Zusammenfassung Funktionen und ihre Graphen

V Funktionen und ihre Graphen


strecken und verschieben: spiegeln:
Der Graph der Funktion g(x) = a * f(x - c) + d (a, c, d e. R, a ≠ 0) Der Graph von g entsteht aus f durch:
entsteht aus dem Graphen der Funktion f durch: • eine Spiegelung an der x-Achse, wenn g(x) = - f(x)
• Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a| • eine Spiegelung an der y-Achse, wen g(x) = f(-x)
• Verschiebung in y-Richtung um d • eine Spiegelung am Ursprung, wenn g(x) = - f(-x)
• Verschiebung in x-Richtung um c

Symmetrie Verhalten gegen +- oo
Der Graph einer Funktion f ist genau dann … Für ganzrationale Funktionen f vom Grad n gilt:
• achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn f(-x) = f(x) für alle x e D f • bei geradem n und positivem an :
• punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn f(-x) = -f(x) für alle x e Df für x → + oo gilt f(x) → + oo
für x → - oo gilt f(x) → + oo
Beispielaufgaben: • bei ungeradem n und positiven an :
S. 140/5 für x → + oo gilt f(x) → + oo
Untersuchen Sie den Graphen von f auf Symmetrie zur x-Achse für x → - oo gilt f(x) → + oo
bzw. zum Ursprung.
a) f(x) = ~x2 + 4 b) f(x) = x * e-x2 c) f(x) = x * sin(x)

x2 c) f(x) =
X. sin(x)
a) +(x) vx + 4
-


=
b) f(x) =
x -
e
↑ ( X)- = -
X. Sin ( -x) = -
X .

1-sin(x))
- xa xx
V( y)a + 4) vx + 4
-




↑ ( x)
-


- = -
= =
f(x) fl x)- = -
x .

e = -
x -e = -



f(x) =
X
-


sin(x) =
f(x)
↳ Der
Graph ist achsensymmetrisch ↳ Der
Graph ist punktsymmetrisch ↳ Der
zur y-Achse .
Graph ist achsensymmetrisch
zum Ursprung zur y-Achse .


S. 141/11
1 3 b b+4
a) Berechnen Sie I x 3 dx . Bestimmen Sie damit I ((x - 2)3 + 1 )dx . b) Es ist I f(x)dx = 1 . Bestimmen Sie damit I f(x - 4)dx..
0 2 a a+4


al(x ) bjxax x
*
ax =
1x =

E -


4)ax =
1

j1x-a(3 +
1ax a+ 4




itaxi
Skizze :
1Y
gax =
1x- 293 +
12 ↳ muss gerten ,
da sowohl die Integrationsgrenzen ,


als auch der Graph um 4 in X-Richtung
f(x) x3
=



-
1 verschoben wurden . Deshalb ändert sich das


b"x
=
k + 1 =

E Integral nicht.
I




S. 141/13
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ~6 - x . Ihr Graph ist G f j 6]
a) Di 00 :
= -




a) Geben Sie die Definitionsmenge von f an und zeichnen Sie G f Y Winkelhalbierende
4 1.

b) Beschreiben Sie, wie G f aus dem Graphen der Funktion g mit g(x) = ~ x hervorgeht. V6 x
f(x) =




c) Begründen Sie, dass f umkehrbar ist. Geben Sie einen Term der Umkehrfunktion f- an.
-




2
-




d) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen von f und f.- a 16


b) f (x) =
V6 x - =
VE 6 +
=
VTx b) -




↳ g(x) wurde an der y-Achse gespiegelt und um 6 nach rechts verschoben d) ↑ IX) und F(X) schneiden sich auf der
ersten Winkelhalbierenden :




6) f'(x)
=
116-X) *. (1) =

avo-10 - Damit ist f(x) streng monoton fallend
* ↑ (x) = X
und somit umkehrbar

Wi 50 [ 12
=
: + 00
* zu jedem -Wert gibt es nur einen y-Wert V6 x - =
x

y
=
V6 - x' 12
>
-

es darf keine Monotoniewechsel geben
6 -
X = x2

ya =
6 -
X
Xa + x -

6 =
0

MNF 3 Xa 2
ya
: =
x X, = -

=
6 -




-
~
y
=
6 -
X2 nicht definiert

↑ (x) =
6 X mit Di =
50 : + 00 [ Vi
+ (2)
-

= =
2 =
S(2(a)

, Satz 1: Satz 2:

-Eine ganzrationale Funktion vom Grad
n hat höchstens n Nullstellen.
Ist n ungerade, dann hat f aufgrund des
Verhaltens für x → +- oo mindestens eine Nullstelle.

Satz 3:



-
Gegeben sei eine ganzrationale Funktion f der Form: f(x) = (x - a) k* g(x), wobei g(a) ≠ 0 und k e .N \ {0}
k-fache Nullstelle
• für k = 1 schneidet f an der Stelle a die x-Achse
• für gerades k hat der Graph von f an der Stelle x = a eine Extremstelle auf der x-Achse
• für ungerades k (k ≠ 1) hat der Graph von f an der Stelle x = a einen Sattelpunkt auf der x-Achse

Beispielaufgaben:
S. 145/5
Der Ausschnitt des Graphen G f einer ganzrationalen Funktion f zeigt
-




sämtliche Schnittpunkte mit der x-Achse. Bestimmen Sie einen geeigneten
Funktionsterm möglichst niedrigen Grades.
f(x) a (x +
2) X (X 1)2
-
-
= . .




↳ a bestimmen mit Punktprobe mit Pl-11-1)

f( 1)
-
=
a .
)
-

1 +
2) -


(
-

1) .


(
-


1
-


1)2 = -

1

= a -

1 -


1) .
4 = -
49 =
=
1

a
i
=




↳ f(x) =

f .

(x +
2) -
X .

(x -


1)a



S. 145/9
Geben Sie geeignete Werte für a, b und c so an, dass der Graph G f der Funktion f mit
a) f(x) = (x - b)a * (x - b + 1)c bei x 1 = 3 einen Tief- und bei x2 = 2 einen Sattelpunkt hat,
b) f(x) = a * (x - 2c)b - 3 bei H(-2/-3) den einzigen Hochpunkt hat.

a) f(x) =
(x
-


b)a .


(x
-

b + 1)a b) f(x)
=
a -

(X -



2c)b -


3

↳
für D =
3 entstehen bei X, =
3 und X2 =
2 Nullstellen mit H(-2) 3) -




↳ für a =
2 Ihauptsache gerade) entsteht bei X =
3 eine Extremstelle
↳
,
entstanden aus giX :


↳ für c =
3 Chauptsache ungerade) entsteht bei Xz
=
2 eine sattelstelle g(x) =
a .


(X
-

2c) mit H(-210)

Probe :
Tiefpunkt ? ↳ damit a >0 ,
D =
2 & C= -

1

(X-3/2 /X-2)3 bei untersuchen sodass gilt H1-21-3)
:
↑ (x) = ·



auf Vzw v , =
3 >
-

mit Testwert No =
4


+ (4) = 12 .
23 =
810

↳ Da der Graph bei Xo =
4 Oberhalb der x-Achse liegt ,
muss bei X, =
3 ein

Tiefpunkt auf der X-Achse liegen .




S. 145/11
Es ist g eine ganzrationale Funktion. Für die Stelle x = a mit a e R gilt g(a) > 0. Betrachtet wird die Funktion f mit
f(x) = g(x) * (x - a)2 . Zeigen Sie mithilfe der Ableitung, dass es sich bei x = a um eine Minimumstelle handelt.

f(x) =
g(x) .

(X -



a)2
↑ '(x) =
g'(x) .
(x -

a)2 + g(x) -2(x a) -




"
↑ (x) =
g"(X) .
(x-a(a + g'(x) -
2(x -



a) + g(a) - 2(x -


a) + g(x) -

2


= 0
↑ (a)

9 (a) (a -a) + g(a) -


2(a
-



a) =
0 v



↑
"
(a)0
g"(a) 0 + g'(a) 0 +
g'(a) 0 + g(a) 2 =
2g(a) > 0 sa Minimumstelle
-
=