Module 2
Éléments d’algèbre
Version 1
MQT 1001
Mathématiques appliquées
à la gestion
Houda Affes
,Table des matières
Section 1 : les expressions algébriques .......................................................................................................... 3
Des symboles pour représenter des quantités ........................................................................................... 4
Les constantes et les variables ................................................................................................................ 4
Les indices, les exposants et les radicaux .............................................................................................. 4
Les symboles des opérations mathématiques ...................................................................................... 6
La sommation ............................................................................................................................................ 7
Des chiffres et des lettres .............................................................................................................................. 9
Les relations entre les expressions algébriques ......................................................................................... 10
Section 2 : la transformation des expressions algébriques ......................................................................... 11
Les opérations sur les expressions algébriques ......................................................................................... 11
L’addition (et la soustraction) des expressions algébriques .............................................................. 11
La multiplication des expressions algébriques..................................................................................... 13
La division des expressions algébriques ............................................................................................... 15
La simplification et la factorisation ............................................................................................................ 17
La factorisation par la mise en évidence simple ................................................................................ 18
La factorisation par la double mise en évidence ............................................................................... 20
La factorisation des différences de carrés .......................................................................................... 22
La factorisation des trinômes de la forme x2 + pxy + qy2 ................................................................... 23
La factorisation des trinômes carrés parfaits ....................................................................................... 25
La factorisation multiple ......................................................................................................................... 27
Section 3 : les exposants et les logarithmes ................................................................................................. 32
Les exposants ............................................................................................................................................... 32
Les propriétés des exposants ................................................................................................................. 34
Les logarithmes ............................................................................................................................................. 38
Les propriétés des logarithmes .............................................................................................................. 40
Les logarithmes et la calculatrice ......................................................................................................... 45
Les logarithmes dans la résolution des équations exponentielles ..................................................... 46
Section 4 : les matrices ................................................................................................................................... 48
Les matrices .................................................................................................................................................. 48
Les matrices particulières ............................................................................................................................ 49
L’égalité de matrices.............................................................................................................................. 50
Les opérations sur les matrices ................................................................................................................... 51
L’addition de matrices ........................................................................................................................... 51
La multiplication d’une matrice par un scalaire ................................................................................. 52
Les matrices équivalentes........................................................................................................................... 53
Résumé ............................................................................................................................................................. 57
, MQT 1001 – Mathématiques appliquées à la gestion
Module 2 – Lecture
Section 1 : les expressions algébriques
On a retrouvé sur des tablettes babyloniennes, datant de l’époque des Séleucides (305 à 64 av. J.-C.),
un problème de mathématiques : « Un roseau est placé verticalement contre un mur. S’il descend de
3 coudées, il s’écarte de 9 coudées. Qu’est le roseau? Qu’est le mur? »
Et sa solution : « Attendu que tu ne les connais pas, 3 fois 3 : 9 fois 9 : 81. Tu ajouteras 9 à 81 : 90. Tu
1 1 1
multiplieras 90 par : 45. L’inverse de 3 est . Tu multiplieras par 45 : 15 : le roseau. Qu’est le mur?
2 3 3
15 fois 15 : 225. 9 fois 9 : 81. Tu soustrairas 81 de 225 : reste 144. Quoi par quoi dois-je multiplier, pour qu’il
y ait 144? 12 fois 12 : 144. Le mur est 144.1 »
Pas facile à suivre, n’est-ce pas?
L’un des principaux apports de l’algèbre au développement des mathématiques est sans contredit
l’utilisation de symboles (souvent des lettres de l’alphabet) pour représenter des quantités et d’autres
symboles pour représenter des opérations ou des relations entre ces quantités. Ces symboles aident
grandement à comprendre et à solutionner différents problèmes. Ils aident aussi à simplifier des
problèmes qui paraissent de prime abord fort complexes.
Dans le problème de mathématiques présenté plus haut, une partie de la solution consiste à trouver
l’hypoténuse d’un triangle rectangle. On peut écrire qu’il est possible de trouver l’hypoténuse d’un
triangle rectangle en cherchant la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés. Mais
il est beaucoup plus simple d’écrire, sous la forme d’une expression algébrique :
h = a 2 + b2
Il est cependant important de bien connaître les règles d’utilisation de ces différents symboles de
même que les façons d’effectuer les calculs, s’il y a lieu.
1. Mathématiques et mathématiciens, J. Dedron et J. Itard, Éditions Magnards (1959).
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, MQT 1001 – Mathématiques appliquées à la gestion
Module 2 – Lecture
Des symboles pour représenter des quantités
Les constantes et les variables
Les symboles qui représentent des quantités sont appelés des constantes ou des variables. Si, dans le
cadre de la situation étudiée ou dans le problème à résoudre, la quantité reste la même, le symbole
prendra le nom de constante. Par contre, si la quantité change de valeur dans la situation étudiée ou
si la quantité est inconnue, le symbole sera appelé une variable.
Les symboles sont habituellement des lettres de notre alphabet, minuscules ou majuscules. Si une
même lettre est utilisée en majuscule et en minuscule, elle ne représente habituellement pas la même
quantité. Traditionnellement, en mathématiques, les premières lettres de l’alphabet ( a, b, c )
représentent des constantes et les dernières ( x, y, z ), des variables. Toutefois, cela n’a aucun
caractère obligatoire. De plus, la plupart des sciences (physique, chimie, informatique, économique,
etc.) ont tendance à utiliser des lettres qui vont faciliter la compréhension des formules : F = ma (la
force est égale à la masse multipliée par l’accélération).
On utilise parfois des lettres grecques comme π , θ , δ ou λ pour nommer des constantes ou des
variables. C’est le cas de la formule pour trouver la circonférence d’un cercle : C = 2π R . Le symbole
π (lire « pi ») représente ici une constante qui ne change jamais de valeur, peu importe la situation ou
le problème. C’est un nombre approximativement égal à 3,14159. Les lettres grecques sont peu
utilisées en administration, sauf dans les cours qui font appel aux statistiques.
Par souci de clarté, il arrive fréquemment que l’on utilise une abréviation contenant plusieurs lettres
pour représenter une même quantité : FV = PV (1+ IN ) . Ici, ce sont les deux lettres PV qui constituent
la variable représentant la valeur placée ou le principal. De même, FV est la variable représentant
la valeur finale. Par contre, les lettres I et N sont deux variables différentes puisque chacune représente
une quantité différente, I pour l’intérêt et N pour le nombre d’années du placement. On voit
immédiatement qu’il est très important d’identifier les variables que l’on utilise et de leur associer les
quantités qu’elles représentent.
Les indices, les exposants et les radicaux
Dans certaines situations, les variables sont très nombreuses. C’est le cas en recherche opérationnelle ou
en statistiques par exemple. Comme le nombre de lettres est limité, on utilise les variables indicées. C’est un
peu comme si l’on numérotait les variables. Par exemple, on demande à un ordinateur de choisir
30 nombres au hasard. Pour représenter ces 30 nombres, on utilise la lettre x que l’on fait suivre d’un indice,
c’est-à-dire d’un petit chiffre placé un peu plus bas que la lettre elle-même : x1 , x2 , x3 , ...x30 . La variable x1
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Section 1 : les expressions algébriques .......................................................................................................... 3
Des symboles pour représenter des quantités ........................................................................................... 4
Les constantes et les variables ................................................................................................................ 4
Les indices, les exposants et les radicaux .............................................................................................. 4
Les symboles des opérations mathématiques ...................................................................................... 6
La sommation ............................................................................................................................................ 7
Des chiffres et des lettres .............................................................................................................................. 9
Les relations entre les expressions algébriques ......................................................................................... 10
Section 2 : la transformation des expressions algébriques ......................................................................... 11
Les opérations sur les expressions algébriques ......................................................................................... 11
L’addition (et la soustraction) des expressions algébriques .............................................................. 11
La multiplication des expressions algébriques..................................................................................... 13
La division des expressions algébriques ............................................................................................... 15
La simplification et la factorisation ............................................................................................................ 17
La factorisation par la mise en évidence simple ................................................................................ 18
La factorisation par la double mise en évidence ............................................................................... 20
La factorisation des différences de carrés .......................................................................................... 22
La factorisation des trinômes de la forme x2 + pxy + qy2 ................................................................... 23
La factorisation des trinômes carrés parfaits ....................................................................................... 25
La factorisation multiple ......................................................................................................................... 27
Section 3 : les exposants et les logarithmes ................................................................................................. 32
Les exposants ............................................................................................................................................... 32
Les propriétés des exposants ................................................................................................................. 34
Les logarithmes ............................................................................................................................................. 38
Les propriétés des logarithmes .............................................................................................................. 40
Les logarithmes et la calculatrice ......................................................................................................... 45
Les logarithmes dans la résolution des équations exponentielles ..................................................... 46
Section 4 : les matrices ................................................................................................................................... 48
Les matrices .................................................................................................................................................. 48
Les matrices particulières ............................................................................................................................ 49
L’égalité de matrices.............................................................................................................................. 50
Les opérations sur les matrices ................................................................................................................... 51
L’addition de matrices ........................................................................................................................... 51
La multiplication d’une matrice par un scalaire ................................................................................. 52
Les matrices équivalentes........................................................................................................................... 53
Résumé ............................................................................................................................................................. 57
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Module 2 – Lecture
Section 1 : les expressions algébriques
On a retrouvé sur des tablettes babyloniennes, datant de l’époque des Séleucides (305 à 64 av. J.-C.),
un problème de mathématiques : « Un roseau est placé verticalement contre un mur. S’il descend de
3 coudées, il s’écarte de 9 coudées. Qu’est le roseau? Qu’est le mur? »
Et sa solution : « Attendu que tu ne les connais pas, 3 fois 3 : 9 fois 9 : 81. Tu ajouteras 9 à 81 : 90. Tu
1 1 1
multiplieras 90 par : 45. L’inverse de 3 est . Tu multiplieras par 45 : 15 : le roseau. Qu’est le mur?
2 3 3
15 fois 15 : 225. 9 fois 9 : 81. Tu soustrairas 81 de 225 : reste 144. Quoi par quoi dois-je multiplier, pour qu’il
y ait 144? 12 fois 12 : 144. Le mur est 144.1 »
Pas facile à suivre, n’est-ce pas?
L’un des principaux apports de l’algèbre au développement des mathématiques est sans contredit
l’utilisation de symboles (souvent des lettres de l’alphabet) pour représenter des quantités et d’autres
symboles pour représenter des opérations ou des relations entre ces quantités. Ces symboles aident
grandement à comprendre et à solutionner différents problèmes. Ils aident aussi à simplifier des
problèmes qui paraissent de prime abord fort complexes.
Dans le problème de mathématiques présenté plus haut, une partie de la solution consiste à trouver
l’hypoténuse d’un triangle rectangle. On peut écrire qu’il est possible de trouver l’hypoténuse d’un
triangle rectangle en cherchant la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés. Mais
il est beaucoup plus simple d’écrire, sous la forme d’une expression algébrique :
h = a 2 + b2
Il est cependant important de bien connaître les règles d’utilisation de ces différents symboles de
même que les façons d’effectuer les calculs, s’il y a lieu.
1. Mathématiques et mathématiciens, J. Dedron et J. Itard, Éditions Magnards (1959).
3
, MQT 1001 – Mathématiques appliquées à la gestion
Module 2 – Lecture
Des symboles pour représenter des quantités
Les constantes et les variables
Les symboles qui représentent des quantités sont appelés des constantes ou des variables. Si, dans le
cadre de la situation étudiée ou dans le problème à résoudre, la quantité reste la même, le symbole
prendra le nom de constante. Par contre, si la quantité change de valeur dans la situation étudiée ou
si la quantité est inconnue, le symbole sera appelé une variable.
Les symboles sont habituellement des lettres de notre alphabet, minuscules ou majuscules. Si une
même lettre est utilisée en majuscule et en minuscule, elle ne représente habituellement pas la même
quantité. Traditionnellement, en mathématiques, les premières lettres de l’alphabet ( a, b, c )
représentent des constantes et les dernières ( x, y, z ), des variables. Toutefois, cela n’a aucun
caractère obligatoire. De plus, la plupart des sciences (physique, chimie, informatique, économique,
etc.) ont tendance à utiliser des lettres qui vont faciliter la compréhension des formules : F = ma (la
force est égale à la masse multipliée par l’accélération).
On utilise parfois des lettres grecques comme π , θ , δ ou λ pour nommer des constantes ou des
variables. C’est le cas de la formule pour trouver la circonférence d’un cercle : C = 2π R . Le symbole
π (lire « pi ») représente ici une constante qui ne change jamais de valeur, peu importe la situation ou
le problème. C’est un nombre approximativement égal à 3,14159. Les lettres grecques sont peu
utilisées en administration, sauf dans les cours qui font appel aux statistiques.
Par souci de clarté, il arrive fréquemment que l’on utilise une abréviation contenant plusieurs lettres
pour représenter une même quantité : FV = PV (1+ IN ) . Ici, ce sont les deux lettres PV qui constituent
la variable représentant la valeur placée ou le principal. De même, FV est la variable représentant
la valeur finale. Par contre, les lettres I et N sont deux variables différentes puisque chacune représente
une quantité différente, I pour l’intérêt et N pour le nombre d’années du placement. On voit
immédiatement qu’il est très important d’identifier les variables que l’on utilise et de leur associer les
quantités qu’elles représentent.
Les indices, les exposants et les radicaux
Dans certaines situations, les variables sont très nombreuses. C’est le cas en recherche opérationnelle ou
en statistiques par exemple. Comme le nombre de lettres est limité, on utilise les variables indicées. C’est un
peu comme si l’on numérotait les variables. Par exemple, on demande à un ordinateur de choisir
30 nombres au hasard. Pour représenter ces 30 nombres, on utilise la lettre x que l’on fait suivre d’un indice,
c’est-à-dire d’un petit chiffre placé un peu plus bas que la lettre elle-même : x1 , x2 , x3 , ...x30 . La variable x1
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