Samenvatting statistiek 1 (sem 2)

Statistiek 1: semester 2
Semester 1: Beschrijvende statistiek = Het beschrijven van de gegevens van een steekproef of
populatie met behulp van tabellen, grafieken en kengetallen.

Semester 2: Inferentiële statistiek = Op basis van steekproefgegevens uitspraken doen over de
populatie.


Basisbegrippen kansberekening
 Stochastisch proces = kansexperiment = een proces waarvan de uitkomst onzeker is
<-> Deterministisch proces = een proces waarvan de uitkomst vastligt
 Toevalsgebeuren (gebeurtenis) = een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een
stochastisch proces
 Elementair toevalsgebeuren behelst één uitkomst
 Uitkomstenruimte S = de verzameling van alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
 Een samengesteld toevalsgebeuren heeft betrekking op meerdere elementaire
toevalsgebeurens
 Een verzameling = een geheel van objecten, die aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen
om tot de verzameling te behoren.
 De unie van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A of B zitten (A ∪ B)




 De doorsnede van twee verzamelingen A en B bestaat uit alle elementen die in A en B zitten
(A ∩ B)




 A is een deelverzameling van B wanneer ze een deel van de elementen van B bevat (A ⊂ B)

,  Disjuncte verzamelingen zijn verzamelingen die geen gemeenschappelijke elementen
bevatten (A ∩ B = ∅)




 Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen van A die
niet in B zitten (A \ B)
 Elk toevalsgebeuren A (elementair of samengesteld) is een deelverzameling uit de
uitkomstenruimte S
 De elementaire toevalsgebeurens in uitkomstenruimte S zijn disjunct: ze overlappen niet
 Uitkomstenruimte S is exhaustief: het bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens
 Het complement van toevalsgebeuren A omvat alle elementaire toevalsgebeurens in de
uitkomstenruimte S die niet gelijk zijn aan A ( AC of A = S \ A)




 De machtsverzameling M(S) is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van
uitkomstenruimte S
Als #S = n  #M(S) = 2n (kardinaalgetal # = totaal aantal elementen)


Kansdefinitie
Een kans P(G) is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis G zal optreden, uitgedrukt in een getal
tussen 0 en 1

P is een functie die met elke gebeurtenis G een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert

1. Subjectieve kansdefinitie (Gokkans)
Vaak gebaseerd op ervaring, vaag

, 2. Empirische kansdefinitie (Zweetkans)
fi
 geregeld berekenen (= benadering voor kans)
n
f
 kijken waar de waarden i naartoe gaan als n toeneemt  de `limietwaarde’ is de
n
gezochte kans (kans = relatieve frequentie in the long run)
fi
 P(A) = lim
n→∞ n
De wet van de grote getallen

3. Theoretische kansdefinitie van Laplace (Weetkans)
¿ A ¿ gunstige
P ( A )= =
¿ S ¿ mogelijke
Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is!

De reële functie P moet voldoen aan 3 axioma’s:

1. 0 ≤ P(A) ≤1
2. P(S) = 1
3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), geldt dat P (A U B) = P(A) + P(B)


Rekenregels kansrekening
1. Complementregel
P( A )= 1 - P(A)
2. Somregel
A en B disjunct: P (A U B) = P(A) + P(B)
A en B niet disjuct: P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
3. Productregel
Bij onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B)= P(A) . P(B)
A en B afhankelijk: P(A ∩ B) = P(A|B).P(B)
OF = P(B|A).P(A)

voorwaardelijke kans = ‘a posteriori’ kans

4. Regel voorwaardelijke kans
P ( A ∩B) P ( A ∩B)
P(A|B) = OF P(B|A) =
P( B) P( A)
5. Regel totale kans
Regel totale kans bij dichotome variabele B: P(A) = P(A|B) . P(B) + P(A| BC ) . P( BC )
k
Regel totale kans bij niet-dichotome variabele B: P(A) = ∑ P( A∨Bi). P(Bi)
i=1
6. Regel van Bayes
Zorgt ervoor dat de voorwaardelijke kans P(A|B) kan worden uitgerekend door de causaliteit
om te keren  Dus P(A|B) berekenen op basis van P(B|A)

, Herhaling vorig semester:
frequentieverdeling

Gemiddelde:

Variantie en standaardafwijking:




Stochast
Een stochast of kansvariabele is een variabele waarvan de waarden numerieke uitkomsten zijn van
een stochastisch proces.

Een stochast is een functie die de elementaire uitkomsten van een bepaald kansexperiment verbindt
met een numerieke waarde.

Verwachte waarde van een stochast
Het gemiddelde van een stochast wordt de verwachtingswaarde genoemd.