THOENES, Joshua
FB2823GR814
Psychologie (B.Sc.) (8 Sem.) PO:04/21
Einsendeaufgabe
Statistik 1 - Verteilungen und Stichprobenverteilungen
Aufgabe 1
Bearbeiten Sie das Kapitel 12 des swirl-Kurses „R Programmieren“. Eine Anleitung
finden Sie in den Einsendeaufgaben zum Fernlehrbrief „Deskriptive Verfahren –
Grundlagen“. Es ist nicht notwendig, das Paket und den Kurs erneut zu installieren.
Laden Sie einfach nur das Paket swirl (Befehl „library(swirl)“) und starten Sie dann
swirl (Befehl „swirl()“). Am Ende von Kapitel 12 erhalten Sie wiederum ein Codewort.
Geben Sie dieses Codewort in Ihrem Antwortdokument an.
Das Codewort lautet: „`StatistikeR`“
Aufgabe 2
Enttäuscht von der schlechten Vorhersagequalität seines Tests, versucht der
Schulpsychologe nun den Wortschatztest zu verbessern. Der Wortschatztest
funktioniert so: Der Schulpsychologe und ein Kind sitzen sich gegenüber. Der
Diagnostiker liest ein Wort vor. Das Kind muss nun eines von vier Bildern auswählen,
das am besten zu dem Wort passt. Dabei sind die Wörter in unterschiedliche
Schwierigkeitsstufen eingeteilt. Wenn das Kind mehrfach ein Wort einer
Schwierigkeitsstufe richtig zuordnen kann wird angenommen, dass diese Stufe
erreicht wurde.
a) Wie groß ist die Ratewahrscheinlichkeit bei diesem Test, d.h. mit welcher
Wahrscheinlichkeit kann ein Kind die richtige Lösung erraten?
Da das Kind per Zufall eines der vier Bilder auswählt und ebenfalls nur eines davon das
vorgelesene Wort korrekt beschreibt spielt die Schwierigkeit des Wortes keine Rolle und alle
Bilder haben dieselbe Wahrscheinlichkeit vom Kind gewählt zu werden. Die
Erfolgswahrscheinlichkeit die richtige Lösung zu erraten beträgt folglich P(„Erfolg“ = E) = ¼ =
0.25.
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, THOENES, Joshua
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Psychologie (B.Sc.) (8 Sem.) PO:04/21
b) Wir können diesen Testaufbau als Bernoulli-Experiment begreifen. Welche
Voraussetzung muss dafür gegeben sein?
Wenn der Testaufbau als Bernoulli-Experiment verstanden werden soll müssen sämtliche
Antwortmöglichkeiten des Kindes im Experiment in zwei Ergebnisse aufgeteilt werden. Ein
Ergebnis dass die Möglichkeit zeigt wenn die Antwort ein Erfolg ist und das Gegenergebnis
welches beschreibt, dass die Antwort ein Misserfolg ist. Wie bei a) beschrieben ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg P(E) = 0.25, die Gegenwahrscheinlichkeit einen
Misserfolg im Experiment zu erzielen errechnet sich dadurch aus P(„Misserfolg“ = M) = 1 –
P(E) = 1 – 0.25 = 0.75
c) Auf Schwierigkeitsstufe 1 werden 10 Wörter getestet. Das Kind ordnet sieben
Wörter richtig zu. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(Y≥7), dass das Kind nur
geraten hat und trotzdem sieben oder mehr Wörter richtig hat? Zur Lösung können Sie
Tabelle 1 im Fernlehrbrief verwenden.
Basierend auf der Tabelle 1 im Lehrbrief in Verbindung mit der Annahme, dass das Kind
jedes der zehn Wörter geraten, also zufällig gewählt hat, lässt sich die Wahrscheinlichkeit
aus P(Y≥7) = P(Y=7) + P(Y=8) + P(Y=9) + P(Y=10) ausrechnen. Mithilfe der Formel für die
Binomialverteilung aus dem Lehrbrief, P(Y=y) = nCY * 0.25 Y * 0.75n-Y wobei Y = 7, 8, 9 und
10 annehmen kann und n = 10, also die Anzahl der getesteten Wörter, beschreibt, errechnet
sich: P(Y=7) = 10C7 * 0.257 * 0.75³ = 0.0031, P(Y=8) = 0.0004, P(Y=9) = 0.00003 und
P(Y=10) = 9.54 * 10-7. Daraus resultiert für P(Y≥7) = 0.0031 + 0.0004 + 0.00003 + 9.54 * 10 -7
= 3.53 * 10-3 als Wahrscheinlichkeit für das Kind sieben bis zehn Fragen nur durch reines
Raten erfolgreich zu beantworten.
d) Bei so vielen Wörtern pro Stufe dauert der Test sehr lange. Der Schulpsychologe
denkt sich darum einen Trick aus: Statt 10 Wörtern sollen jetzt nur noch sechs Wörter
pro Schwierigkeitsstufe getestet werden. Dafür werden aber jetzt acht statt vier
Bildtafeln vorgegeben, um das raten zu erschweren. Erstellen Sie eine
Wahrscheinlichkeitstabelle analog zu Tabelle 1 für diesen neuen Versuchsaufbau.
Hinweis: Statt die Wahrscheinlichkeiten von Hand zu berechnen, bietet es sich an, R
für die Berechnung zu nutzen. Der relevante Befehl lautet:
dbinom(k,size=n,prob=0.125,log=FALSE). Beachten Sie, dass R die
Wahrscheinlichkeiten in wissenschaftlicher Schreibweise ausgibt. Geben Sie Ihre
Ergebnisse mit vier Nachkommastellen an.
Die nachfolgende Tabelle entspricht dem Format der Tabelle 1 aus dem Lehrbrief „Statistik
Wahrscheinlichkeitstheorie – Verteilungen und Stichprobenverteilungen“ und basiert ebenso
auf der bei e) genutzten Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Binomialverteilung.
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Statistik 1 - Verteilungen und Stichprobenverteilungen
Aufgabe 1
Bearbeiten Sie das Kapitel 12 des swirl-Kurses „R Programmieren“. Eine Anleitung
finden Sie in den Einsendeaufgaben zum Fernlehrbrief „Deskriptive Verfahren –
Grundlagen“. Es ist nicht notwendig, das Paket und den Kurs erneut zu installieren.
Laden Sie einfach nur das Paket swirl (Befehl „library(swirl)“) und starten Sie dann
swirl (Befehl „swirl()“). Am Ende von Kapitel 12 erhalten Sie wiederum ein Codewort.
Geben Sie dieses Codewort in Ihrem Antwortdokument an.
Das Codewort lautet: „`StatistikeR`“
Aufgabe 2
Enttäuscht von der schlechten Vorhersagequalität seines Tests, versucht der
Schulpsychologe nun den Wortschatztest zu verbessern. Der Wortschatztest
funktioniert so: Der Schulpsychologe und ein Kind sitzen sich gegenüber. Der
Diagnostiker liest ein Wort vor. Das Kind muss nun eines von vier Bildern auswählen,
das am besten zu dem Wort passt. Dabei sind die Wörter in unterschiedliche
Schwierigkeitsstufen eingeteilt. Wenn das Kind mehrfach ein Wort einer
Schwierigkeitsstufe richtig zuordnen kann wird angenommen, dass diese Stufe
erreicht wurde.
a) Wie groß ist die Ratewahrscheinlichkeit bei diesem Test, d.h. mit welcher
Wahrscheinlichkeit kann ein Kind die richtige Lösung erraten?
Da das Kind per Zufall eines der vier Bilder auswählt und ebenfalls nur eines davon das
vorgelesene Wort korrekt beschreibt spielt die Schwierigkeit des Wortes keine Rolle und alle
Bilder haben dieselbe Wahrscheinlichkeit vom Kind gewählt zu werden. Die
Erfolgswahrscheinlichkeit die richtige Lösung zu erraten beträgt folglich P(„Erfolg“ = E) = ¼ =
0.25.
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b) Wir können diesen Testaufbau als Bernoulli-Experiment begreifen. Welche
Voraussetzung muss dafür gegeben sein?
Wenn der Testaufbau als Bernoulli-Experiment verstanden werden soll müssen sämtliche
Antwortmöglichkeiten des Kindes im Experiment in zwei Ergebnisse aufgeteilt werden. Ein
Ergebnis dass die Möglichkeit zeigt wenn die Antwort ein Erfolg ist und das Gegenergebnis
welches beschreibt, dass die Antwort ein Misserfolg ist. Wie bei a) beschrieben ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg P(E) = 0.25, die Gegenwahrscheinlichkeit einen
Misserfolg im Experiment zu erzielen errechnet sich dadurch aus P(„Misserfolg“ = M) = 1 –
P(E) = 1 – 0.25 = 0.75
c) Auf Schwierigkeitsstufe 1 werden 10 Wörter getestet. Das Kind ordnet sieben
Wörter richtig zu. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(Y≥7), dass das Kind nur
geraten hat und trotzdem sieben oder mehr Wörter richtig hat? Zur Lösung können Sie
Tabelle 1 im Fernlehrbrief verwenden.
Basierend auf der Tabelle 1 im Lehrbrief in Verbindung mit der Annahme, dass das Kind
jedes der zehn Wörter geraten, also zufällig gewählt hat, lässt sich die Wahrscheinlichkeit
aus P(Y≥7) = P(Y=7) + P(Y=8) + P(Y=9) + P(Y=10) ausrechnen. Mithilfe der Formel für die
Binomialverteilung aus dem Lehrbrief, P(Y=y) = nCY * 0.25 Y * 0.75n-Y wobei Y = 7, 8, 9 und
10 annehmen kann und n = 10, also die Anzahl der getesteten Wörter, beschreibt, errechnet
sich: P(Y=7) = 10C7 * 0.257 * 0.75³ = 0.0031, P(Y=8) = 0.0004, P(Y=9) = 0.00003 und
P(Y=10) = 9.54 * 10-7. Daraus resultiert für P(Y≥7) = 0.0031 + 0.0004 + 0.00003 + 9.54 * 10 -7
= 3.53 * 10-3 als Wahrscheinlichkeit für das Kind sieben bis zehn Fragen nur durch reines
Raten erfolgreich zu beantworten.
d) Bei so vielen Wörtern pro Stufe dauert der Test sehr lange. Der Schulpsychologe
denkt sich darum einen Trick aus: Statt 10 Wörtern sollen jetzt nur noch sechs Wörter
pro Schwierigkeitsstufe getestet werden. Dafür werden aber jetzt acht statt vier
Bildtafeln vorgegeben, um das raten zu erschweren. Erstellen Sie eine
Wahrscheinlichkeitstabelle analog zu Tabelle 1 für diesen neuen Versuchsaufbau.
Hinweis: Statt die Wahrscheinlichkeiten von Hand zu berechnen, bietet es sich an, R
für die Berechnung zu nutzen. Der relevante Befehl lautet:
dbinom(k,size=n,prob=0.125,log=FALSE). Beachten Sie, dass R die
Wahrscheinlichkeiten in wissenschaftlicher Schreibweise ausgibt. Geben Sie Ihre
Ergebnisse mit vier Nachkommastellen an.
Die nachfolgende Tabelle entspricht dem Format der Tabelle 1 aus dem Lehrbrief „Statistik
Wahrscheinlichkeitstheorie – Verteilungen und Stichprobenverteilungen“ und basiert ebenso
auf der bei e) genutzten Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Binomialverteilung.
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