Hoofdstuk 3 Verandering en Groei
Afgeleide en verandering
De formule van de raaklijn is: g ( x )=f ( a ) +f ' (a)( x−a)
Hierbij geldt f ( a )=g ( a ) en ook f ' ( a )=g '( a)
g ( x ) wordt ook wel de eerste orde benadering genoemd (lineaire benadering) van f (x) waarbij x
rond de a ligt.
Benaderingen worden gebruikt om schattingen van veranderingen in functies te maken als gevolg
van een kleine verandering in de variabele x.
Deze verandering moet klein zijn, want alleen rond punt a is er een grotere zekerheid dus als x veel
afwijkt van a, is er een grotere onzekerheid in x en dus ook in de functie.
f ( x ) ≅ g ( x )=f ( a )+ f ' (a)(x−a)
f ( x )−f ( a ) ≅ f ' (x)( x−a)
∆ f =f ( x )−f (a) als x → a dan ∆ f →0 oftewel de onzekerheid in de functie wordt minder en
dus een betere benadering.
∆ x=( x−a) als x → a dan ∆ x →0
∆ f ≅ f ' ( x ) ∆ x als ∆ x →0 dan ook ∆ f →0
Dus naarmate x kleiner wordt geeft dit een betere benadering van de functie.
Om de invloed van ∆ x op ∆ f te bepalen gebruiken we de relatieve fout:
∆f f '(x)∆ x
= Voorbeeld
f (x) f (x )
Je meet de afmetingen van een
kubus (alle zijdes even lang dus).
Wat is de relatieve fout in de
inhoud?
I ( x )=x 3
I ' ( x )=3 x 2
Invullen geeft:
∆ f 3 x2 ∙ ∆ x ∆x
= 3
=3
f (x) x x
De relatieve fout in de inhoud is
driemaal de relatieve fout in de
afmeting.
, Een eerste orde benadering is in sommige gevallen niet genoeg. Om een groter bereik van de functie
te bereiken, gebruiken we tweede orde benaderingen en hoger.
Deze tweede orde benadering voldoet aan:
f ( a )=g ( a )
f ' ( a )=g' ( a )
f ' ' ( a ) =g ' ' ( a )
' 1
Hieruit volgt: f ( x ) ≅ f ( a ) +f ( a ) ( x−a )+ f ' ' (a)( x−a)2
2
Taylorreeksen
Dit zijn reeksen die rond punt a steeds beter lijken op de oorspronkelijke functie.
1 1 1 1
f ( x )=f ( a ) + f ( a ) ( x −a ) + f '' ( a ) ( x−a)2+ f ' ' ' ( a ) (x−a)3+...+ f ( n) (a)( x−a)n
1! 2! 3! n!
n (k )
1
f ( x )= ∑ f (a) (x−a)k
k=0 k!
Met deze reeksen zijn tevens limieten te berekenen van functies.
Ook de regel van L’Hôpital berekent limieten in punt a, mits deze aan één van de volgende
voorwaarde voldoet f ( a )=g ( a )=0 of f ( a )=± ∞ en g ( a )=± ∞ .
Bij deze voorwaardes geldt dan:
f (x) f '( a)
lim =lim
x→ a g(x ) x→ a g ' (a)
Modellen voor continue groei
Groeisnelheid en relatieve groeisnelheid
De groeisnelheid van een grootheid y is y’(t). De relatieve groeisnelheid is y’(t) gedeeld door de
y ' (t)
grootheid y:
y (t)
Exponentiële functies
y ( t ) =c er t
Afgeleide en verandering
De formule van de raaklijn is: g ( x )=f ( a ) +f ' (a)( x−a)
Hierbij geldt f ( a )=g ( a ) en ook f ' ( a )=g '( a)
g ( x ) wordt ook wel de eerste orde benadering genoemd (lineaire benadering) van f (x) waarbij x
rond de a ligt.
Benaderingen worden gebruikt om schattingen van veranderingen in functies te maken als gevolg
van een kleine verandering in de variabele x.
Deze verandering moet klein zijn, want alleen rond punt a is er een grotere zekerheid dus als x veel
afwijkt van a, is er een grotere onzekerheid in x en dus ook in de functie.
f ( x ) ≅ g ( x )=f ( a )+ f ' (a)(x−a)
f ( x )−f ( a ) ≅ f ' (x)( x−a)
∆ f =f ( x )−f (a) als x → a dan ∆ f →0 oftewel de onzekerheid in de functie wordt minder en
dus een betere benadering.
∆ x=( x−a) als x → a dan ∆ x →0
∆ f ≅ f ' ( x ) ∆ x als ∆ x →0 dan ook ∆ f →0
Dus naarmate x kleiner wordt geeft dit een betere benadering van de functie.
Om de invloed van ∆ x op ∆ f te bepalen gebruiken we de relatieve fout:
∆f f '(x)∆ x
= Voorbeeld
f (x) f (x )
Je meet de afmetingen van een
kubus (alle zijdes even lang dus).
Wat is de relatieve fout in de
inhoud?
I ( x )=x 3
I ' ( x )=3 x 2
Invullen geeft:
∆ f 3 x2 ∙ ∆ x ∆x
= 3
=3
f (x) x x
De relatieve fout in de inhoud is
driemaal de relatieve fout in de
afmeting.
, Een eerste orde benadering is in sommige gevallen niet genoeg. Om een groter bereik van de functie
te bereiken, gebruiken we tweede orde benaderingen en hoger.
Deze tweede orde benadering voldoet aan:
f ( a )=g ( a )
f ' ( a )=g' ( a )
f ' ' ( a ) =g ' ' ( a )
' 1
Hieruit volgt: f ( x ) ≅ f ( a ) +f ( a ) ( x−a )+ f ' ' (a)( x−a)2
2
Taylorreeksen
Dit zijn reeksen die rond punt a steeds beter lijken op de oorspronkelijke functie.
1 1 1 1
f ( x )=f ( a ) + f ( a ) ( x −a ) + f '' ( a ) ( x−a)2+ f ' ' ' ( a ) (x−a)3+...+ f ( n) (a)( x−a)n
1! 2! 3! n!
n (k )
1
f ( x )= ∑ f (a) (x−a)k
k=0 k!
Met deze reeksen zijn tevens limieten te berekenen van functies.
Ook de regel van L’Hôpital berekent limieten in punt a, mits deze aan één van de volgende
voorwaarde voldoet f ( a )=g ( a )=0 of f ( a )=± ∞ en g ( a )=± ∞ .
Bij deze voorwaardes geldt dan:
f (x) f '( a)
lim =lim
x→ a g(x ) x→ a g ' (a)
Modellen voor continue groei
Groeisnelheid en relatieve groeisnelheid
De groeisnelheid van een grootheid y is y’(t). De relatieve groeisnelheid is y’(t) gedeeld door de
y ' (t)
grootheid y:
y (t)
Exponentiële functies
y ( t ) =c er t
