LLG-Term S 2020-21 Chapitre 6 Exercices : F ONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE .
Exercices : F ONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE .
Exercice 1 QCM avec justification.
Pour chaque proposition, il s’agit de répondre VRAI ou FAUX en justifiant sa réponse (une réponse non justifiée ne sera
pas prise en compte).
32 p
µ ¶
1. ln 3
− 4ln 3 = ln 8 .
2
1 + ex
µ ¶
2. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = ln .
2
La droite d’équation y = − ln 2 est asymptote à la courbe représentative de f .
f (x) = x ln x si x > 0
3. Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par : .
f (0) = 0
a) f est continue en 0.
b) f est dérivable en 0.
4. La troisième loi de Kepler affirme que pour une planète de notre système solaire, le carré de sa période de révolution
T (en années) autour du Soleil est proportionnel au cube de sa distance moyenne d au Soleil, c’est-à-dire : T 2 = k d 3 ,
où k est une constante positive.
Dans un repère du plan, les points M de coordonnées (ln T ; ln d) sont alignés.
Exercice 2 Inéquations.
Résoudre les inéquations suivantes :
1. ln 4x 2 É ln x 2 − 3x
¡ ¢ ¡ ¢
2. 2 ln (2x) É ln x 2 − 3x
¡ ¢
3. ln x × (3 + ln x) É 4
Exercice 3 Trois questions indépendantes.
1. Résoudre l’inéquation suivante après avoir déterminé l’ensemble sur lequel elle est définie :
ln(x 2 − 1) É ln(2x 2 − 8x + 6) .
2. Étudier la parité de la fonction f définie sur ] − 3; 3[ par :
3−x
µ ¶
f (x) = ln
3+x
3. Déterminer lim [ln x − (ax + b)] (discuter au besoin selon les valeurs de a et b).
x→+∞
Qu’en déduit-on pour la courbe représentative de la fonction ln ?
Exercice 4 d’après n°84 p 173
On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = e−x ln 1 + ex .
¡ ¢
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
ln(1 + h)
1. a) (question de cours) Démontrer que lim =1.
h→0 h
b) Déterminer la limite de f en −∞.
1
, LLG-Term S 2020-21 Chapitre 6 Exercices : F ONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE .
x
c) Vérifier que pour tout réel x : f (x) = + e−x ln (1 + e−x ) .
ex
Déterminer la limite de f en +∞.
d) En déduire que la courbe C admet deux asymptotes que l’on précisera.
2. On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0; +∞[ par :
t
g (t ) = − ln(1 + t ) .
1+t
Étudier les variations de g sur [0; +∞[.
En déduire le signe de g (t ) lorsque t > 0 .
3. Calculer f ′ (x) . En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variations.
4. Tracer la courbe C et ses asymptotes (choisir des unités adaptées).
Exercice 5
Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ]0 ; +∞[, les couples solutions de
l’équation (E) : x y = y x et, en particulier, les couples constitués d’entiers.
ln x ln y
1. Montrer que l’équation (E) est équivalente à = .
x y
2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
ln x
.
h(x) =
x
La courbe C représentative de la fonction h est donnée ci-dessous ; x0 est l’abscisse du maximum de la fonction h sur
l’intervalle ]0 ; +∞[.
a) Rappeler la limite de la fonction h en +∞ et déterminer la limite de la fonction h en 0.
b) Calculer h ′ (x), où h ′ désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrouver les variations de la fonction h.
Déterminer les valeurs exactes de x0 et de h(x0 ).
c) Déterminer l’intersection de la
¸ courbe
· C avec l’axe des abscisses.
1
3. Soit λ un élément de l’intervalle 0 ; .
e
Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; +∞[
tels que h(a) = h(b) = λ.
Ainsi le couple (a, b) est solution de (E).
4. On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle [1 ; e[, associe l’unique nombre réel b de l’intervalle
]e ; +∞[ tel que h(a) = h(b) (on ne cherchera pas à exprimer s(a) en fonction de a).
Par lecture graphique uniquement , répondre aux questions suivantes
a) Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?
b) Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures ?
c) Déterminer les variations de la fonction s.
5. Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).
0,4
0,2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
2
Exercices : F ONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE .
Exercice 1 QCM avec justification.
Pour chaque proposition, il s’agit de répondre VRAI ou FAUX en justifiant sa réponse (une réponse non justifiée ne sera
pas prise en compte).
32 p
µ ¶
1. ln 3
− 4ln 3 = ln 8 .
2
1 + ex
µ ¶
2. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = ln .
2
La droite d’équation y = − ln 2 est asymptote à la courbe représentative de f .
f (x) = x ln x si x > 0
3. Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par : .
f (0) = 0
a) f est continue en 0.
b) f est dérivable en 0.
4. La troisième loi de Kepler affirme que pour une planète de notre système solaire, le carré de sa période de révolution
T (en années) autour du Soleil est proportionnel au cube de sa distance moyenne d au Soleil, c’est-à-dire : T 2 = k d 3 ,
où k est une constante positive.
Dans un repère du plan, les points M de coordonnées (ln T ; ln d) sont alignés.
Exercice 2 Inéquations.
Résoudre les inéquations suivantes :
1. ln 4x 2 É ln x 2 − 3x
¡ ¢ ¡ ¢
2. 2 ln (2x) É ln x 2 − 3x
¡ ¢
3. ln x × (3 + ln x) É 4
Exercice 3 Trois questions indépendantes.
1. Résoudre l’inéquation suivante après avoir déterminé l’ensemble sur lequel elle est définie :
ln(x 2 − 1) É ln(2x 2 − 8x + 6) .
2. Étudier la parité de la fonction f définie sur ] − 3; 3[ par :
3−x
µ ¶
f (x) = ln
3+x
3. Déterminer lim [ln x − (ax + b)] (discuter au besoin selon les valeurs de a et b).
x→+∞
Qu’en déduit-on pour la courbe représentative de la fonction ln ?
Exercice 4 d’après n°84 p 173
On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = e−x ln 1 + ex .
¡ ¢
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
ln(1 + h)
1. a) (question de cours) Démontrer que lim =1.
h→0 h
b) Déterminer la limite de f en −∞.
1
, LLG-Term S 2020-21 Chapitre 6 Exercices : F ONCTIONS LOGARITHME ET EXPONENTIELLE .
x
c) Vérifier que pour tout réel x : f (x) = + e−x ln (1 + e−x ) .
ex
Déterminer la limite de f en +∞.
d) En déduire que la courbe C admet deux asymptotes que l’on précisera.
2. On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0; +∞[ par :
t
g (t ) = − ln(1 + t ) .
1+t
Étudier les variations de g sur [0; +∞[.
En déduire le signe de g (t ) lorsque t > 0 .
3. Calculer f ′ (x) . En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variations.
4. Tracer la courbe C et ses asymptotes (choisir des unités adaptées).
Exercice 5
Le but de ce problème est d’étudier, pour x et y éléments distincts de l’intervalle ]0 ; +∞[, les couples solutions de
l’équation (E) : x y = y x et, en particulier, les couples constitués d’entiers.
ln x ln y
1. Montrer que l’équation (E) est équivalente à = .
x y
2. Soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
ln x
.
h(x) =
x
La courbe C représentative de la fonction h est donnée ci-dessous ; x0 est l’abscisse du maximum de la fonction h sur
l’intervalle ]0 ; +∞[.
a) Rappeler la limite de la fonction h en +∞ et déterminer la limite de la fonction h en 0.
b) Calculer h ′ (x), où h ′ désigne la fonction dérivée de la fonction h ; retrouver les variations de la fonction h.
Déterminer les valeurs exactes de x0 et de h(x0 ).
c) Déterminer l’intersection de la
¸ courbe
· C avec l’axe des abscisses.
1
3. Soit λ un élément de l’intervalle 0 ; .
e
Prouver l’existence d’un unique nombre réel a de l’intervalle ]1 ; e[ et d’un unique nombre réel b de l’intervalle ]e ; +∞[
tels que h(a) = h(b) = λ.
Ainsi le couple (a, b) est solution de (E).
4. On considère la fonction s qui, à tout nombre réel a de l’intervalle [1 ; e[, associe l’unique nombre réel b de l’intervalle
]e ; +∞[ tel que h(a) = h(b) (on ne cherchera pas à exprimer s(a) en fonction de a).
Par lecture graphique uniquement , répondre aux questions suivantes
a) Quelle est la limite de s quand a tend vers 1 par valeurs supérieures ?
b) Quelle est la limite de s quand a tend vers e par valeurs inférieures ?
c) Déterminer les variations de la fonction s.
5. Déterminer les couples d’entiers distincts solutions de (E).
0,4
0,2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
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