Samenvatting Rekenen meten en meetkunde tweede druk, derde
oplage 2017 ISBN 978 90 06 95538 5
Auteurs: Ortwin Hutten, Jos van den Bergh, Petra van den Brom-Snijders en Marc van Zanten
Samenvatting gemaakt door Jesse de Hoop
Inhoud
1. Samenhang meten en meetkunde......................................................................................................2
1.1 raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde.............................................................2
1.2 meten en meetkunde op de basisschool......................................................................................3
2. Meten.................................................................................................................................................4
2.1 meten en meetgetallen zijn overal...............................................................................................4
2.2 grootheden en maten...................................................................................................................9
3. Meten op de basisschool..................................................................................................................12
3.1 schets van de leerlijn meten.......................................................................................................12
3.2 ontluikende maatbesef...............................................................................................................13
3.3 inzicht in meten en maten..........................................................................................................17
3.4 formeel redeneren en rekenen met maten en grootheden.......................................................18
4. Meten en verbanden........................................................................................................................20
4.1 verbanden zijn overal.................................................................................................................20
4.2 meten en verbanden op de basisschool.....................................................................................22
5. Meetkunde.......................................................................................................................................23
5.1 meetkunde is overal...................................................................................................................23
5.2 meetkundige figuren..................................................................................................................27
6. Meetkunde op de basisschool..........................................................................................................33
6.1 meetkunde als leerstof...............................................................................................................33
1
, 1. Samenhang meten en meetkunde
1.1 raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde hebben veel raakvlakken. Bij meten gaat het om het
getalsmatig greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte, oppervlakte,
inhoud, gewicht en tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie van
een grootheid wordt afgepast met een maat, bijvoorbeeld de maateenheid voor meter voor
de grootheid lengte. Een meting levert een meetgetal op, bijvoorbeeld twee meter. Voor het
meten kunnen allerlei meetinstrumenten worden ingezet, zoals een liniaal, weegschaal of
maatbeker. Ook kan een meting plaatsvinden via beredeneren en rekenen.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte.
Het gaat dan bijvoorbeeld om plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van
vormen en figuren. Verder gaat het om projecties, schaduwen, symmetrieën, patronen en
om allerlei twee- en driedimensionale weergaven van de werkelijkheid. Meetkunde is op te
vatten als ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin.
1.1.1 meten van inhoud
Het in gedachten in elkaar zetten van een bouwplaat valt binnen meetkunde en heet
ruimtelijk redeneren. De vraag, wat de inhoud is van een doos, valt onder meten: het gaat
om het kwantificeren van de eigenschap inhoud. Een kwantiteit is een hoeveelheid en
kwantificeren betekent: ergens een getal aan toekennen. Als kinderen vervolgens, in
gedachten, de doos vullen met kubieke decimeters, zijn ze ruimtelijk aan het redeneren. Ze
verrichten een meetkundige handeling om de meetvraag te beantwoorden. Door het precies
vullen van de doos met kubieke decimeters kan deze opgave gebruikt worden als opstapje
naar het begrijpen en toepassen van de formule lengte x breedte x hoogte voor het
berekenen van de inhoud van een kubus- of balkvorm
1.1.2 lengte en oppervlakte
Ook bij de grootheden lengte en oppervlakte komen meetkundige inzichten naar voren. Een
meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten
van oppervlakte.
Ook het werken met
vlakvulling ligt op het
snijvlak van meten en meetkunde: een bepaalde oppervlakte wordt volgelegd met
2
,meetkundige vormen, zoals in het volgende voorbeeld. De oppervlakte van de rechthoek is
nu uit te drukken in het aantal driehoekjes dat nodig is om de rechthoek te bedekken.
1.1.3 uit de geschiedenis van meten en meetkunde
stelling van pythagoras
Ook in de beroemde stelling van Pythagoras uit de klassieke oudheid komen meten en
meetkunde samen. Het is een mooi voorbeeld van de wijze waarop mensen al lang geleden
probeerden om de ruimte om hen heen zowel getalsmatig als ruimtelijk te beschrijven. Deze
stelling beschrijft de vaste relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige
driehoek: a²+b²=c²
1.2 meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 overeenkomsten tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde komen allebei al vanaf de kleutergroepen aan bod.
Beide domeinen blijven dicht bij de waarneembare werkelijkheid. Daardoor bieden ze aan
kinderen de mogelijkheid zélf ervaringen op te doen, zowel in de onderbouw als in de
bovenbouw. Het onderwijs in meten en meetkunde verschaft kinderen het wiskundige
gereedschap om hun dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven. Dat
gereedschap kun je letterlijk opvatten: met behulp van een liniaal of maatbeker krijgen
kinderen greep op bijvoorbeeld de grootheden lengte en inhoud. Maar in bredere zin kun je
het ook opvatten als het beheersen van de wiskundetaal die van pas komt in het dagelijks
leven. Bijvoorbeeld breed, smal, hoog en laag, maar ook noord en zuid.
Een andere overeenkomst tussen meten en meetkunde is dat het onderwijs zich in beide
domeinen kenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding.
Zo’n houding wordt een wiskundige attitude genoemd.
Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling
van gecijferdheid.
1.2.2 verschillen tussen meten en meetkunde
Er zijn ook verschillen tussen de domeinen meten en meetkunde op de basisschool. Bij
meten gaat het meestal om andere handelingen dan bij meetkundeactiviteiten. Bij
meetactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat en zijn kinderen
vooral aan het doen (uitvoeringen van metingen, aflezen van meetinstrumenten), kennen
(bijvoorbeeld de maten uit het metriekstelsel) en begrijpen (optreden van meetfouten,
maatverfijning en kiezen van de juiste maat). Bij meetkundeactiviteiten gaat het vooral om
het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig
met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van de ‘waarom-vraag’, gericht op
verklaren.
3
, 1.2.3 samenhang in activiteiten
De onderlinge samenhang die beide domeinen vertonen, kan in het onderwijs benut
worden. Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist
geïntegreerd aan bod te laten komen. Voorbeelden van dergelijke activiteiten zijn de
inrichting van een winkel(hoek), of het ontwerpen van een nieuw schoolgebouw, waarin –
naast allerlei tel- en rekenactiviteiten – meet- en meetkundige vragen aan bod kunnen
komen.
2. Meten
2.1 meten en meetgetallen zijn overal
Meten is niet weg te denken uit onze samenleving: in het dagelijks leven kom je voortdurend
in aanraking met meetgetallen. Bijvoorbeeld op de etiketten op levensmiddelen, op de
snelheidsmeter van je auto, bij de temperatuur en windsnelheid in een weerbericht.
Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid. Bij
elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden, die afhankelijk van de
situatie worden gebruikt. Zo wordt de afstand tussen twee steden meestal in kilometers
uitgedrukt en de afmetingen van een boekenkast in centimeters.
Tijdstippen en bedragen zijn ook meetgetallen. Als je de tijd van een klok afleest, is dat het
resultaat van een meting waarbij je afleest hoeveel uren, minuten en seconden er vandaag
zijn verstreken. En een bedrag geeft de waarde van iets aan. Die wordt uitgedrukt in geld en
gemeten met bijvoorbeeld de euro als maat.
In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, zoals 50 kilometer per uur is de
maximumsnelheid binnen de bebouwde kom, en een lichaamslengte van 2,12 meter is lang.
Zo weet je waarschijnlijk ook dat bij een lichaamstemperatuur van 39 graden Celsius sprake
is van koorts; het referentiegetal waar je vanuit gaat is 37. Nog een referentiegetal is 365:
ook zonder de maat denk je waarschijnlijk aan het aantal dagen in een jaar. Bij bepaalde
maten kun je je iets concreets voorstellen, bijvoorbeeld een flinke stap bij een meter, een
pak sap bij een liter, en een pak suiker bij een kilogram. De stap, het pak sap en het pak
suiker zijn voorbeelden van referentiematen.
2.1.1 meetinstrumenten
4
oplage 2017 ISBN 978 90 06 95538 5
Auteurs: Ortwin Hutten, Jos van den Bergh, Petra van den Brom-Snijders en Marc van Zanten
Samenvatting gemaakt door Jesse de Hoop
Inhoud
1. Samenhang meten en meetkunde......................................................................................................2
1.1 raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde.............................................................2
1.2 meten en meetkunde op de basisschool......................................................................................3
2. Meten.................................................................................................................................................4
2.1 meten en meetgetallen zijn overal...............................................................................................4
2.2 grootheden en maten...................................................................................................................9
3. Meten op de basisschool..................................................................................................................12
3.1 schets van de leerlijn meten.......................................................................................................12
3.2 ontluikende maatbesef...............................................................................................................13
3.3 inzicht in meten en maten..........................................................................................................17
3.4 formeel redeneren en rekenen met maten en grootheden.......................................................18
4. Meten en verbanden........................................................................................................................20
4.1 verbanden zijn overal.................................................................................................................20
4.2 meten en verbanden op de basisschool.....................................................................................22
5. Meetkunde.......................................................................................................................................23
5.1 meetkunde is overal...................................................................................................................23
5.2 meetkundige figuren..................................................................................................................27
6. Meetkunde op de basisschool..........................................................................................................33
6.1 meetkunde als leerstof...............................................................................................................33
1
, 1. Samenhang meten en meetkunde
1.1 raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde hebben veel raakvlakken. Bij meten gaat het om het
getalsmatig greep krijgen op ‘eigenschappen’ van de wereld, zoals lengte, oppervlakte,
inhoud, gewicht en tijdsduur. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie van
een grootheid wordt afgepast met een maat, bijvoorbeeld de maateenheid voor meter voor
de grootheid lengte. Een meting levert een meetgetal op, bijvoorbeeld twee meter. Voor het
meten kunnen allerlei meetinstrumenten worden ingezet, zoals een liniaal, weegschaal of
maatbeker. Ook kan een meting plaatsvinden via beredeneren en rekenen.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte.
Het gaat dan bijvoorbeeld om plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van
vormen en figuren. Verder gaat het om projecties, schaduwen, symmetrieën, patronen en
om allerlei twee- en driedimensionale weergaven van de werkelijkheid. Meetkunde is op te
vatten als ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin.
1.1.1 meten van inhoud
Het in gedachten in elkaar zetten van een bouwplaat valt binnen meetkunde en heet
ruimtelijk redeneren. De vraag, wat de inhoud is van een doos, valt onder meten: het gaat
om het kwantificeren van de eigenschap inhoud. Een kwantiteit is een hoeveelheid en
kwantificeren betekent: ergens een getal aan toekennen. Als kinderen vervolgens, in
gedachten, de doos vullen met kubieke decimeters, zijn ze ruimtelijk aan het redeneren. Ze
verrichten een meetkundige handeling om de meetvraag te beantwoorden. Door het precies
vullen van de doos met kubieke decimeters kan deze opgave gebruikt worden als opstapje
naar het begrijpen en toepassen van de formule lengte x breedte x hoogte voor het
berekenen van de inhoud van een kubus- of balkvorm
1.1.2 lengte en oppervlakte
Ook bij de grootheden lengte en oppervlakte komen meetkundige inzichten naar voren. Een
meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het meten
van oppervlakte.
Ook het werken met
vlakvulling ligt op het
snijvlak van meten en meetkunde: een bepaalde oppervlakte wordt volgelegd met
2
,meetkundige vormen, zoals in het volgende voorbeeld. De oppervlakte van de rechthoek is
nu uit te drukken in het aantal driehoekjes dat nodig is om de rechthoek te bedekken.
1.1.3 uit de geschiedenis van meten en meetkunde
stelling van pythagoras
Ook in de beroemde stelling van Pythagoras uit de klassieke oudheid komen meten en
meetkunde samen. Het is een mooi voorbeeld van de wijze waarop mensen al lang geleden
probeerden om de ruimte om hen heen zowel getalsmatig als ruimtelijk te beschrijven. Deze
stelling beschrijft de vaste relatie tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige
driehoek: a²+b²=c²
1.2 meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 overeenkomsten tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde komen allebei al vanaf de kleutergroepen aan bod.
Beide domeinen blijven dicht bij de waarneembare werkelijkheid. Daardoor bieden ze aan
kinderen de mogelijkheid zélf ervaringen op te doen, zowel in de onderbouw als in de
bovenbouw. Het onderwijs in meten en meetkunde verschaft kinderen het wiskundige
gereedschap om hun dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en beschrijven. Dat
gereedschap kun je letterlijk opvatten: met behulp van een liniaal of maatbeker krijgen
kinderen greep op bijvoorbeeld de grootheden lengte en inhoud. Maar in bredere zin kun je
het ook opvatten als het beheersen van de wiskundetaal die van pas komt in het dagelijks
leven. Bijvoorbeeld breed, smal, hoog en laag, maar ook noord en zuid.
Een andere overeenkomst tussen meten en meetkunde is dat het onderwijs zich in beide
domeinen kenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding.
Zo’n houding wordt een wiskundige attitude genoemd.
Bezig zijn met meten en meetkunde levert ook een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling
van gecijferdheid.
1.2.2 verschillen tussen meten en meetkunde
Er zijn ook verschillen tussen de domeinen meten en meetkunde op de basisschool. Bij
meten gaat het meestal om andere handelingen dan bij meetkundeactiviteiten. Bij
meetactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat en zijn kinderen
vooral aan het doen (uitvoeringen van metingen, aflezen van meetinstrumenten), kennen
(bijvoorbeeld de maten uit het metriekstelsel) en begrijpen (optreden van meetfouten,
maatverfijning en kiezen van de juiste maat). Bij meetkundeactiviteiten gaat het vooral om
het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig
met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van de ‘waarom-vraag’, gericht op
verklaren.
3
, 1.2.3 samenhang in activiteiten
De onderlinge samenhang die beide domeinen vertonen, kan in het onderwijs benut
worden. Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist
geïntegreerd aan bod te laten komen. Voorbeelden van dergelijke activiteiten zijn de
inrichting van een winkel(hoek), of het ontwerpen van een nieuw schoolgebouw, waarin –
naast allerlei tel- en rekenactiviteiten – meet- en meetkundige vragen aan bod kunnen
komen.
2. Meten
2.1 meten en meetgetallen zijn overal
Meten is niet weg te denken uit onze samenleving: in het dagelijks leven kom je voortdurend
in aanraking met meetgetallen. Bijvoorbeeld op de etiketten op levensmiddelen, op de
snelheidsmeter van je auto, bij de temperatuur en windsnelheid in een weerbericht.
Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid. Bij
elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden, die afhankelijk van de
situatie worden gebruikt. Zo wordt de afstand tussen twee steden meestal in kilometers
uitgedrukt en de afmetingen van een boekenkast in centimeters.
Tijdstippen en bedragen zijn ook meetgetallen. Als je de tijd van een klok afleest, is dat het
resultaat van een meting waarbij je afleest hoeveel uren, minuten en seconden er vandaag
zijn verstreken. En een bedrag geeft de waarde van iets aan. Die wordt uitgedrukt in geld en
gemeten met bijvoorbeeld de euro als maat.
In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenties, zoals 50 kilometer per uur is de
maximumsnelheid binnen de bebouwde kom, en een lichaamslengte van 2,12 meter is lang.
Zo weet je waarschijnlijk ook dat bij een lichaamstemperatuur van 39 graden Celsius sprake
is van koorts; het referentiegetal waar je vanuit gaat is 37. Nog een referentiegetal is 365:
ook zonder de maat denk je waarschijnlijk aan het aantal dagen in een jaar. Bij bepaalde
maten kun je je iets concreets voorstellen, bijvoorbeeld een flinke stap bij een meter, een
pak sap bij een liter, en een pak suiker bij een kilogram. De stap, het pak sap en het pak
suiker zijn voorbeelden van referentiematen.
2.1.1 meetinstrumenten
4
