Hoofdstuk 1 Introductie van functies van één variabele
1.1 Functies van één variabele
X = onafhankelijke variabele
Y = afhankelijke variabele
Domein: Mogelijke onafhankelijke variabelen
Bereik: Mogelijke afhankelijke variabelen
“<” of “(“ = Grens doet niet mee
“≤” of “[“ = Grens doet wel mee
(x + y)2 = x2+y2 + 2xy
1.2 Overzicht van functies van één variabele
Constante functie: y(x) = c
Lineaire functies: y(x) = ax + b
−b
Formule voor nulpunt:
a
Kwadratische functie: ax2 + bx + c
Formule voor nulpunten:
o Bij D≥0:
−b+¿−√ b2−4 ac
2a
o Bij D<0 bestaat er geen nulpunt
Oplossen ongelijkheid: f(x) ≥ g(x)
o Stap 1: Definieer de functie h(x) = f(x) – g(x)
o Stap 2: Bepaal de nulpunten van h(x) middels de ABC-methode of ontbinden in
factoren
o Stap 3: Maak een tekenoverzicht van h(x)
o Stap 4: Lees in het tekenoverzicht af waar h(x) ≥ 0
,Beschouw de functies f(x) = x2 + 4 en g(x) = - 5x. Welke x’en voldoen aan de voorwaarde f(x) ≥
g(x) ?
Stap 1: Definieer de functie h(x) = f(x) – g(x).
x2 + 5x + 4
Stap 2: Bepaal de nulpunten van h(x) middels de ABC-methode of ontbinden in factoren
(x + 4) (x + 1), dus y is gelijk aan 0 bij x=-4 en x=-1
Stap3: Maak een tekenoverzicht van h(x)
Vul de y-variabelen in waarbij x=0 en vul nog twee x’en die hoger en lager liggen
dan beide y’en om te weten te komen welk domein voldoet aan de voorwaarde
Polynoomfunctie: Een functie waarbij an niet gelijk aan 0 is (omdat het anders een lineaire functie is
met een graad die hoger ligt dan 2, bijvoorbeeld ax 3 + bx2 + cx
Nulpunten bepalen: ax3 + bx2 + cx (=) x(ax2 + bx + c). Hierbij is x=0 een nulpunt (omdat in elk
component een x voorkomt) en de kwadratische functie kan opgelost worden met de abc-
formule of ontbinden in factoren
Bepaal het nulpunt van 3x3 - 6x2 + 9x
Stap 1: Buiten haakjes halen: x(2x2 – 6x + 9)
Stap 2: De kwadratische functie oplossen. (x – 3) (x – 3)
Stap 3: Conclusie. Bij (0,0) en (3,0)
Bepaal het nulpunt van x4 - 6x2 - 7
Dit is gelijk aan (x2 - 7) (x2 + 1). Hierbij zijn de nulpunten dus x 2 = 7 en x2 = -1. Het gaat dus
om het punt (√ 7,0) en het punt (-√ 7 , 0 ¿, omdat de wortel van -1 niet mogelijk is.
Eigenschappen machtfuncties:
1) xm * xn = xm+n
xm m-n
2) =x
xn
3) (xm)n = xm*n
4) xm * ym = (xy)m
5) x0 = 1
, 1
6) x-m =
xm
, −5
Bepaal p in de vergelijking ( 4√ x 7 ) =x p
Gebruik makend van de eigenschappen van de machtfuncties, kan p met de volgende
stappen worden bepaald:
4 7 −5 p 7 −5 p
(√x ) =x (=) ( x ¿ ¿ ) =x ¿
4
35
−( )
( ¿) x =x p . En omdat beide grondtallen hetzelfde zijn, kan nu deze weggestreept
4
35
worden: (=) - = p = -83/4
4
Exponentiële functie: Een functie waarbij de onafhankelijke factor de exponent is. Hierbij geldt dat
het grondgetal positief is en niet 1 bedraagt. Het grondgetal is daarom hier de groeifactor.
Eigenschappen van exponentiële functie: Hierbij is x het grondgetal a geworden en kan m vervangen
worden door de onafhankelijke factor en n door de afhankelijke factor. Hier komen de volgende
eigenschappen/kenmerken bij:
1) ax * ay = ax + y
2) ax = ay (=) x = y
Los de vergelijk 2x = 44x+6 op.
2x = (22)4x+6. Het rechtgedeelte kan nu herleid worden met 2 2(4x+6) en 28x+12.
12
Beide componenten zijn gelijk, dus: x = 8x + 12. -7x = 12. X = -
7
Logaritmische functies: Een functie met een x die >0 is met de vorm alog x, waarbij a niet 1 of een
negatief getal is. Ook hier kan a als groeifactor gezien worden, waarbij x het getal de uitkomst van
een macht die met a vermenigvuldigd is, dus: ay = x.
Het getal van Euler: Het grondtal van een natuurlijk logaritme. Hierbij is dus elog x = In x. Dit heeft de
volgende relaties met de exponentiële functie met grondtal e:
1) Y = In ey
2) X = eIn x, (x > 0)
Eigenschappen logaritmische functies:
1) Log(x * y) = log x + log y
x
2) Log = log x – log y
y
3) Log xy = y log x
4) Log 1 = 0
5) alog x = alog y (=) x = y
1.1 Functies van één variabele
X = onafhankelijke variabele
Y = afhankelijke variabele
Domein: Mogelijke onafhankelijke variabelen
Bereik: Mogelijke afhankelijke variabelen
“<” of “(“ = Grens doet niet mee
“≤” of “[“ = Grens doet wel mee
(x + y)2 = x2+y2 + 2xy
1.2 Overzicht van functies van één variabele
Constante functie: y(x) = c
Lineaire functies: y(x) = ax + b
−b
Formule voor nulpunt:
a
Kwadratische functie: ax2 + bx + c
Formule voor nulpunten:
o Bij D≥0:
−b+¿−√ b2−4 ac
2a
o Bij D<0 bestaat er geen nulpunt
Oplossen ongelijkheid: f(x) ≥ g(x)
o Stap 1: Definieer de functie h(x) = f(x) – g(x)
o Stap 2: Bepaal de nulpunten van h(x) middels de ABC-methode of ontbinden in
factoren
o Stap 3: Maak een tekenoverzicht van h(x)
o Stap 4: Lees in het tekenoverzicht af waar h(x) ≥ 0
,Beschouw de functies f(x) = x2 + 4 en g(x) = - 5x. Welke x’en voldoen aan de voorwaarde f(x) ≥
g(x) ?
Stap 1: Definieer de functie h(x) = f(x) – g(x).
x2 + 5x + 4
Stap 2: Bepaal de nulpunten van h(x) middels de ABC-methode of ontbinden in factoren
(x + 4) (x + 1), dus y is gelijk aan 0 bij x=-4 en x=-1
Stap3: Maak een tekenoverzicht van h(x)
Vul de y-variabelen in waarbij x=0 en vul nog twee x’en die hoger en lager liggen
dan beide y’en om te weten te komen welk domein voldoet aan de voorwaarde
Polynoomfunctie: Een functie waarbij an niet gelijk aan 0 is (omdat het anders een lineaire functie is
met een graad die hoger ligt dan 2, bijvoorbeeld ax 3 + bx2 + cx
Nulpunten bepalen: ax3 + bx2 + cx (=) x(ax2 + bx + c). Hierbij is x=0 een nulpunt (omdat in elk
component een x voorkomt) en de kwadratische functie kan opgelost worden met de abc-
formule of ontbinden in factoren
Bepaal het nulpunt van 3x3 - 6x2 + 9x
Stap 1: Buiten haakjes halen: x(2x2 – 6x + 9)
Stap 2: De kwadratische functie oplossen. (x – 3) (x – 3)
Stap 3: Conclusie. Bij (0,0) en (3,0)
Bepaal het nulpunt van x4 - 6x2 - 7
Dit is gelijk aan (x2 - 7) (x2 + 1). Hierbij zijn de nulpunten dus x 2 = 7 en x2 = -1. Het gaat dus
om het punt (√ 7,0) en het punt (-√ 7 , 0 ¿, omdat de wortel van -1 niet mogelijk is.
Eigenschappen machtfuncties:
1) xm * xn = xm+n
xm m-n
2) =x
xn
3) (xm)n = xm*n
4) xm * ym = (xy)m
5) x0 = 1
, 1
6) x-m =
xm
, −5
Bepaal p in de vergelijking ( 4√ x 7 ) =x p
Gebruik makend van de eigenschappen van de machtfuncties, kan p met de volgende
stappen worden bepaald:
4 7 −5 p 7 −5 p
(√x ) =x (=) ( x ¿ ¿ ) =x ¿
4
35
−( )
( ¿) x =x p . En omdat beide grondtallen hetzelfde zijn, kan nu deze weggestreept
4
35
worden: (=) - = p = -83/4
4
Exponentiële functie: Een functie waarbij de onafhankelijke factor de exponent is. Hierbij geldt dat
het grondgetal positief is en niet 1 bedraagt. Het grondgetal is daarom hier de groeifactor.
Eigenschappen van exponentiële functie: Hierbij is x het grondgetal a geworden en kan m vervangen
worden door de onafhankelijke factor en n door de afhankelijke factor. Hier komen de volgende
eigenschappen/kenmerken bij:
1) ax * ay = ax + y
2) ax = ay (=) x = y
Los de vergelijk 2x = 44x+6 op.
2x = (22)4x+6. Het rechtgedeelte kan nu herleid worden met 2 2(4x+6) en 28x+12.
12
Beide componenten zijn gelijk, dus: x = 8x + 12. -7x = 12. X = -
7
Logaritmische functies: Een functie met een x die >0 is met de vorm alog x, waarbij a niet 1 of een
negatief getal is. Ook hier kan a als groeifactor gezien worden, waarbij x het getal de uitkomst van
een macht die met a vermenigvuldigd is, dus: ay = x.
Het getal van Euler: Het grondtal van een natuurlijk logaritme. Hierbij is dus elog x = In x. Dit heeft de
volgende relaties met de exponentiële functie met grondtal e:
1) Y = In ey
2) X = eIn x, (x > 0)
Eigenschappen logaritmische functies:
1) Log(x * y) = log x + log y
x
2) Log = log x – log y
y
3) Log xy = y log x
4) Log 1 = 0
5) alog x = alog y (=) x = y
