Série d'exercices : Généralités sur les fonctions

Série nº2: Généralités sur les fonctions


Exercice 1 Exercice 5
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions sui- Soit f une fonction définie sur R par :
vantes :
x−2 x+1 x2 + 1
f1 (x) = f2 (x) = 2 f (x) =
x+3 2x + 3x + 1 x2 + x + 1
1 1 x2 − 2
f3 (x) = + f4 (x) = 2
x x+1
√ x − 2x + 4
√ (1) Montrer que 23 est le minimum de f sur R.
f5 (x) = 2x + 1 f6 (x) = r2x2 − 9x − 5 (2) Montrer que 2 est le maximum de f sur R.
√
3x + 1 3x + 1 (3) Montrer que :∀x, y ∈ R avec (x ̸= y)
f7 (x) = √ f8 (x) =
px−2 x−2
f9 (x) = |x| − 1 f (x) − f (y) xy − 1
= 2
x−y (x + x + 1)(y 2 + y + 1)

(3) Étudier la monotonie de f sur ]−∞; −1], ]−1; 1] et
Exercice 2 [1; +∞[
Soit f une fonction définie sur R par :

f (x) = −2x2 + 4x + 1 Exercice 6

Soit f une fonction définie sur l’intervalle I = − 56 ; 3 ,
 
(1) Montrer que f est majorée par 3.
(2) Est-ce-que 3 est une valeur maximale de f ? dont la courbe est la suivante :
(3) Montrer que : ∀x, y ∈ R avec x ̸= y

f (x) − f (y)
= −2(x + y) + 4
x−y

(4) Déterminer la monotonie de f sur [0; 1] et [1; +∞[


Exercice 3
Soit f une fonction définie sur R par :
p
f (x) = x x2 + 1 − x2
√
(1) Développer : ( x2 + 1 − x)2 .
(2) Montrer que f est majorée par 12 .
(3) Est-ce-que 12 est une valeur maximale de f ?


(1) Dresser le tableau de variations de f sur I.
Exercice 4
(2) Déterminer les extremums de la fonction f .
Soit f une fonction définie sur R par : (3) Déterminer le nombre de solutions de l’équation

x2 + 4x + 1 f (x) = 2.
f (x) =
x2 + 1
(4) Déterminer les solutions de l’équation
(1) Montrer que −1 est un minimum de f sur R.
(2) Montrer que :∀x, y ∈ R avec (x ̸= y) f (x) = 0.

(5) Déterminer graphiquement f ( − 65 ; 0 ) et f ([0; 3]).
 
f (x) − f (y) 4(1 − xy)
= 2
x−y (x + 1)(y 2 + 1)

(3) Étudier la monotonie de f sur ]−∞; −1], [−1; 1] et
[1; +∞[



1 BAC SC EXP 1 2023-2024