Investeringsanalyse
Hoofdstuk 5: Tijdswaarde van geld
Inleiding
Inkomsten en uitgaven van vandaag moeten vergeleken kunnen worden met inkomsten en uitgaven
in de toekomst. Geld wordt minder waard in de toekomst door de inflatie.
• Vergoeding ter compensatie van het verzaken van consumptie/opbrengsten uit alternatieve
investeringen (opportuniteiten)
Liever 100 euro vandaag dan volgend jaar omwille van inflatie, onzekerheid voor de belegger (De
belegger wil namelijk het liefst nu zijn geld, omdat het risico bestaat dat hij binnen een jaar zijn geld
niet zou krijgen. Hoe hoog het rendement moet zijn, is gelijk aan de opportuniteitskost),…
We geven liever vandaag 100 euro uit dan te wachten want 100 euro is nu meer waard dan volgend
jaar want door het uitstellen van de consumptie kunnen nu geen producten worden gekocht, op
latere termijn zijn deze duurder geworden door de inflatie.
De belegger wil een vergoeding ter compensatie van het uitstellen van consumptie en de
opportuniteitskost.
• De opportuniteitskost zijn de inkomsten, bijvoorbeeld intresten die de belegger misloopt,
omdat hij het geld niet kan beleggen in een alternatieve investering.
Kasstromen: stroom geld die je gaat investeren, hoeveel zal de investeringen binnen een aantal jaar
opbrengen
• Alle kasstromen naar zelfde tijdstip te reduceren en de tijdsdimensie te verwijderen om
kasstromen te gaan vergelijken
De toekomstige waarde zal groeien door intresten.
De kapitalisatieformule
Voorbeeld: De huidige waarde is 100 euro, als we 1 jaar kunnen beleggen hebben we 103 euro,
kunnen we nog eens een jaar beleggen krijgen we 106 euro, dit zijn de toekomstige waarden (Vt).
We hebben dus 100 euro 2 jaar belegd aan 3% belegd dus dan krijgen we 100x(1,03)’2
Actualisatieformule
Hierbij wordt de vraag gesteld: Hoeveel moet ik beleggen om binnen een periode t een bepaald
bedrag te hebben (= toekomstige waarde).
,Vt=Toekomstige waarde op tijdstip t
V0=Huidige waarde op tijdstip 0
R=Intrestvoet
t=Duur van investering
V0 is nooit gelijk aan Vt tenzij de intrest = 0
R > 0 heeft geld een tijdswaarde omwill van
• Inflatie
• Voorkeur voor huidige consumptie
• Onzekerheid
Gevolg:
• Vergelijk nooit geldstromen op verschillende tijdstippen
• Geldstromen ALTIJD naar eenzelfde tijdstip herrekenen
• Gebruik een tijdslijn om geldstromen te visualiseren
Twee factoren bei ̈nvloeden de toekomstige waarde van een investering:
• Tijd: Des te langer de periode van investering, des te hoger de TW;
• Rente: Des te hoger de rente, des te hoger de TW.
Illustratie: tijdswaarde van geld
Aankoop van een wagen van $ 20 000: 2 opties
• Optie 1: $ 8000 nu te betalen & $ 12000 na 2 jaar
• Optie 2: $ 1000 directe korting; $ 19000 nu te betalen
Welke optie verkies je bij een interestvoet van 10%? (Alle kasstromen naar zelfde tijdstip
verdisconteren)
Optie 1: V0 = 8000 + (12000/(1,10²)) = 17917,36
Optie 2: V0 = 19000
Oplossing: Optie 1 is voordeliger
Rendementsformule
Vandaag wordt een bedrag geïnvesteerd en over een x-aantal jaar wordt een ander bedrag beloofd.
Hoeveel bedroeg het rendement op deze investering?
, Illustratie: hoe bereken je r?
Uw beleggingsadviseur beweert dat hij je geld kan verdubbelen op 8 jaar tijd. Welke interestvoet
belooft hij dan eigenlijk?
Dus vandaag start ik met 1 euro en na 8 jaar is deze 2 euro waard en hier gaan de rendement
opzoeken.
Vt = V0 x (1+r)t
2 = 1 x (1+r)8
(1+r) = 2(1/8) = 1,0905
Oplossing: r = 0,0905 = 9,05%
llustratie: hoe bereken je t?
Uw beleggingsadviseur belooft een rentevoet van 9% en beweert dat hij je 10.000 EUR kan
verdubbelen. Hoe lang duurt het vooraleer dit geld is verdubbeld?
Er wordt vertrokken vanuit de kapitalisatieformule:
Vt = V0 x (1 + r)t
2 = 1 x (1 + 0,09)t
ln(2) = t x ln(1,09)
t = ln(2) / ln(1,09)
Oplossing t = 8,043 jaar
Waardering van meerdere kasstromen
De algemene regel was dat alle kasstromen naar eenzelfde tijdstip moesten worden gebracht om
deze met elkaar te kunnen vergelijken. Vervolgens de resultaten sommeren.
Illustratie: meerdere kasstromen
Je wil sparen voor een nieuwe laptop, begin dit jaar heb je €500 aan de kant gezet, begin volgend
jaar ga je nog eens €750 op je spaarrekening kunnen zetten en binnen 2 jaar €100. Hoeveel zal je
ter beschikking hebben voor jouw laptop op 1 januari 2022? R=3%
500 * (1,03^3) = 546,36
750 * (1,03^2) = 795,68
1000 * 1,03 = 1030
Oplossing: € 2372,04
, Actuele waarde perpetuïteit
Een perpetuïteit is een oneindige reeks van gelijkmatig in de tijd gespreide gelijke kasstromen (C).
V0= Actuele waarde
C = Kasstromen
r = Verdisconteringsvoet / intrestvoet
Illustratie perpetuïteit
Bedrijf huurt een stuk weide voor 10.000 euro per jaar (onbepaalde duur).
Hoeveel kost het om deze verbintenis af te kopen bij een interestvoet van 5% ?
V0 = 10.000/0,05 = 200.000 euro
1/r = 1/0,05 = 20
Exponentieel groeiende perpetuïteit
Een exponentieel groeiende perpetuïteit is een oneindige reeks van gelijkmatig in de tijd gespreide
exponentieel groeiende (g) kasstromen (C).
• De voorwaarde is wel dat de eerste kasstroom plaatsvindt op tijdstip t1. Deze methode
wordt vaak in het dividend discount model om de prijs van aandelen te bepalen.
Illustratie groeiende perpetuïteit
Bedrijf keert volgend jaar 1 euro dividend uit (C)
Bedrijf verwacht te groeien met 3% per jaar (g)
Interestvoet = 5% (r)
V0 = C /(r – g)
V0 = 1/(0,05 – 0,03) = 50 euro
Actuele waarde annuïteit
Een annuïteit is een eindige reeks van gelijkmatig in de tijd gespreide gelijke kasstromen (C).
Voorbeelden van annui ̈teiten zijn leningen, spaarplannen met een vaste looptijd. De gelijke
kasstromen worden bepaald als kapitaalaflossingen en intresten.
V0 = Actuele waarde annui ̈teit
C = Periodieke kasstroom
r = Intrestvoet / verdisconteringsvoet
T = Aantal periodes
Hoofdstuk 5: Tijdswaarde van geld
Inleiding
Inkomsten en uitgaven van vandaag moeten vergeleken kunnen worden met inkomsten en uitgaven
in de toekomst. Geld wordt minder waard in de toekomst door de inflatie.
• Vergoeding ter compensatie van het verzaken van consumptie/opbrengsten uit alternatieve
investeringen (opportuniteiten)
Liever 100 euro vandaag dan volgend jaar omwille van inflatie, onzekerheid voor de belegger (De
belegger wil namelijk het liefst nu zijn geld, omdat het risico bestaat dat hij binnen een jaar zijn geld
niet zou krijgen. Hoe hoog het rendement moet zijn, is gelijk aan de opportuniteitskost),…
We geven liever vandaag 100 euro uit dan te wachten want 100 euro is nu meer waard dan volgend
jaar want door het uitstellen van de consumptie kunnen nu geen producten worden gekocht, op
latere termijn zijn deze duurder geworden door de inflatie.
De belegger wil een vergoeding ter compensatie van het uitstellen van consumptie en de
opportuniteitskost.
• De opportuniteitskost zijn de inkomsten, bijvoorbeeld intresten die de belegger misloopt,
omdat hij het geld niet kan beleggen in een alternatieve investering.
Kasstromen: stroom geld die je gaat investeren, hoeveel zal de investeringen binnen een aantal jaar
opbrengen
• Alle kasstromen naar zelfde tijdstip te reduceren en de tijdsdimensie te verwijderen om
kasstromen te gaan vergelijken
De toekomstige waarde zal groeien door intresten.
De kapitalisatieformule
Voorbeeld: De huidige waarde is 100 euro, als we 1 jaar kunnen beleggen hebben we 103 euro,
kunnen we nog eens een jaar beleggen krijgen we 106 euro, dit zijn de toekomstige waarden (Vt).
We hebben dus 100 euro 2 jaar belegd aan 3% belegd dus dan krijgen we 100x(1,03)’2
Actualisatieformule
Hierbij wordt de vraag gesteld: Hoeveel moet ik beleggen om binnen een periode t een bepaald
bedrag te hebben (= toekomstige waarde).
,Vt=Toekomstige waarde op tijdstip t
V0=Huidige waarde op tijdstip 0
R=Intrestvoet
t=Duur van investering
V0 is nooit gelijk aan Vt tenzij de intrest = 0
R > 0 heeft geld een tijdswaarde omwill van
• Inflatie
• Voorkeur voor huidige consumptie
• Onzekerheid
Gevolg:
• Vergelijk nooit geldstromen op verschillende tijdstippen
• Geldstromen ALTIJD naar eenzelfde tijdstip herrekenen
• Gebruik een tijdslijn om geldstromen te visualiseren
Twee factoren bei ̈nvloeden de toekomstige waarde van een investering:
• Tijd: Des te langer de periode van investering, des te hoger de TW;
• Rente: Des te hoger de rente, des te hoger de TW.
Illustratie: tijdswaarde van geld
Aankoop van een wagen van $ 20 000: 2 opties
• Optie 1: $ 8000 nu te betalen & $ 12000 na 2 jaar
• Optie 2: $ 1000 directe korting; $ 19000 nu te betalen
Welke optie verkies je bij een interestvoet van 10%? (Alle kasstromen naar zelfde tijdstip
verdisconteren)
Optie 1: V0 = 8000 + (12000/(1,10²)) = 17917,36
Optie 2: V0 = 19000
Oplossing: Optie 1 is voordeliger
Rendementsformule
Vandaag wordt een bedrag geïnvesteerd en over een x-aantal jaar wordt een ander bedrag beloofd.
Hoeveel bedroeg het rendement op deze investering?
, Illustratie: hoe bereken je r?
Uw beleggingsadviseur beweert dat hij je geld kan verdubbelen op 8 jaar tijd. Welke interestvoet
belooft hij dan eigenlijk?
Dus vandaag start ik met 1 euro en na 8 jaar is deze 2 euro waard en hier gaan de rendement
opzoeken.
Vt = V0 x (1+r)t
2 = 1 x (1+r)8
(1+r) = 2(1/8) = 1,0905
Oplossing: r = 0,0905 = 9,05%
llustratie: hoe bereken je t?
Uw beleggingsadviseur belooft een rentevoet van 9% en beweert dat hij je 10.000 EUR kan
verdubbelen. Hoe lang duurt het vooraleer dit geld is verdubbeld?
Er wordt vertrokken vanuit de kapitalisatieformule:
Vt = V0 x (1 + r)t
2 = 1 x (1 + 0,09)t
ln(2) = t x ln(1,09)
t = ln(2) / ln(1,09)
Oplossing t = 8,043 jaar
Waardering van meerdere kasstromen
De algemene regel was dat alle kasstromen naar eenzelfde tijdstip moesten worden gebracht om
deze met elkaar te kunnen vergelijken. Vervolgens de resultaten sommeren.
Illustratie: meerdere kasstromen
Je wil sparen voor een nieuwe laptop, begin dit jaar heb je €500 aan de kant gezet, begin volgend
jaar ga je nog eens €750 op je spaarrekening kunnen zetten en binnen 2 jaar €100. Hoeveel zal je
ter beschikking hebben voor jouw laptop op 1 januari 2022? R=3%
500 * (1,03^3) = 546,36
750 * (1,03^2) = 795,68
1000 * 1,03 = 1030
Oplossing: € 2372,04
, Actuele waarde perpetuïteit
Een perpetuïteit is een oneindige reeks van gelijkmatig in de tijd gespreide gelijke kasstromen (C).
V0= Actuele waarde
C = Kasstromen
r = Verdisconteringsvoet / intrestvoet
Illustratie perpetuïteit
Bedrijf huurt een stuk weide voor 10.000 euro per jaar (onbepaalde duur).
Hoeveel kost het om deze verbintenis af te kopen bij een interestvoet van 5% ?
V0 = 10.000/0,05 = 200.000 euro
1/r = 1/0,05 = 20
Exponentieel groeiende perpetuïteit
Een exponentieel groeiende perpetuïteit is een oneindige reeks van gelijkmatig in de tijd gespreide
exponentieel groeiende (g) kasstromen (C).
• De voorwaarde is wel dat de eerste kasstroom plaatsvindt op tijdstip t1. Deze methode
wordt vaak in het dividend discount model om de prijs van aandelen te bepalen.
Illustratie groeiende perpetuïteit
Bedrijf keert volgend jaar 1 euro dividend uit (C)
Bedrijf verwacht te groeien met 3% per jaar (g)
Interestvoet = 5% (r)
V0 = C /(r – g)
V0 = 1/(0,05 – 0,03) = 50 euro
Actuele waarde annuïteit
Een annuïteit is een eindige reeks van gelijkmatig in de tijd gespreide gelijke kasstromen (C).
Voorbeelden van annui ̈teiten zijn leningen, spaarplannen met een vaste looptijd. De gelijke
kasstromen worden bepaald als kapitaalaflossingen en intresten.
V0 = Actuele waarde annui ̈teit
C = Periodieke kasstroom
r = Intrestvoet / verdisconteringsvoet
T = Aantal periodes
