Statistiek samenvatting
(Algemeen: Griekse letters zijn voor gegevens van de populatie (σ), gewone letters voor steekproef (s).
Hoofdstuk 3: Verdelingsfuncties van een populatie
Kansfunctie = dichtheidsfunctie:
Bij discreet: f(xi) = P(x=xi) als xi ∈ de waarden van de functie.
Bij continu: Bovendien geldt P(x=c)=0
Cumulatief wordt het cumulatieve distributiefunctie of verdelingsfunctie genoemd.
De verwachte waarde van een functie E[g(x)] : Discreet:
Continu:
Gemiddelde E[x]:
Modus: x-waarde waarvoor f(x) zijn maximum bereikt.
Mediaan: F(mediaan) = 0.5
Variantie ²:
Standaardafwijking : vierkantswortel uit variantie. ² = V[x] = E[x²] - µ² Var(G) = E(G²) – [E(g)]²
Eigenschappen: E[ax+b] = a E[x] + b en V[ax+b]=a²V[x]
Fractielen: eerste deciel X0.10, eerste kwartiel X0.25, derde kwartiel X0.75, tweede kwartiel is de mediaan
Kwartieldeviatie K = 0,5 * (X0.75 – X0.25)
Moment van toevalsveranderlijke x van orde k t.o.v. punt c = E[ ( x – c )k ]
voor c=0: µ’k = E[xk] voor c=µ: µk = E[(x-µ)k] = centrale momenten
Momentenfunctie M(t) = E[etx]
= verwachte waarde voor etx
Scheefheid S = α3 = µ3/σ3 = S>1 is staart naar rechts. S=0 symmetrisch
Steilheid K = kurtosis = α4 = µ4/σ4 = K>3 = steiler, K<3 = platter. Excess E = K – 3
Ongelijkheid van Chebychev:
𝑃(|𝑋 – 𝜇| ≥ 𝑘𝜎) ≤ 1/k² en 𝑃(|𝑋 – 𝜇| < 𝑘𝜎) ≥ 1 - 1/k²
!examen: “bepaal de kans dat x-µ groter is dan…” als f(x) gegeven is, niet
met Chebychev doen. Alleen schattingen mogen met Chebychev gemaakt
worden.
1
,Hoofdstuk 4: Discrete verdelingen
µ’s en σ’s gegeven op formularium, f(i)’s niet.
Uniforme discrete verdeling:
alle uitkomsten even waarschijnlijk. F(i) = P(x=xi) =
Eigenschappen:
Bernouilli verdeling:
2 mogelijke uitkomsten: p = kans op succes. 1-p is kans op geen succes
f(i) = P(x=i) = pi(1-p)1-i E[x] = µ = p V[x] = σ² = p(1-p)
Binomiale verdeling:
Een experiment (2 mogelijke uitkomsten; Bernouilli-experiment) wordt aantal keren (onafhankelijk)
herhaald. Volgorde is dus willekeurig.
f(i) = P(x=i) = 𝐶 𝑝 (1 − 𝑝) met i= 0,1,…n E[x] = µ = np V[x] = σ² = np(1-p)
( )
Recursierelatie: f(i+1) = 𝑓(𝑖) ( )( )
(kan je ook afleiden)
Momentenfunctie: M(t) = E[eti ] = (1-p+pet)n
Geometrische verdeling:
Een experiment (Bernouilli: 2 mogelijke uitkomsten), wordt (onafhankelijk) herhaald tot verschijnsel A voor
het eerst optreedt.
f(i) = P(x=i) = (1-p)i-1 p E[x] = µ = V[x] = σ² =
Hypergeometrische verdeling:
N elementen waarvan M de eigenschap A bezitten, er worden n elementen getrokken. De kans dat i van die
n elementen eigenschap A bezitten is:
f(i) = (hfst 1) E[x] = µ = V[x] = σ² = 𝑛 (1 − )
Bij een kleine n t.o.v. N zal de kans op succes benaderd worden door p = M/N
Poisson verdeling:
“Een aantal per tijdsinterval/volume/gewicht/…” Het aantal successen in elk interval is onafhankelijk van
aantal successen in elk ander interval én de kans op succes is rechtevenredig aan de grootte van het
interval.
f(i) = P(x=i) = 𝑒 E[x] = µ = λ V[x] = σ² = λ
!
Eigenschap: voor n -> ∞ en p -> 0 nadert de binomiale verdeling naar de Poissonverdeling met λ = np .
Recursieformule: f(i+1) = f(i)
2
, Hoofdstuk 5: Continue verdelingen
Uniform continue verdeling
Dichtheidsfuntie is constant binnen een interval [a,b]. ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 1 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑘 =
𝑓(𝑥) = ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] E[x] = µ = (𝑎 + 𝑏) σ² = E[x²]-µ² = (𝑏 − 𝑎)²
Exponentiële verdeling
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑒𝑛 𝜗 > 0 E[x] = µ = 𝜗 σ² =µ2’-µ² = 𝜗² -> levensduur
Normale verdeling = Gaussdistributie
N(µ, σ)
( µ)²
𝑓(𝑥) = 𝑒 ² 𝑥𝜖ℝ µ=µ u2’ = µ² + σ² σ² =µ2’-µ² = 𝜎²
√
Dichtheidsfunctie f(x) heeft maximum in x=µ en buigpunten in x = µ - σ en x = µ + σ.
Als y=ax+b normaal verdeeld is met µ en σ, dan is y ook normaal verdeeld met µy=aµ+b en σy = |a| σ.
Bij een steekproef van n willekeurige elementen uit N(µ0, σ0) verdeling, dan is 𝑥̅ verdeeld als N(µ0, ).
√
µ
Genormeerde normale verdeling: als x N(µ, σ) verdeeld is, is z = genormeerd normaal verdeeld: N(0,1)
Als x binomiaal verdeeld is met n en p, nadert die naar N(np, 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)) als np≥5 en n(1-p)≥5.
Als x poisson verdeeld is met λ, nadert die naar N(𝛌, √𝛌) als λ groot genoeg is (≥ 15)
Centrale limietstelling: n onafhankelijke toevalsvariabelen met zelfde verdeling somvariabele Sn is
asymptotisch normaal verdeeld met gemiddelde nµ en variantie nσ². (n≥ 30)
! Overgang van discrete variabele naar continue variabele: continuïteitscorrectie. Bv. P(i≥ 10) = P(x≥ 9,5)
De χ² verdeling
x is som van kwadraten van n genormeerde normaal verdeelde variabelen zi met k verbindingsvgl (v = n - k).
χ²(v d.f.) x steeds positief µ=v σ² = 2v
Voor v ≥30 is z = benaderd N(0,1) verdeeld.
√
Eigenschap: als x χ²(v1 d.f.) en y χ²(v2 d.f.) met x en y onderling onafhankelijk, dan is x+y χ²(v1+v2 d.f.).
Als n>30, nadert de χ²-verdeling met n d.f. naar N(n,√2𝑛)
²( ) ̅
=∑ ² χ²(n-1 d.f.) verdeeld
De t verdeling (= student verdeling)
Verhouding van normaal verdeelde variabele z tot de vkw van χ² verdeelde veranderlijke y, gedeeld door v.
t(v d.f.) x= µ=0 σ² =
µ
t(n-1 d.f.) verdeeld, (x normaal verdeeld). Voor v ≥ 30 is het nagenoeg N(0,1) verdeeld.
√
De F verdeling (=Fisher distributie)
x is quotiënt van 2 onafhankelijke χ² verdeelde variabelen u en v, beiden gedeeld door hun vrijheidsgraden
²( )
F(v1,v2 d.f.) x= steeds positief µ= voor 𝑣 >2 σ² = ( )( )²
voor 𝑣 >4
Eigenschappen: x: F(v1,v2 d.f.) : F(v2,v1 d.f.) en F1-α (v2,v1 d.f.) = ( , . .)
/
Eigenschap: als z: N(0,1) en y: χ²(v d.f.), dan is x = t(v d.f.), en is x²= /
F(1,v d.f.) verdeeld.
3
(Algemeen: Griekse letters zijn voor gegevens van de populatie (σ), gewone letters voor steekproef (s).
Hoofdstuk 3: Verdelingsfuncties van een populatie
Kansfunctie = dichtheidsfunctie:
Bij discreet: f(xi) = P(x=xi) als xi ∈ de waarden van de functie.
Bij continu: Bovendien geldt P(x=c)=0
Cumulatief wordt het cumulatieve distributiefunctie of verdelingsfunctie genoemd.
De verwachte waarde van een functie E[g(x)] : Discreet:
Continu:
Gemiddelde E[x]:
Modus: x-waarde waarvoor f(x) zijn maximum bereikt.
Mediaan: F(mediaan) = 0.5
Variantie ²:
Standaardafwijking : vierkantswortel uit variantie. ² = V[x] = E[x²] - µ² Var(G) = E(G²) – [E(g)]²
Eigenschappen: E[ax+b] = a E[x] + b en V[ax+b]=a²V[x]
Fractielen: eerste deciel X0.10, eerste kwartiel X0.25, derde kwartiel X0.75, tweede kwartiel is de mediaan
Kwartieldeviatie K = 0,5 * (X0.75 – X0.25)
Moment van toevalsveranderlijke x van orde k t.o.v. punt c = E[ ( x – c )k ]
voor c=0: µ’k = E[xk] voor c=µ: µk = E[(x-µ)k] = centrale momenten
Momentenfunctie M(t) = E[etx]
= verwachte waarde voor etx
Scheefheid S = α3 = µ3/σ3 = S>1 is staart naar rechts. S=0 symmetrisch
Steilheid K = kurtosis = α4 = µ4/σ4 = K>3 = steiler, K<3 = platter. Excess E = K – 3
Ongelijkheid van Chebychev:
𝑃(|𝑋 – 𝜇| ≥ 𝑘𝜎) ≤ 1/k² en 𝑃(|𝑋 – 𝜇| < 𝑘𝜎) ≥ 1 - 1/k²
!examen: “bepaal de kans dat x-µ groter is dan…” als f(x) gegeven is, niet
met Chebychev doen. Alleen schattingen mogen met Chebychev gemaakt
worden.
1
,Hoofdstuk 4: Discrete verdelingen
µ’s en σ’s gegeven op formularium, f(i)’s niet.
Uniforme discrete verdeling:
alle uitkomsten even waarschijnlijk. F(i) = P(x=xi) =
Eigenschappen:
Bernouilli verdeling:
2 mogelijke uitkomsten: p = kans op succes. 1-p is kans op geen succes
f(i) = P(x=i) = pi(1-p)1-i E[x] = µ = p V[x] = σ² = p(1-p)
Binomiale verdeling:
Een experiment (2 mogelijke uitkomsten; Bernouilli-experiment) wordt aantal keren (onafhankelijk)
herhaald. Volgorde is dus willekeurig.
f(i) = P(x=i) = 𝐶 𝑝 (1 − 𝑝) met i= 0,1,…n E[x] = µ = np V[x] = σ² = np(1-p)
( )
Recursierelatie: f(i+1) = 𝑓(𝑖) ( )( )
(kan je ook afleiden)
Momentenfunctie: M(t) = E[eti ] = (1-p+pet)n
Geometrische verdeling:
Een experiment (Bernouilli: 2 mogelijke uitkomsten), wordt (onafhankelijk) herhaald tot verschijnsel A voor
het eerst optreedt.
f(i) = P(x=i) = (1-p)i-1 p E[x] = µ = V[x] = σ² =
Hypergeometrische verdeling:
N elementen waarvan M de eigenschap A bezitten, er worden n elementen getrokken. De kans dat i van die
n elementen eigenschap A bezitten is:
f(i) = (hfst 1) E[x] = µ = V[x] = σ² = 𝑛 (1 − )
Bij een kleine n t.o.v. N zal de kans op succes benaderd worden door p = M/N
Poisson verdeling:
“Een aantal per tijdsinterval/volume/gewicht/…” Het aantal successen in elk interval is onafhankelijk van
aantal successen in elk ander interval én de kans op succes is rechtevenredig aan de grootte van het
interval.
f(i) = P(x=i) = 𝑒 E[x] = µ = λ V[x] = σ² = λ
!
Eigenschap: voor n -> ∞ en p -> 0 nadert de binomiale verdeling naar de Poissonverdeling met λ = np .
Recursieformule: f(i+1) = f(i)
2
, Hoofdstuk 5: Continue verdelingen
Uniform continue verdeling
Dichtheidsfuntie is constant binnen een interval [a,b]. ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 1 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑘 =
𝑓(𝑥) = ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] E[x] = µ = (𝑎 + 𝑏) σ² = E[x²]-µ² = (𝑏 − 𝑎)²
Exponentiële verdeling
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑒𝑛 𝜗 > 0 E[x] = µ = 𝜗 σ² =µ2’-µ² = 𝜗² -> levensduur
Normale verdeling = Gaussdistributie
N(µ, σ)
( µ)²
𝑓(𝑥) = 𝑒 ² 𝑥𝜖ℝ µ=µ u2’ = µ² + σ² σ² =µ2’-µ² = 𝜎²
√
Dichtheidsfunctie f(x) heeft maximum in x=µ en buigpunten in x = µ - σ en x = µ + σ.
Als y=ax+b normaal verdeeld is met µ en σ, dan is y ook normaal verdeeld met µy=aµ+b en σy = |a| σ.
Bij een steekproef van n willekeurige elementen uit N(µ0, σ0) verdeling, dan is 𝑥̅ verdeeld als N(µ0, ).
√
µ
Genormeerde normale verdeling: als x N(µ, σ) verdeeld is, is z = genormeerd normaal verdeeld: N(0,1)
Als x binomiaal verdeeld is met n en p, nadert die naar N(np, 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)) als np≥5 en n(1-p)≥5.
Als x poisson verdeeld is met λ, nadert die naar N(𝛌, √𝛌) als λ groot genoeg is (≥ 15)
Centrale limietstelling: n onafhankelijke toevalsvariabelen met zelfde verdeling somvariabele Sn is
asymptotisch normaal verdeeld met gemiddelde nµ en variantie nσ². (n≥ 30)
! Overgang van discrete variabele naar continue variabele: continuïteitscorrectie. Bv. P(i≥ 10) = P(x≥ 9,5)
De χ² verdeling
x is som van kwadraten van n genormeerde normaal verdeelde variabelen zi met k verbindingsvgl (v = n - k).
χ²(v d.f.) x steeds positief µ=v σ² = 2v
Voor v ≥30 is z = benaderd N(0,1) verdeeld.
√
Eigenschap: als x χ²(v1 d.f.) en y χ²(v2 d.f.) met x en y onderling onafhankelijk, dan is x+y χ²(v1+v2 d.f.).
Als n>30, nadert de χ²-verdeling met n d.f. naar N(n,√2𝑛)
²( ) ̅
=∑ ² χ²(n-1 d.f.) verdeeld
De t verdeling (= student verdeling)
Verhouding van normaal verdeelde variabele z tot de vkw van χ² verdeelde veranderlijke y, gedeeld door v.
t(v d.f.) x= µ=0 σ² =
µ
t(n-1 d.f.) verdeeld, (x normaal verdeeld). Voor v ≥ 30 is het nagenoeg N(0,1) verdeeld.
√
De F verdeling (=Fisher distributie)
x is quotiënt van 2 onafhankelijke χ² verdeelde variabelen u en v, beiden gedeeld door hun vrijheidsgraden
²( )
F(v1,v2 d.f.) x= steeds positief µ= voor 𝑣 >2 σ² = ( )( )²
voor 𝑣 >4
Eigenschappen: x: F(v1,v2 d.f.) : F(v2,v1 d.f.) en F1-α (v2,v1 d.f.) = ( , . .)
/
Eigenschap: als z: N(0,1) en y: χ²(v d.f.), dan is x = t(v d.f.), en is x²= /
F(1,v d.f.) verdeeld.
3
