Zusammenfassung Grundlagen der Differenzialrechnung

II Grundlagen der Differenzialrechnung


Definition Grafische Interpretation Bedeutung
Differenzenquotient Ye mittlere Änderungsrate
f(a+h) - f(a) im Intervall
h fath)..... - -
- - - -
- sekante I = [a ; a+h]


ras--------i "
(h ≠ 0) f(x)
→ Steigung der
Sekanten >
X
a ain




Ableitung: Ye
momentane
f'(a) = lim f(a+h) - f(a) Tangente
Änderungsrate von f an
h→0 der Stelle a
h
f(a) --------



i
f(x)
→ Steigung der
Tangenten
T



Definition:
Die Funktion f sei auf dem Intervall I definiert. Wenn der Differenzenquotient an der Stelle a für h → 0 gegen einen
Grenzwert strebt, so ist f an der Stelle a differenzierbar.
Der Grenzwert heißt dann Ableitung f'(a). Man sagt, der Graph von f hat an der Stelle a die Steigung f'(a). Ist f an
jeder Stelle a e I differenzierbar, so ist f differenzierbar.


Wichtige Ableitungsregeln
Notation der Definitionsmengen
Regel f(x) f'(x) und Intervalle:
-




Potenzregel f(x) = x r f'(x) = rx r - 1 12
+
nur die
positiven



to
-




reeve
-
Faktorregel f(x) = c * g(x) f'(x) = c * g'(x) incusive




Summenregel f(x) = g(x) + h(x) f'(x) = g'(x) + h'(x) IR
+
1503
-




Trigonometrie „positive reelle Zahlen ohne Null"
f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x)
f(x) = cos (x) f'(x) = -sin(x) 10
00
; +

Y
-




0 ist nicht
1
f(x) = i f'(x) = 21 x - 21 Null ist mehr im Intervall


-
Wurzel x =x 2
im Intervall



1 1
Bruch f(x) = x = x-1 f'(x) = -x -2 = - x2


Tangente und Winkel:
Die Tangente an einem Graphen im Punkt P(a/f(a)) lässt sich mittels y = f'(a) * x + c (c durch Punktprobe) bestimmen.
Der Winkel eines Graphen im Punkt P lässt sich mit tan( &.) = f'(a) bestimmen. Ist die Tangentensteigung in P negativ,
so hat der Steigungswinkel ein negatives Vorzeichen.
Steigungswinkel:
tan( &.) = f'(a)

Beruhrpunkte:
,




Zwei Graphen G f und G g zweier Funktionen f und g berühren sich im Punkt P(a/f(a)), wenn gilt:
1 f(a) = g(a)
2 f'(a) = g'(a)

, Definition:
Gegeben seien die Funktionen u und v. Die Funktionen u ° v mit (u ° v)(x) = u(v(x)) heißt Verkettung von u und v.
Dabei ist u die äußere und v die innere Funktion. Im Funktionsterm von u wird jedes x durch v(x) ersetzt.
Beispiel:
U(x) =
VE v(x) =
2x -1


f (x) =
nov =
u(V(x) =
u(2x 1) -




=
Vax-1 >
-


Dy =
10 , 5 : 00l

g(x) =
von =
v(u(x) =
v(v)
= 22k -
1 +
Di
=
IRj

→ Die Verkettung ist nicht kommutativ (Komm wir tauschen!) → u ° v ≠ v ° u




Sind u und v zwei differenzierbare Funktionen, so ist auch die Verkettung f = u ° v auf Df differenzierbar.
Für ihre Ableitung gilt:
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)
→ „äußere mal innere Ableitung"

Beispiele:
4x)"
a) f(x) (3
1x 2) 10S(4x)
=
+ (x)
=




b) f(x) =
=
(3x + @ =
8 .




+ 22
u(X) = x3 f'(x) =
&gin (4x) .
4
-
3
v(x) =
3 -
4X f'(x) = -
2(3x + 2) .

3 =
=
32 gin 144
-
3
= -

6(3x + 2)
5
u'(x) =
6x


v'(X) = -


4


'
↑ (x) =
6(3 -
4x)5 .


( 4)-




=
-

24(3 -

4X)5




Problem:
f(x) = x2 =x*x
f'(x) = 2x ≠1*1
Lösung:
Produktregistrierung zum Ableiten von Produkten
Produktregel:

=Für f(x) = u(x) * v(x) gilt:
f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)

Beispiele:
a) + (x) =) ·



&" b) f(x) = (x3 + 1) -

cog(x) 6) f(x) =
3
X .

COS(4X)
v
f'(x) =
3x2 ·
COS(x) -

(sin(x)) .
(x3 + 1) ↑ (x) = 3x2 ·
(Og(4x) + X .
(-gin (4x)) .

4

↑ (x)
'
=
cog(x) .
X2 + gin()
.

2x
=
3x2cog(x) -
(x" 1) gin(x)
+ ·
=
3x2cOS(4X) -
443 gin
.
(4x
=
xcos(x) + 2Xgin (x)