Examen Global. Análisis Probabilidad y Álgebra. Matemáticas II. Curso 2023/24
EXAMEN GLOBAL. SEGUNDA EVALUACIÓN.
ANÁLISIS, PROBABILIDAD Y ÁLGEBRA
09/02/2024
Curso 2023/24
MATERIA: MATEMÁTICAS II
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica. El alumno deberá elegir una de las dos
opciones propuestas. PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del
mismo. Sólo se puntuarán los ejercicios debidamente justificados.
OPCIÓN A
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2,5 puntos
El peso de los recién nacidos de una localidad sigue una distribución normal de media 3300 g y
desviación típica 465 g. Un recién nacido tiene bajo peso si éste es inferior a 2500 g.
a) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido de esta localidad tenga bajo
peso?
b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga un peso
comprendido entre 3200 y 4000 g?
c) (1 punto) ¿Cuál es el peso x0 que sólo es superado por el 10% de los nacidos?
Ejercicio 2.-. Calificación máxima: 2,5 puntos
x2 − x
Se considera la función de variable real f ( x ) = . Se pide:
2
a) (1 punto) Estudiar su derivabilidad.
b) (1 punto) Averiguar si la función f ( x ) cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en el
intervalo 0,1 y, en caso afirmativo, calcular el punto donde se cumplen.
c) (0,5 puntos) Obtener una primitiva de f ( x ) que pase por el punto ( 1, − 2 ) .
Ejercicio 3.- Calificación máxima: 2,5 puntos
Según los datos de la Fundación para la Diabetes, el 13,8% de los españoles mayores de 18 años
tiene diabetes aunque el 43% de ellos no sabe que la tiene. Se elige al azar un español mayor de
18 años.
a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa? ¿Cuál es la probabilidad de
que no sea diabético o no sepa que lo es?
b) (1,5 puntos) Cierta prueba diagnostica correctamente el 96% de los casos positivos de diabetes
pero da un 2% de falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es
la probabilidad de que sea realmente diabético?
Ejercicio 4.- Calificación máxima: 2,5 puntos
k −1 2 −2
a) (1 punto) Sea la matriz A = 0 k − 2 1 , calcular los valores de k para que exista A− 1 .
1 1
0
b) (1 punto) Para k = 2 calcular su inversa A− 1 .
1 2 −2 2
c) (0,5 puntos) Efectúa el producto A B siendo A = 0 0 1 y B = 8 .
1 0 1 6
Departamento de Matemáticas. IES Joan Miró. San Sebastián de los Reyes.
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ANÁLISIS, PROBABILIDAD Y ÁLGEBRA
09/02/2024
Curso 2023/24
MATERIA: MATEMÁTICAS II
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica. El alumno deberá elegir una de las dos
opciones propuestas. PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del
mismo. Sólo se puntuarán los ejercicios debidamente justificados.
OPCIÓN B
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2,5 puntos
a) (1,5 puntos) Estudiar el rango de la matriz A en función del parámetro m, siendo
2 1 −m
A = 2m 1 − 1 .
2 m 1
a a
b) (1 punto) Hallar todas la matrices de la forma X = que cumplan X = X .
2
0 b
Ejercicio 2.-. Calificación máxima: 2,5 puntos
xe x
a) (1 punto) Estudiar el dominio y el crecimiento de la función f ( x ) = .
x+4
b) (1,5 puntos) Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función f ( x ) = x 2 + 6 x − 2 ,
su recta tangente cuya pendiente vale 2, y la recta x = 2 .
Ejercicio 3.- Calificación máxima: 2,5 puntos
De los abonados a una plataforma de contenido, el 30% está suscrito al canal Deportes y el 75%
al canal Series. Sabemos que, de entre los que no están suscritos a Deportes, un 80% sí esta
suscrito a contenidos.
a) (1 punto) ¿Qué porcentaje, de entre los que no están suscritos a Series, resulta que sí está
suscrito a Deportes?
b) (0,5 puntos) ¿Qué porcentaje no está suscrito a ninguno de estos dos canales?
c) (1 punto) Sabemos que un 10% de los clientes está abonado al canal Cocina, y que ninguno de
ellos está abonado al canal Deportes. Asimismo, estar abonado a Series y a Cocina son sucesos
independientes. ¿Qué porcentaje de los clientes de la plataforma están abonados a Series pero no
a los otros dos canales mencionados?
Ejercicio 4.- Calificación máxima: 2,5 puntos
La probabilidad de que un ratón siberiano transmita la rabia con su mordedura es de un 15%.
a) (1 punto) Supongamos que estamos estudiando una muestra de 20 ratones. ¿Cuál es la
probabilidad de que exactamente 3 de ellos transmitan la rabia? ¿Y de que al menos 3 lo hagan?
b) (1,5 puntos) Supongamos ahora que estudiamos una colonia de 500 ratones. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya exactamente 80 ratones transmisores de la rabia? ¿Y la probabilidad de
que haya más de 70 pero menos de 80?
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MATERIA: MATEMÁTICAS II
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica. El alumno deberá elegir una de las dos
opciones propuestas. PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del
mismo. Sólo se puntuarán los ejercicios debidamente justificados.
OPCIÓN A
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2,5 puntos
El peso de los recién nacidos de una localidad sigue una distribución normal de media 3300 g y
desviación típica 465 g. Un recién nacido tiene bajo peso si éste es inferior a 2500 g.
a) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido de esta localidad tenga bajo
peso?
b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga un peso
comprendido entre 3200 y 4000 g?
c) (1 punto) ¿Cuál es el peso x0 que sólo es superado por el 10% de los nacidos?
Ejercicio 2.-. Calificación máxima: 2,5 puntos
x2 − x
Se considera la función de variable real f ( x ) = . Se pide:
2
a) (1 punto) Estudiar su derivabilidad.
b) (1 punto) Averiguar si la función f ( x ) cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en el
intervalo 0,1 y, en caso afirmativo, calcular el punto donde se cumplen.
c) (0,5 puntos) Obtener una primitiva de f ( x ) que pase por el punto ( 1, − 2 ) .
Ejercicio 3.- Calificación máxima: 2,5 puntos
Según los datos de la Fundación para la Diabetes, el 13,8% de los españoles mayores de 18 años
tiene diabetes aunque el 43% de ellos no sabe que la tiene. Se elige al azar un español mayor de
18 años.
a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea diabético y lo sepa? ¿Cuál es la probabilidad de
que no sea diabético o no sepa que lo es?
b) (1,5 puntos) Cierta prueba diagnostica correctamente el 96% de los casos positivos de diabetes
pero da un 2% de falsos positivos. Si un español mayor de 18 años da positivo en el test, ¿cuál es
la probabilidad de que sea realmente diabético?
Ejercicio 4.- Calificación máxima: 2,5 puntos
k −1 2 −2
a) (1 punto) Sea la matriz A = 0 k − 2 1 , calcular los valores de k para que exista A− 1 .
1 1
0
b) (1 punto) Para k = 2 calcular su inversa A− 1 .
1 2 −2 2
c) (0,5 puntos) Efectúa el producto A B siendo A = 0 0 1 y B = 8 .
1 0 1 6
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No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica. El alumno deberá elegir una de las dos
opciones propuestas. PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del
mismo. Sólo se puntuarán los ejercicios debidamente justificados.
OPCIÓN B
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2,5 puntos
a) (1,5 puntos) Estudiar el rango de la matriz A en función del parámetro m, siendo
2 1 −m
A = 2m 1 − 1 .
2 m 1
a a
b) (1 punto) Hallar todas la matrices de la forma X = que cumplan X = X .
2
0 b
Ejercicio 2.-. Calificación máxima: 2,5 puntos
xe x
a) (1 punto) Estudiar el dominio y el crecimiento de la función f ( x ) = .
x+4
b) (1,5 puntos) Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función f ( x ) = x 2 + 6 x − 2 ,
su recta tangente cuya pendiente vale 2, y la recta x = 2 .
Ejercicio 3.- Calificación máxima: 2,5 puntos
De los abonados a una plataforma de contenido, el 30% está suscrito al canal Deportes y el 75%
al canal Series. Sabemos que, de entre los que no están suscritos a Deportes, un 80% sí esta
suscrito a contenidos.
a) (1 punto) ¿Qué porcentaje, de entre los que no están suscritos a Series, resulta que sí está
suscrito a Deportes?
b) (0,5 puntos) ¿Qué porcentaje no está suscrito a ninguno de estos dos canales?
c) (1 punto) Sabemos que un 10% de los clientes está abonado al canal Cocina, y que ninguno de
ellos está abonado al canal Deportes. Asimismo, estar abonado a Series y a Cocina son sucesos
independientes. ¿Qué porcentaje de los clientes de la plataforma están abonados a Series pero no
a los otros dos canales mencionados?
Ejercicio 4.- Calificación máxima: 2,5 puntos
La probabilidad de que un ratón siberiano transmita la rabia con su mordedura es de un 15%.
a) (1 punto) Supongamos que estamos estudiando una muestra de 20 ratones. ¿Cuál es la
probabilidad de que exactamente 3 de ellos transmitan la rabia? ¿Y de que al menos 3 lo hagan?
b) (1,5 puntos) Supongamos ahora que estudiamos una colonia de 500 ratones. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya exactamente 80 ratones transmisores de la rabia? ¿Y la probabilidad de
que haya más de 70 pero menos de 80?
Departamento de Matemáticas. IES Joan Miró. San Sebastián de los Reyes.
