Skript der Wahrscheinlichkeitsrechnung

4 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4.1 Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit


Definition ( Zufalls experiment, Ergebnisvaom , Ereignis)
µ


Gegeben sei eine Situation , die vom Zufall beeinflusstes Ergebnis

hervorbringt ! Eine solche Situation nennen wir Zufalls experiment .




Vorstellung
4
Wir wollen die
,
dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
"


dieses oder jenes Ereignis eintritt mathematisch formalisch

Dafür sei R ( Omega) die
Menge aller
möglichen Ergebnisse des

Zufalls experiment .




[ Es sei
angenommen ,
dass das Zufalls experiment immer
genau einem


Ergebnis WER führt]
Die Elemente WER werden als Ergebnisse bezeichnet

Ein Ereignis ist eine Teilmenge von D

Ein einelementige Ereignis { W } heißt Elementarereignis


Elementarer
Beispiel Wörerelfovf :




D= { 1,2, 3,4, 5,6}
E Wort
=3 eine 3
w
ergibt
"


1- =
{ 74,6} ±
Ereignis es wird eine
gerade Zahl gewürfelt,




Ziel wird es sein gewissen Ereignissen A- ER eine Wahrscheinlichkeit

zuzuordnen .

,Definition ( S -




Algebra Messraum ) ,


Sei SL eine nicht leere Menge und AEPLSL) .
( Pkk) bezeichnet

die Potenz menge von R
,
d. h .
die Menge aller Teilmengen von 1)
A- heißt S -



Algebra falls gilt :
,




51) h e- A

S2 ) AEA Ä c-
A
I Komplementmenge ( andere Notation AC ) :



Ä -
{ well we A )

[ Abgeschlossenheit unter Komplement abbildung ]

29.04.1953
) Folge ( An )
Für Ane für gilt eine
n #
mit A NEIN :




U An EA
WEIN


Ein Messraum Tupel ( SLA ) wobei kein
ist ein , Grundvaom
ist A S über S2 ist
und eine -



Algebra

Bemerkung
Für eine Folge ( An ) nee mit An EA für ne
gilt

An EA
¥,
,
denn :


-




( !! ) [ de Morgan ]
-




(1) ) n
=




um

F-
A

w
A-




.

Außerdem gilt für endlich viele
Mengen

An . . .
An EA :

, Ü,
An =

Asv Azur . -
u An u

w
¢ o ¢
= EA



ÜANEA
Definition ( Wahrscheinlichkeits maß

Sei ( SL, A) ein Messraum

Eine Abbildung
P :
1- → IR heißt Wahrscheinlichkeiten aß , falls gilt :




µ :
t AEA :P (A) 70 ( Nicht negativ ität )

µ
2 : P (1) =
1 ( Normierung )

µ
3 :
Für eine Folge ( An ) nur paarweise disjunkter Menge aus A

gilt :


[
meint Vereinigung ist disjunkt
PC
!µ An ) =
E
KEIN
PLAN )


[ paarweise disjunkt bedeutet : Ain AE ¢ für beliebige itj ]

In diesem Fall das h A P) als
bezeichnen wir
Tripel ( , ,


Wahrscheinlichkeitsvaum


Elementare Eigenschaften von Maßen
Für einen Maß raum ( SL, A P) , gilt :




i ) Endliche Additiv ität :


paarweise disjunkte Mengen
Für

An ,
.
. .

,
An EA gilt :




P ( ¥ A.) = E PLA ) .

, 4=1
-
EA

, ii ) Jede Menge AEA zerlegt jede andere Menge BEA additiv :




.
By BUA
PC B) =P ( Bn A) t PCBNÄ )

Beachte B- ( DNA) u ^ Ä)
A
ß , A



iii P ist subtraktiv , d. h .


for A, BEA mit AEB

gilt P ( BIA) =
PCB ) -

PLA )

( bzw .
PCB) =
PA ) t P ( BIA ) )

iv ) P ist isoton ( monoton wachsend)

d. h .

für A, BEA mit AEB

gilt PCA) < PCB)

Es die Modularitätgleichung
v ) gilt :




Für A, BEA gilt A



B②
:




PCAUB) t PC An B) =P (A) TPCB)

bzw .
PCAUB) =
PCA) t PCB) -

PCANB)

Bemerkung
'




Im Allgemeinen gilt nicht :

-
P ( Au B) =
PCAJTPCB)
-


PLAN B) =p (A)
.


PCB)

Bemerkung
In den Abschnitten 4/5 werden im Wesentlichen einen endlichen

Ergebnis raum 1 und 1- =P betrachteten d. h , jedem beliebigen
,
.




Ereignis kann eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden .




In diesem Fall ist NI 1- M3 11,12
äquivalent zu und


MT : Für A, B mit An B =
gilt P (Au B) = PCAHPCB)