16 exercices corrigées sur developements limités

Université Claude Bernard-Lyon 1 Semestre de printemps 2016-2017
Fondamentaux des mathématiques 2

Feuille d’exercices 10
Développements limités-Calculs de limites

Exercice 1.
Etablir pour chacune des fonctions 𝑓 proposées ci-dessous un développement limité de 𝑓 en 0 à l’ordre
𝑛.
𝑎) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑒 𝑥 𝑛 = 5 𝑏) 𝑓 (𝑥 ) = ln(1 + 𝑥 2 ) 𝑛 = 6 𝑐) 𝑓 (𝑥 ) = sin(2𝑥 ) + cos(𝑥 2 ) 𝑛 = 7
ln(1 + 𝑥 )
𝑑) 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 3𝑥 sin(2𝑥 ) 𝑛 = 4 𝑒) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑛 = 3 𝑓) 𝑓 (𝑥 ) = tan(𝑥 ) 𝑛 = 5
1+𝑥
ln(1 + 𝑥 ) 1 ln(1 + 𝑥 )
𝑔) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 𝑛 = 3 ℎ) 𝑓(𝑥 ) = (1 + 𝑥 )𝑥 𝑛 = 3 𝑖) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑛=3
𝑒 sin(𝑥 ) ( 1 + 𝑥 )2
1
𝑗) 𝑓 (𝑥 ) = √1 + 𝑥 𝑛 = 4 𝑘) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑛=3
√1 − 𝑥

Correction exercice 1.
𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5
a) 𝑓 (𝑥 ) = 1 + 𝑥 + + + + + 𝑜 (𝑥 5 )
2! 3! 4! 5!
2 3
(𝑥 2 ) (𝑥 2 ) 𝑥4 𝑥6
b) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 − + + 𝑜 (𝑥 6 ) = 𝑥 2 − + + 𝑜 (𝑥 6 )
2 3 2 3
2
(2𝑥)3 (2𝑥)5 (2𝑥)7 (𝑥 2 ) 4 1 4 8
c) 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 − + − + 𝑜 (𝑥 7 ) + 1 − + 𝑜(𝑥 7 ) = 2𝑥 − 𝑥 3 − 𝑥 4 + 𝑥5 − 𝑥7 +
3! 5! 7! 2! 3 2 15 315
𝑜 (𝑥 7 )
d) Première méthode
(3𝑥 )2 (3𝑥 )3 (3𝑥 )4 4
(2𝑥 )3
𝑓 (𝑥 ) = (1 + 3𝑥 + + + + 𝑜 (𝑥 )) (2𝑥 − + 𝑜(𝑥 4 ))
2! 3! 4! 3!
9 9 27 4 4
= (1 + 3𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 + 𝑜 (𝑥 4 )) (2𝑥 − 𝑥 3 + 𝑜(𝑥 4 ))
2 2 8 3
9 4 4 9
= 2𝑥 + 6𝑥 2 + ( × 2 − ) 𝑥 3 + (3 × (− ) + × 2) 𝑥 4 + 𝑜(𝑥 4 )
2 3 3 2
23
= 2𝑥 + 6𝑥 2 + 𝑥 3 + 5𝑥 4 + 𝑜 (𝑥 4 )
3
(3𝑥)4
Remarque le terme ne sert à rien puisque le développement limité de sin(2𝑥 ) commence par 2𝑥.
4!
Deuxième méthode
(3𝑥 )2 (3𝑥 )3 (2𝑥 )3
𝑓 (𝑥 ) = (1 + 3𝑥 + + + 𝑜(𝑥 3 )) (2𝑥 − + 𝑜 (𝑥 4 ))
2! 3! 3!
9 9 4
= 𝑥 (1 + 3𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑜(𝑥 3 )) (2 − 𝑥 2 + 𝑜(𝑥 3 ))
2 2 3
9 9 4
(1 + 3𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑜(𝑥 3 )) (2 − 𝑥 2 + 𝑜 (𝑥 3 )) donnera un développement limité à l’ordre 3, puis
2 2 3
multiplié par 𝑥, on aura bien un développement limité à l’ordre 4
9 4 4 9
𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 (2 + 6𝑥 + ( × 2 − ) 𝑥^2 + (3 × (− ) + × 2) 𝑥 3 + 𝑜(𝑥 3 ))
2 3 3 2
23 2 23
= 𝑥 (2 + 6𝑥 + 𝑥 + 5𝑥 3 + 𝑜(𝑥 3 )) = 2𝑥 + 6𝑥 2 + 𝑥 3 + 5𝑥 4 + 𝑜(𝑥 4 )
3 3
e) Première méthode
1

, ln(1 + 𝑥 ) 1 𝑥2 𝑥3
𝑓 (𝑥 ) = = ln(1 + 𝑥 ) × = (𝑥 − + + 𝑜 (𝑥 3 )) (1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + 𝑜(𝑥 3 ))
1+𝑥 1+𝑥 2 3
1 1 1 3 11 3
= 𝑥 + (−1 − ) 𝑥 2 + (1 + + ) 𝑥 3 + 𝑜 (𝑥 3 ) = 𝑥 − 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑜 (𝑥 3 )
2 2 3 2 6
Deuxième méthode
ln(1 + 𝑥 ) 1 𝑥2 𝑥3
𝑓 (𝑥 ) = = ln(1 + 𝑥 ) × = (𝑥 − + + 𝑜 (𝑥 3 )) (1 − 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑜(𝑥 2 )) =
1+𝑥 1+𝑥 2 3
𝑥 𝑥2
= 𝑥 (1 − + + 𝑜(𝑥 2 )) (1 − 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑜 (𝑥 2 ))
2 3
1 1 1 3 11
= 𝑥 (1 + (−1 − ) 𝑥 + (1 + + ) 𝑥 2 + 𝑜(𝑥 2 )) = 𝑥 (1 − 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑜(𝑥 2 ))
2 2 3 2 6
3 11
= 𝑥 − 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑜 (𝑥 3 )
2 6
f) Première méthode
sin(𝑥)
tan(𝑥 ) = cos(𝑥) avec cos(0) = 1 ≠ 0 donc il suffit de déterminer les développements limités de sin(𝑥 )
𝑥3 𝑥5 𝑥2
et de cos(𝑥 ) à l'ordre 5 en 0. la division suivant les puissances croissantes de 𝑥 − + 120 par 1 − +
6 2
𝑥4
à l'ordre 5 donne le polynôme de Taylor du développement limité de tan(𝑥 ) à l'ordre 5 en 0.
24
𝑥3 𝑥5 𝑥2 𝑥4
𝑥− + 120 + 𝑜(𝑥 5 ) 1− + 24 + 𝑜(𝑥 5 )
6 2
𝑥3 𝑥5
𝑥− + 24 + 𝑜(𝑥 5 ) 𝑥3 2𝑥 5
2
𝑥+ +
3 15
𝑥3 𝑥5 5
− 30 + 𝑜(𝑥 )
3
𝑥3 𝑥5
− + 𝑜(𝑥 5 )
3 6
2𝑥 5
+ 𝑜(𝑥 5 )
15
2𝑥 5
+ 𝑜(𝑥 5 )
15
𝑜(𝑥 5 )
𝑥3 2𝑥 5
On trouve tan(𝑥 ) = 𝑥 + + + 𝑜(𝑥 5 )
3 15
Deuxième méthode :
𝑥3 𝑥5
sin(𝑥 ) = 𝑥 − + + 𝑜(𝑥 5 )
6 120
1 1 1
= = = 1 − 𝑋 + 𝑋 2 − 𝑋 3 + 𝑋 4 − 𝑋 5 + 𝑜(𝑋 5 )
cos(𝑥 ) 𝑥2 𝑥 4 1 + 𝑋
1 − 2 + 24 + 𝑜(𝑥 5 )
Avec
𝑥2 𝑥4
+ + 𝑜(𝑥 5 )
𝑋=−
2 24
𝑥2 𝑥4 𝑥2 𝑥4 𝑥4
𝑋 2 = 𝑋 × 𝑋 = (− + + 𝑜(𝑥 5 )) (− + + 𝑜(𝑥 5 )) = + 𝑜(𝑥 5 )
2 24 2 24 4
𝑋 3 = 𝑋 2 × 𝑋 = 𝑜(𝑥 5 )
Donc
𝑋 4 = 𝑋 5 = 𝑜(𝑋 5 ) = 𝑜(𝑥 5 )



2

, 1 1
= = 1 − 𝑋 + 𝑋 2 − 𝑋 3 + 𝑋 4 − 𝑋 5 + 𝑜 (𝑋 5 )
cos(𝑥 ) 1 + 𝑋
𝑥2 𝑥4 𝑥4 𝑥2 5 4
= 1 − (− + + 𝑜 (𝑥 5 )) + ( + 𝑜(𝑥 5 )) + 𝑜(𝑥 5 ) = 1 + + 𝑥 + 𝑜(𝑥 5 )
2 24 4 2 24
𝑥3 𝑥5 𝑥2 5 4
tan(𝑥 ) = (𝑥 − + + 𝑜(𝑥 5 )) (1 + + 𝑥 + 𝑜(𝑥 5 ))
6 120 2 24
1 5 1 1 5 1 5 1 2 5
= 𝑥 + 𝑥3 + 𝑥5 − 𝑥3 − 𝑥 + 𝑥 + 𝑜 (𝑥 5 ) = 𝑥 + 𝑥 3 + 𝑥 + 𝑜(𝑥 5 )
2 24 6 12 120 3 15
g)
ln(1 + 𝑥 ) ln(1 + 𝑥 )
𝑓 (𝑥 ) = = 𝑒 −𝑥
𝑒 sin(𝑥 )
𝑥 sin(𝑥 )
Le problème ici, c’est que les développements limités de ln(1 + 𝑥 ) et de sin(𝑥 ) commencent tous les
ln(1+𝑥)
deux par « 𝑥 » donc le quotient va se simplifier par 𝑥, il faut faire des développements limités de
sin(𝑥)
ln(1 + 𝑥 ) et de sin(𝑥 ) à un ordre supérieur de 1 (donc 4 pour obtenir un développement limité à l’ordre
3).

𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥 𝑥2 𝑥3
𝑥 − + − + 𝑜 ( 𝑥 4 ) 𝑥 (1 − + 3 − 4 + 𝑜 (𝑥 3 )) 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + 𝑜 (𝑥 3 )
ln(1 + 𝑥 ) 2 3 4 2 2 3 4
= = =
sin(𝑥 ) 𝑥3 𝑥 2 𝑥 2
𝑥 − 6 + 𝑜 (𝑥 4 ) 𝑥 (1 − 6 + 𝑜(𝑥 3 )) 1 − 6 + 𝑜 (𝑥 3 )

Première méthode : division suivant les puissances croissantes
𝑥 𝑥2 𝑥3 𝑥2
1− + − + 𝑜 (𝑥 3 ) 1− + 𝑜 (𝑥 3 )
2 3 4 6
𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥3
1 − + 𝑜 (𝑥 3 ) 1−2+ −
6 2 3
𝑥 𝑥2 𝑥3 3)
−2 + − + 𝑜 (𝑥
2 4
𝑥 𝑥3
−2 + 12 + 𝑜(𝑥 3 )
𝑥2 𝑥3
− + 𝑜 (𝑥 3 )
2 3
𝑥2
+ 𝑜 (𝑥 3 )
2
𝑥3
− + 𝑜 (𝑥 3 )
3
𝑥3
− + 𝑜 (𝑥 3 )
3
𝑜 (𝑥 3 )
Deuxième méthode
𝑥 𝑥2 𝑥3
1 − 2 + 3 − 4 + 𝑜 (𝑥 3 ) 𝑥 𝑥2 𝑥3 1
2 = (1 − + − + 𝑜 (𝑥 3 )) × 2
𝑥 2 3 4 𝑥
1 − 6 + 𝑜 (𝑥 3 ) 1 − 6 + 𝑜 (𝑥 3 )
1
On va donc chercher le développement limité à l’ordre 3 de 𝑥2
1− +𝑜(𝑥 3 )
6
1 1
= = 1 − 𝑋 + 𝑋 2 − 𝑋 3 + 𝑜 (𝑋 3 )
𝑥2 1+𝑋
1 − 6 + 𝑜 (𝑥 3 )
Avec
𝑥2
𝑋 = − + 𝑜 (𝑥 3 )
6
2
𝑥 𝑥2
𝑋 2 = (− + 𝑜(𝑥 3 )) (− + 𝑜 (𝑥 3 )) = 𝑜(𝑥 3 )
6 6
𝑋 3 = 𝑜 (𝑥 3 ) et 𝑜 (𝑋 3 ) = 𝑜 (𝑥 3 )
3