Geometrie Zusammenfassung

GRAT

T 2 Art
gero-



vorgehen
1. Aufstellen einer alla Funktionsgleichung und aff Angeben
. .
der Ableitungen
2
. Formulieren der gegebenen Bedingungen mit fif" f "vsW
3 Aufstellen und Lösen eines LaS
4 Überprüfen ,
ob die ermittelte Funktion tatsächlich die angegebenen Extrem-/Wendestellen hat
Falls in :

Angeben der Funktionsgleichung

beispiel

Untersuche ob ,
es eine ganzrationale Funktion f vor Grad vier mit folgenden Eigenschaften
gibt und bestimme aff deren Funktionstern
. .




Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse enthält ,
den Punkt P111-2) und hat den Wendepunkt W101-3).


1. f(x) =
axh +
bx3 +
(x
=
+
bx +
2

fist syrimetrisch zur y-Achse ,
d h .
.
b =
d =
f


f(x) =
ax" (x= 2 + +



f(x) = (ax3 22X +




f"(x) =

12ax= 2 +




2
. P(11-2/ liegt auf f : -


z =

a .
1 +
1 .
1 +
1 = +(1) =
=

a +
c + 2 = =


2


W 101 31 ·
:
+" (8) 0 =
:
12a 0 .
+ 2 =
0 !
Bedingung für denWendepunkt :
f"(x) =
0

2 =
G


f(0) =

-3 :
a .
8" +
c . 82 +
e =
3

e =
-

3
der Stelle ?
2
. Liegt in f" an x =
0 ein VIW vor


3 I a +c + 1 =

2
-




f(x) 4x3
.




=




# G f
-




2 =
=> C =


8
=
f"(x) =
12x :
12x =




# 1 =
3 =
1 =
-3
O f"
*
einzige Nullstelle
-
von



0 1 3) 2

-1
+ +
a
- = -




kein es
a =

3 =
-


21 3 +




a =
1

=>
f" hat an der Stelle X =
0 kein VIW also
X
,


f(x) = -

3
besitzt an der Stelle X =
0 keinen

Wendepunkt .
Damit gibt es keine ganzratio
nale Funktion von Grad vier mit den

gegebenen Eigenschaften.

,immer AZANDER
↑
#




Punktprobe Gleichsetzen




beispiel
Bestirrte die Lage der beiden Geraden .
Berechneggt .
die Koordinaten des Schnittpunkts
.




5 2 -

1 &
"

4 h
=>
E
& + v X =
2 >
-

S Z
9 X
-

: : -




Z -

Z 6 -

1




?
Richtungsvektoren Vielfache voneinander Haben Punkts
1
. und neinen ?
sind die 2.



gemeinsamen

Z ↳ 2 =
4k =
k =
12 5 Z -
1 ↳

4 k -2 7 2k 4
9 h
D
k f 2 2
-

r
=>
= t +
2 S
= =. :
-
. = - - -




-



2 -


1 -2 = -
k =
k =
2 .
3 Z
-


6 -

1


=>>
RV sind keine Vielfachen voneinander I 5 + 2v 1 + 4s I 2v 45 6


i
= - -
= -




I I
-




hr--2-Is = y 4r +
25 =
-2

I - 2v
3 =
6 -


S I 2r + s =
3

3
. Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt s ?

#a -

35 =
-

3 =>
5- 1 Ia

S =
1 in einsetzen loder v = -1
in g)
5 =
1 in 1 :
20 -

4 1 .
= -

6 =
v = -
1

-

1 4 3
3


8S = -

2
-
.
1 -Z => -


4 Probe :
s = 1 und v = -1 in I :
2 1 .
-




11 +
2 1 .
= -

2

6 -

1 5 -


4 +
2 =
2
-




·



2 = -

2

=
S(31-415)
=>
Probe positiv
; g und schneiden sich im Punkt s

, Ge

EINER GERADEN EINEREBENE




E X 0A AB Al
9 % t- v
p s
: + : + ·

+
=
: =




+t Fi
9
: = .


ww wu


SY PRV Ebene E lautet X-Vektor ...




beispiel beispiel
hib eine Parametergleichung der Geraden 9 an auf ,
hib falls möglich eine Parametergleichung der Ebene Ean
,

der die Punkte Al-1314) und B1-1/1119) liegen
. die durch die Punkte A B und , (festgelegt .
ist


a) Al11215) B131012) ,
((21113)
,




/ E : X =
0A +
v :
AB +
s ·
Al


:
9 (3) ) = = +

AB
>

=
·
Z

Z und Al =
-
1
1
sind
Vielfachen
keine

-

3 -




voneinander .




1 ↑



2 1
E :
>


X =
2 ↓ V .



Z
-
f S
- 1

5 -


3 2



Untersuche ob der Punkt P1019/13) auf der b) Alc010) B11121 3) (111 213) ,
-




,
·




Geraden liegt.

1
(i) (
1
(9) (i) sind Vielfache
-




+ 7




Al--
9 =
: -




AB =>
Z und
voneinander
S
.
·




(c) ( = )
. Zeile
1 :
z =
17 =
+ =
2
. Zeile
2 -1 27 + 2
Punkte A B und (auf einer
=


liegen die
+ = =
:

Also
.
3 zeile :
9 5 = = + =
915 ,




auf der
Geraden und legen keine Ebene eindeutig fest
A :
Der Punkt P liegt nicht Geradeng ,
da
die Punktprobe negativ .
ist