Trigonometrija (3.letnik – matematika)
Trigonometrija je v matematiki veda, ki govori o kotnih funkcijah v splošnem. Sestavljena je iz dveh grških
besed, in sicer trigonon (kar pomeni trikotnik) ter metrija (kar pa je veda, ki se ukvarja z merjenjem). Veda
nasploh izhaja iz kotnih funkcij, ki jih lahko dokažemo bodisi v pravokotnem trikotniku ali na enotski
krožnici.
Najprej je dobro, da ponovimo vse kotne funkcije, ki smo jih do zdaj spoznali (razen sekansa in kosekansa).
Najlažje je sprva dokazati iz pravokotnega trikotnika, kjer nastopajo koti do 90 stopinj. Poglejmo si njegove
lastnosti: Za trigonometrijo lahko rečemo, da je doma v pravokotnem
trikotniku.
Že samo tega trikotnika nam pove, da je en kot v tem ravninskem
liku pravi oziroma je enak 90°. Ostala dva pa sta ostra in skupaj
tudi komplementarna, saj mora biti na koncu vsota vseh notranjih
kotov v tem trikotniku enaka 180°.
Še bolj zanimive so stranice: najdaljša stranica v tem trikotniku se
imenuje hipotenuza, drugi dve (ki sta krajši) pa kateti. Višina na
stranico a je stranica b, medtem ko je višina na stranico b stranica
a. Pri tem je višinska točka kar oglišče C.
Pri stranicah je pomembno tudi to, da vemo, katera stanica je
nasprotna in priležna kateta.
V pravokotnem trikotniku velja tudi nekaj izrekov, med njimi so Pitagorov, Evklidov, Talesov in višinski
izrek.
1) Pitagorov izrek nam pove, da je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin obeh katet. S
formulo bi to pomenilo sledeče:
2 2 2
a + b =c
2) Evklidov izrek nam pove, da je kvadrat dolžine ene od katet enaka produktu dolžin njene pravokotne
projekcije in hipotenuze. To izhaja iz Pitagorovega izreka in velja z enačbo:
2 2
a =a1 ∙ c∈b =b1 ∙c
3) Višinski izrek zopet izhaja iz dveh zgornjih izrekov. Pri tem velja, da je kvadrat dolžine višine enak
produktu dolžine hipotenuze in ene izmed katet.
2
v =a1 b1
Na takšen način lahko definiramo kotne funkcije, in sicer s pomočjo poznavanja kotov in stranic. Definicije
kotnih funkcij so prikazani na spodnji slikah:
IME KOTNE FUNKCIJE OZNAKA IZRAČUN/FORMULA IZRAČUN/FORMULA
SINUS sinα nasprotna kateta a
sinα= sinα=
hipotenuza c
KOSINUS cosα priležna kateta b
cosα= cosα=
hipotenuza c
TANGENS tanα ali tgα nasprotna kateta a
tanα= tanα=
priležna kateta b
, KOTANGENS cotα ali ctgα priležna kateta b
cotα = cotα =
nasprotna kateta a
Vrednosti kotnih funkcij se glede na razmerja stranic, predvsem pa velikosti kota spreminjajo. Spodaj je
prikazana tabela vrednosti kotnih funkcij do kota 90°.
Vrednosti kotnih funkcij se spreminjajo
predvsem na kot. Vse so določene računsko,
zato se jih je tudi lažje zapomniti.
To velja, predvsem na kosinus in sinus, saj se
vrednosti vedno povečajo/pomanjšajo za √1/2.
Z večanjem kota do 90° se povečajo sinusi, s tem
pa se pomanjšajo kosinusi. Z manjšanjem kota
se povečajo kosinusi, zmanjšajo pa se sinusi.
Tangens in kotangens sta izpeljiva preko izrazov.
Poleg vrednosti in formul, smo na podlagi predvsem slednjih lastnosti dokazali tudi povezave med
različnimi kotnimi funkcijami. Večinoma so izpeljane iz neštevilskih izrazov, vsota kvadratov sinusa in
kosinusa pa je dokazljiva preko Pitagorovega izreka.
Poznamo več različnih povezav med kotnimi funkcijami. Sprva je dobro
omeniti, da sta tangens in kotangens količnika kotnih funkcij sinus in
kosinus.
Naposled opazimo, da sta tangens in kotangens količnika, ki pa se ju
računa ravno obratno. Iz tega sklepamo, da sta te dve funkciji obratno
sorazmerni oziroma predstavlja druga drugi obratno vrednost.
Iz tangensa in kotangensa lahko dokažemo še spodnja dva izreka, ki sta
znova dokazljiva z reševanjem in skrčitvijo izrazov.
Najbolj znana izpeljava poteka med kvadrati kosinusa in sinusa, pri
čemer je vsota njunih kvadratov nato enaka 1. To zakonitost lahko
dokažemo iz Pitagorovega izreka.
V nadaljevanju smo dokazovali kotne funkcije in njihove vrednosti preko enotske krožnice. To smo storili,
zato ker je krožnica definirana do kota 360°, nato pa se kotne funkcije periodično samo še ponavljajo.
Z enotsko krožnico dokazujemo kotne funkcije, čigar je vrednost kota večja od
90 stopinj. Za dokaz najprej narišemo kraka (premični in nepremični) ter
vpadno pravokotnico na nepremičen krak kota. Tako dobimo, da je sinus kota
α enaka y-u, kosinus α pa koordinati x.
Sčasoma ugotovimo, kje sta na grafu prikazana tangens in kotangens, ki
predstavljata tangento na krožnico in imata presečišče s premičnim krakom v
neki točki.
V prvem kvadrantu smo tudi ugotovili, da so vse vrednosti kotnih funkcij
pozitivne, njihove vrednosti pa znova zadoščajo vrednostim iz pravokotnega
trikotnika. S spremembo kvadranta temu ni več tako.
, S spremembo kvadranta smo ugotovili, da se spreminjajo tudi predznaki kotnih funkcij. Le-te odvisne od
tega, na kateri koordinatah neka točka leži. Na spodnjih slikah bodo predstavljene vrednosti posameznih
kotnih funkcij iz prehoda na vsak kvadrant.
Za sinus in kosinus funkciji veljajo sledeče zakonitosti v različnih kvadrantih:
Vrednosti sinusa in kosinusa se spreminjajo.
Pri sinusu moramo upoštevati lego koordinate y.
Ipsiloni so pozitivni zgolj v prvem in drugem
kvadrantu, zato je sinus le tam pozitiven. Vsepovsod
drugje je negativen.
Kosinus je definiran s koordinato x. Iksi so pozitivni
samo v prvem in četrtem kvadrantu, drugje pa so
eventualno negativni.
Za tangens in kotangens velja skupna zakonitost, in sicer:
Prav tako se spreminjajo tudi vrednosti tangensa in kotangensa glede na
kvadrant.
Njun predznak lahko zaznamo že, če poznamo vrednosti sinusa in kosinusa.
Namreč tangens in kotangens sta količnika prej omenjenih kotnih funkcij.
Pozitivna sta zgolj v prvem in tretjem kvadrantu. V slednjem sta pozitivna,
saj sta kot količnika dveh negativnih števil na koncu vendarle pozitivna.
Dobro je ponoviti tudi osnovne periode za kotne funkcije, ki so za:
- kosinus in sinus enaki 360° ali 2π
- tangens in kotangens enaki 180° ali π
Trigonometrični grafi posameznih kotnih funkcij
V tem poglavju si bomo pogledali trigonometrične grafe za določeno kotno funkcijo. Vsaka kotna funkcija
ima svojo obliko in predpis grafa, le-ta pa je odvisen od lastnosti posamezne funkcije.
Pri grafih se bomo omejili predvsem na njegove lastnosti, kjer so vključene ničla, maksimum/minimum,
pol/navpična asimptota. Najprej je dobro, da utrdimo, kaj pomenijo vse te omenjene lastnosti.
1) Ničla funkcije
Ničla funkcije na grafu vedno predstavlja presečišče grafa z abscisno osjo. Graf funkcije jo lahko ima zgolj
takrat, ko vsaj enkrat seka abscisno os. Nekatere funkcije jo sploh nimajo, nekatere pa lahko x os sekajo več
kot enkrat.
Za naše kotne funkcije bo ničla funkcije nastopala več, zato jo bomo zapisali v periodah. To pomeni, da se
bodo ničle pojavile na posameznih intervalih in konstantno.
Na grafu je predstavljena kotna funkcija sinus.
Kot vidimo so se ničle funkcije periodično ponovile, zato je
dobro, da navedemo vse ničle. Z drugimi besedami želimo
zajeti, kje se pojavijo ničle.
Najlažje bi šlo z naštevanjem, vendar je graf funkcije sinus
definiran po celotnem definicijskem območju, zato bi to
trajalo v nedogled.
Zaradi tega razloga je dobro, da zapišemo periodo, pri
Trigonometrija je v matematiki veda, ki govori o kotnih funkcijah v splošnem. Sestavljena je iz dveh grških
besed, in sicer trigonon (kar pomeni trikotnik) ter metrija (kar pa je veda, ki se ukvarja z merjenjem). Veda
nasploh izhaja iz kotnih funkcij, ki jih lahko dokažemo bodisi v pravokotnem trikotniku ali na enotski
krožnici.
Najprej je dobro, da ponovimo vse kotne funkcije, ki smo jih do zdaj spoznali (razen sekansa in kosekansa).
Najlažje je sprva dokazati iz pravokotnega trikotnika, kjer nastopajo koti do 90 stopinj. Poglejmo si njegove
lastnosti: Za trigonometrijo lahko rečemo, da je doma v pravokotnem
trikotniku.
Že samo tega trikotnika nam pove, da je en kot v tem ravninskem
liku pravi oziroma je enak 90°. Ostala dva pa sta ostra in skupaj
tudi komplementarna, saj mora biti na koncu vsota vseh notranjih
kotov v tem trikotniku enaka 180°.
Še bolj zanimive so stranice: najdaljša stranica v tem trikotniku se
imenuje hipotenuza, drugi dve (ki sta krajši) pa kateti. Višina na
stranico a je stranica b, medtem ko je višina na stranico b stranica
a. Pri tem je višinska točka kar oglišče C.
Pri stranicah je pomembno tudi to, da vemo, katera stanica je
nasprotna in priležna kateta.
V pravokotnem trikotniku velja tudi nekaj izrekov, med njimi so Pitagorov, Evklidov, Talesov in višinski
izrek.
1) Pitagorov izrek nam pove, da je kvadrat dolžine hipotenuze enak vsoti kvadratov dolžin obeh katet. S
formulo bi to pomenilo sledeče:
2 2 2
a + b =c
2) Evklidov izrek nam pove, da je kvadrat dolžine ene od katet enaka produktu dolžin njene pravokotne
projekcije in hipotenuze. To izhaja iz Pitagorovega izreka in velja z enačbo:
2 2
a =a1 ∙ c∈b =b1 ∙c
3) Višinski izrek zopet izhaja iz dveh zgornjih izrekov. Pri tem velja, da je kvadrat dolžine višine enak
produktu dolžine hipotenuze in ene izmed katet.
2
v =a1 b1
Na takšen način lahko definiramo kotne funkcije, in sicer s pomočjo poznavanja kotov in stranic. Definicije
kotnih funkcij so prikazani na spodnji slikah:
IME KOTNE FUNKCIJE OZNAKA IZRAČUN/FORMULA IZRAČUN/FORMULA
SINUS sinα nasprotna kateta a
sinα= sinα=
hipotenuza c
KOSINUS cosα priležna kateta b
cosα= cosα=
hipotenuza c
TANGENS tanα ali tgα nasprotna kateta a
tanα= tanα=
priležna kateta b
, KOTANGENS cotα ali ctgα priležna kateta b
cotα = cotα =
nasprotna kateta a
Vrednosti kotnih funkcij se glede na razmerja stranic, predvsem pa velikosti kota spreminjajo. Spodaj je
prikazana tabela vrednosti kotnih funkcij do kota 90°.
Vrednosti kotnih funkcij se spreminjajo
predvsem na kot. Vse so določene računsko,
zato se jih je tudi lažje zapomniti.
To velja, predvsem na kosinus in sinus, saj se
vrednosti vedno povečajo/pomanjšajo za √1/2.
Z večanjem kota do 90° se povečajo sinusi, s tem
pa se pomanjšajo kosinusi. Z manjšanjem kota
se povečajo kosinusi, zmanjšajo pa se sinusi.
Tangens in kotangens sta izpeljiva preko izrazov.
Poleg vrednosti in formul, smo na podlagi predvsem slednjih lastnosti dokazali tudi povezave med
različnimi kotnimi funkcijami. Večinoma so izpeljane iz neštevilskih izrazov, vsota kvadratov sinusa in
kosinusa pa je dokazljiva preko Pitagorovega izreka.
Poznamo več različnih povezav med kotnimi funkcijami. Sprva je dobro
omeniti, da sta tangens in kotangens količnika kotnih funkcij sinus in
kosinus.
Naposled opazimo, da sta tangens in kotangens količnika, ki pa se ju
računa ravno obratno. Iz tega sklepamo, da sta te dve funkciji obratno
sorazmerni oziroma predstavlja druga drugi obratno vrednost.
Iz tangensa in kotangensa lahko dokažemo še spodnja dva izreka, ki sta
znova dokazljiva z reševanjem in skrčitvijo izrazov.
Najbolj znana izpeljava poteka med kvadrati kosinusa in sinusa, pri
čemer je vsota njunih kvadratov nato enaka 1. To zakonitost lahko
dokažemo iz Pitagorovega izreka.
V nadaljevanju smo dokazovali kotne funkcije in njihove vrednosti preko enotske krožnice. To smo storili,
zato ker je krožnica definirana do kota 360°, nato pa se kotne funkcije periodično samo še ponavljajo.
Z enotsko krožnico dokazujemo kotne funkcije, čigar je vrednost kota večja od
90 stopinj. Za dokaz najprej narišemo kraka (premični in nepremični) ter
vpadno pravokotnico na nepremičen krak kota. Tako dobimo, da je sinus kota
α enaka y-u, kosinus α pa koordinati x.
Sčasoma ugotovimo, kje sta na grafu prikazana tangens in kotangens, ki
predstavljata tangento na krožnico in imata presečišče s premičnim krakom v
neki točki.
V prvem kvadrantu smo tudi ugotovili, da so vse vrednosti kotnih funkcij
pozitivne, njihove vrednosti pa znova zadoščajo vrednostim iz pravokotnega
trikotnika. S spremembo kvadranta temu ni več tako.
, S spremembo kvadranta smo ugotovili, da se spreminjajo tudi predznaki kotnih funkcij. Le-te odvisne od
tega, na kateri koordinatah neka točka leži. Na spodnjih slikah bodo predstavljene vrednosti posameznih
kotnih funkcij iz prehoda na vsak kvadrant.
Za sinus in kosinus funkciji veljajo sledeče zakonitosti v različnih kvadrantih:
Vrednosti sinusa in kosinusa se spreminjajo.
Pri sinusu moramo upoštevati lego koordinate y.
Ipsiloni so pozitivni zgolj v prvem in drugem
kvadrantu, zato je sinus le tam pozitiven. Vsepovsod
drugje je negativen.
Kosinus je definiran s koordinato x. Iksi so pozitivni
samo v prvem in četrtem kvadrantu, drugje pa so
eventualno negativni.
Za tangens in kotangens velja skupna zakonitost, in sicer:
Prav tako se spreminjajo tudi vrednosti tangensa in kotangensa glede na
kvadrant.
Njun predznak lahko zaznamo že, če poznamo vrednosti sinusa in kosinusa.
Namreč tangens in kotangens sta količnika prej omenjenih kotnih funkcij.
Pozitivna sta zgolj v prvem in tretjem kvadrantu. V slednjem sta pozitivna,
saj sta kot količnika dveh negativnih števil na koncu vendarle pozitivna.
Dobro je ponoviti tudi osnovne periode za kotne funkcije, ki so za:
- kosinus in sinus enaki 360° ali 2π
- tangens in kotangens enaki 180° ali π
Trigonometrični grafi posameznih kotnih funkcij
V tem poglavju si bomo pogledali trigonometrične grafe za določeno kotno funkcijo. Vsaka kotna funkcija
ima svojo obliko in predpis grafa, le-ta pa je odvisen od lastnosti posamezne funkcije.
Pri grafih se bomo omejili predvsem na njegove lastnosti, kjer so vključene ničla, maksimum/minimum,
pol/navpična asimptota. Najprej je dobro, da utrdimo, kaj pomenijo vse te omenjene lastnosti.
1) Ničla funkcije
Ničla funkcije na grafu vedno predstavlja presečišče grafa z abscisno osjo. Graf funkcije jo lahko ima zgolj
takrat, ko vsaj enkrat seka abscisno os. Nekatere funkcije jo sploh nimajo, nekatere pa lahko x os sekajo več
kot enkrat.
Za naše kotne funkcije bo ničla funkcije nastopala več, zato jo bomo zapisali v periodah. To pomeni, da se
bodo ničle pojavile na posameznih intervalih in konstantno.
Na grafu je predstavljena kotna funkcija sinus.
Kot vidimo so se ničle funkcije periodično ponovile, zato je
dobro, da navedemo vse ničle. Z drugimi besedami želimo
zajeti, kje se pojavijo ničle.
Najlažje bi šlo z naštevanjem, vendar je graf funkcije sinus
definiran po celotnem definicijskem območju, zato bi to
trajalo v nedogled.
Zaradi tega razloga je dobro, da zapišemo periodo, pri
