝐵) 0,3 ∙ 0,2
𝑃(𝐵|¬𝑇) = = ≈ 0,51
∑𝑘𝑖=1 𝑃(𝐵𝑒𝑑𝑟𝑖𝑗𝑓) ∙ 𝑃(¬𝑇|𝐵𝑒𝑑𝑟𝑖𝑗𝑓) 0,6 ∙ 0,09 + 0,3 ∙ 0,2 + 0,1 ∙ 0,03
Betrouwbaarheid van een product
Definitie:
• De betrouwbaarheid van een product is de kans dat het functioneert binnen gespecificeerde grenzen
voor een gespecificeerde tijd en onder gespecificeerde voorwaarden.
Stellingen:
• De betrouwbaarheid van een in serie geschakeld systeem van 𝑛 onafhankelijke
componenten wordt gegeven door:
𝑛
𝑅𝑖 = 𝑑𝑒 𝑏𝑒𝑡𝑟𝑜𝑢𝑤𝑏𝑎𝑎𝑟ℎ𝑒𝑖𝑑
𝑅𝑠 = ∏ 𝑅𝑖 𝑣𝑎𝑛 ℎ𝑒𝑡 𝑖 − 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡
𝑖=1
• De betrouwbaarheid van een parallel geschakeld systeem van 𝑛 onafhankelijke
componenten wordt gegeven door:
𝑛
𝑅𝑝 = 1 − ∏(1 − 𝑅𝑖 )
𝑖=1
Voorbeeld:
Serie-deel: 0,7 ⋅ 0,8 = 0,56
Parallel-deel: 1 − (1 − 0,56)(1 − 0,6) = 0,824
Serie-totaal: 0,824 ⋅ 0,9 = 0,7416
, Week 2: Kansverdelingen en kansdichtheden
Stochasitische variabelen (kans/toevalsvariabelen / Random variables)
Definitie:
Laat 𝑆 een steekproefruimte met een kansmaat zijn. De kans zit altijd tussen 0 en 1.
Een stochastische variabele 𝑋 is een reële functie die is gedefinieerd voor alle elementen van 𝑆.
Voorbeeld 1: (Werpen met een dobbelsteen, tel aantal ogen)
𝑋: 𝑆 → ℝ met 𝑋(𝑠) = 𝑠, 𝑠 = 1,2, … ,6
Voorbeeld 2: (Werpen met een dobbelsteen, even aantal ogen)
0 𝑠 = 1,3,5
𝑋: 𝑆 → ℝ met 𝑋(𝑠) = {
1 𝑠 = 2,4,6
Voorbeeld 3: Tel aantal keren 6 bij het gooien van 3 dobbelstenen. Benoem stochastische variabele 𝑋 als
‘aantal zessen’ dat je gooit. Bepaal alle 𝑷(𝑿 = 𝒙) . (X = ‘6 gooien’ en 𝑥 = ‘aantal keer’.)
5 5 5 125
𝑷(𝑿 = 𝟎) = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 ≈ 0,579
1 5 5 75
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ (31) = 216 ≈ 0,347
1 1 5 15
𝑷(𝑿 = 𝟐) = ∙ ∙ ∙ (32) = ≈ 0,069
6 6 6 216
1 1 1 1
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 ≈ 0,005
Kansverdeling
Definitie:
De kansverdeling van een discrete stochastische variabele 𝑋 is de functie gegeven door
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) voor elke 𝑥 in het bereik van 𝑋.
Stelling:
Een functie kan dienen als kansverdeling van een discrete stochastische variabele dan en alleen dan als
deze voldoet aan de volgende voorwaarden:
1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 voor iedere waarde in zijn domein
2. ∑𝑥 𝑓(𝑥) = 1
1 𝑥 5 3−𝑥
Voorbeeld: Bij voorbeeld 3 hoort de kansverdelingsfunctie 𝑓(𝑥) = (𝑥3) ∙ (6) ∙ (6) .
Voldoet deze aan de twee voorwaarden om een kansverdeling te zijn?
1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 voor iedere waarde in zijn domein? → Ja, zie waarden die horen bij 𝑥 = 0, 1, 2, 3.
125 75 15 1 216
2. ∑𝑥 𝑓(𝑥) = 1 ? → Ja, want: 216 + 216 + 216 + 216 = 216 = 1 .
(Cumulatieve) Verdelingsfunctie
Definitie:
De verdelingsfunctie van een discrete stochastische variabele 𝑋 is de functie gegeven door:
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑡) , − ∞ < 𝑥 < ∞
𝑡≤𝑥
Stelling:
De waarden 𝐹(𝑥) van de verdelingsfunctie van een discrete stochastische variabele 𝑋 voldoen aan de
volgende voorwaarden:
1. 𝐹(−∞) = 0 en 𝐹(∞) = 1
2. Als 𝑎 < 𝑏 dan geldt 𝐹(𝑎) ≤ 𝐹(𝑏) voor alle reële waarden 𝑎 en 𝑏 .
(𝟒𝒙)
Voorbeeld: Wat is de verdelingsfunctie bij kansverdeling 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟔
voor 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 ?
1
0, 𝑥<0 𝐹(0) = 𝑓(0) =
16
1
, 0≤𝑥<1 5
16 𝐹(1) = 𝑓(0) + 𝑓(1) =
5 16
16
, 1≤𝑥<2
11
𝐹(𝑥) = 11 𝐹(2) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) =
16
16
, 2≤𝑥<3
15
15 𝐹(3) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) =
16
,3≤𝑥<4 16
{ 1, 𝑥≥4 𝐹(4) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) = 1
