H1: eendimensionale statistieken
Inleiding
Experiment= het doelmatig observeren van een onzekere uitkomst, mogelijks onder gedeeltelijk
gecontroleerde variabele omstandigheden. → een instrument om een deel van de werkelijkheid te
bestuderen.
Voorbeelden:
• Het effect van een nieuw geneesmiddel
• Gooien met een dobbelsteen
Breder: observeren van een onzekere uitkomst van een repetitief proces.
Voorbeelden:
• Afbetalen van een krediet
• Websitebezoek van een klant
• Afhandeling schadeclaim.
Proces= transformatie van een invoer in uitvoer binnen een systeem.
Systeem=een duidelijk begrensde verzameling onderling samenhangende onderdelen die samenwerken
om een gezamenlijke verzameling doelstellingen te bereiken en productie uitvoer te realiseren
Stochastiek
Voorbeeld: gooien met een dobbelsteen
Uitslagenverzameling= verzameling die alle
mogelijke uitkomsten van een experiment bevat.
Elke uitkomst heeft een kans.
De gekozen afbeelding X beeld elk element van S
af op een ééndimensionale reële as. → afbeelding laat met elke uitkomst een reëel getal overeenkomen.
Kansen verbonden aan de uitslagen volgen de afbeelding.
Stochastiek= een veranderlijke waarvoor aan elke waarde een kans verbonden is= kansveranderlijke,
toevalsgrootheid, kansvariabele, stochastische variabele, …
• Discrete stochastiek= eindige verzameling waarden
• Continue stochastiek= oneindige verzameling waarden
De keuze van de afbeelding hangt af van de context → mag vrij gekozen worden.
,Verschil stochastische veranderlijke en klassieke veranderlijke: aan stochastische veranderlijke wordt een
kans gekoppeld.
Discrete stochastiek
Discrete stochastiek= een verzameling koppels van telkens een waarde en een kans die voldaan aan:
• De kans is positief
• Er zijn een eindig aantal koppels
• De som van de kansen = 1
Grafische voorstelling
Cummulatieve frequentiefunctie
Geeft de kans dat de waarde van een stochastiek kleiner of gelijk is aan een bepaalde waarde x= F(x).
Eigenschappen:
• F(x) is voor alle waarden - ∞< x < + ∞
bepaald
• F(- ∞) = 0 en F(+∞)= 1
• F(x) is een niet-dalende trapfunctie
• F(x) is rechtscontinu
• P(a< X ≤b)= F(b) – F(a)
• P(X>a)= 1-F(a)
Continue stochastiek
Discrete stochastiek Continue stochastiek
• Beperkt aantal mogelijke waarden xi • Onbeperkt aantal mogelijke waarden xi
• Experiment heeft beperkt aantal mogelijke • Experiment heeft onbeperkt aantal mogelijke
uitkomsten uitkomsten
,Kansdichtheidsfunctie f(x)= afgeleide van de cumulatieve frequentieverdeling van een continue
stochastiek.
Voorbeeld:
P( x < X < x +dx) = F(x+dx) – F(x) = BC
tan α= BC/ AB → BC= tan α * AC
tan α= rico van de rechte = f(x)
→ BC= AB * f(x)
AB= dx → BC= f(x)*dx
Cumulatieve frequentiefunctie=
De kans dat een continue stochastiek een bepaalde waarde aanneemt is altijd 0.
, Eigenschappen:
• F(x) is voor alle waarden - ∞< x < + ∞ bepaald
• F(- ∞) = 0 en F(+∞)= 1
• F(x) is een niet-dalende continue functie
• P(a< X ≤b)= F(b) – F(a)
• P(X>a)= 1-F(a)
Continue stochastiek=
Wiskundige verwachting
= de gemiddelde waarde als je een experiment oneindig keer uitvoert.
Analogie met analogie van de waargenomen verdeling:
Het kan zijn dat de wiskundige verwachting geen mogelijke uitkomst is.
Wiskundige verwachting van een functie van een stochastiek
G(x) is een functie van een stochastiek en is zelf een stochastiek.
$
Eigenschappen:
Inleiding
Experiment= het doelmatig observeren van een onzekere uitkomst, mogelijks onder gedeeltelijk
gecontroleerde variabele omstandigheden. → een instrument om een deel van de werkelijkheid te
bestuderen.
Voorbeelden:
• Het effect van een nieuw geneesmiddel
• Gooien met een dobbelsteen
Breder: observeren van een onzekere uitkomst van een repetitief proces.
Voorbeelden:
• Afbetalen van een krediet
• Websitebezoek van een klant
• Afhandeling schadeclaim.
Proces= transformatie van een invoer in uitvoer binnen een systeem.
Systeem=een duidelijk begrensde verzameling onderling samenhangende onderdelen die samenwerken
om een gezamenlijke verzameling doelstellingen te bereiken en productie uitvoer te realiseren
Stochastiek
Voorbeeld: gooien met een dobbelsteen
Uitslagenverzameling= verzameling die alle
mogelijke uitkomsten van een experiment bevat.
Elke uitkomst heeft een kans.
De gekozen afbeelding X beeld elk element van S
af op een ééndimensionale reële as. → afbeelding laat met elke uitkomst een reëel getal overeenkomen.
Kansen verbonden aan de uitslagen volgen de afbeelding.
Stochastiek= een veranderlijke waarvoor aan elke waarde een kans verbonden is= kansveranderlijke,
toevalsgrootheid, kansvariabele, stochastische variabele, …
• Discrete stochastiek= eindige verzameling waarden
• Continue stochastiek= oneindige verzameling waarden
De keuze van de afbeelding hangt af van de context → mag vrij gekozen worden.
,Verschil stochastische veranderlijke en klassieke veranderlijke: aan stochastische veranderlijke wordt een
kans gekoppeld.
Discrete stochastiek
Discrete stochastiek= een verzameling koppels van telkens een waarde en een kans die voldaan aan:
• De kans is positief
• Er zijn een eindig aantal koppels
• De som van de kansen = 1
Grafische voorstelling
Cummulatieve frequentiefunctie
Geeft de kans dat de waarde van een stochastiek kleiner of gelijk is aan een bepaalde waarde x= F(x).
Eigenschappen:
• F(x) is voor alle waarden - ∞< x < + ∞
bepaald
• F(- ∞) = 0 en F(+∞)= 1
• F(x) is een niet-dalende trapfunctie
• F(x) is rechtscontinu
• P(a< X ≤b)= F(b) – F(a)
• P(X>a)= 1-F(a)
Continue stochastiek
Discrete stochastiek Continue stochastiek
• Beperkt aantal mogelijke waarden xi • Onbeperkt aantal mogelijke waarden xi
• Experiment heeft beperkt aantal mogelijke • Experiment heeft onbeperkt aantal mogelijke
uitkomsten uitkomsten
,Kansdichtheidsfunctie f(x)= afgeleide van de cumulatieve frequentieverdeling van een continue
stochastiek.
Voorbeeld:
P( x < X < x +dx) = F(x+dx) – F(x) = BC
tan α= BC/ AB → BC= tan α * AC
tan α= rico van de rechte = f(x)
→ BC= AB * f(x)
AB= dx → BC= f(x)*dx
Cumulatieve frequentiefunctie=
De kans dat een continue stochastiek een bepaalde waarde aanneemt is altijd 0.
, Eigenschappen:
• F(x) is voor alle waarden - ∞< x < + ∞ bepaald
• F(- ∞) = 0 en F(+∞)= 1
• F(x) is een niet-dalende continue functie
• P(a< X ≤b)= F(b) – F(a)
• P(X>a)= 1-F(a)
Continue stochastiek=
Wiskundige verwachting
= de gemiddelde waarde als je een experiment oneindig keer uitvoert.
Analogie met analogie van de waargenomen verdeling:
Het kan zijn dat de wiskundige verwachting geen mogelijke uitkomst is.
Wiskundige verwachting van een functie van een stochastiek
G(x) is een functie van een stochastiek en is zelf een stochastiek.
$
Eigenschappen:
