Samenvatting - Wiskunde '2. Hoofdstelling van de algebra' GO! Onderwijs

Hoofdstelling van de algebra

1. VEELTERMEN MET COMPLEXE COËFFICIENTEN IN ℂ[z]
1.1 Veelterm met complexe coëfficiënten
Een veelterm met complexe coëfficiënten in één veranderlijke z kunnen we noteren als:
n

∑ ai z i = a z
n
n
+ an-1zn-1 + an-2zn-2 + … + a2z2 + a1z + a0 waarbij a0, a1, a2, …, an-2, an-1, an
i=0
∈C en n ∈ N .
1.2 Graad van een veelterm
De graad van een veelterm in z is de hoogst voorkomende exponent van z in die
veelterm.
1.3 Getalwaarde van een veelterm
De getalwaarde van een veelterm A(z) voor een gegeven complex getal w = a + bi is
het complex getal dat we bekomen door in de veelterm de veranderlijke z te vervangen
door w. Dit kan d.m.v. Horner!
Notatie: A(w)
2. DEELBAARHEID DOOR z - c
1.1 Deelbaarheid door z - c
A(z) is deelbaar door d(z) als en slechts als de rest van de euclidische deling van A(z)
door D(z) nul is.
D(z) | A(z) ⇔ ∃ Q ( z ) ∈C [ z ] : A ( z )=D ( z ) · Q ( z )
⇔ R(z) = 0
Reststelling
Bij de euclidische deling van een veelterm door z - c (met c ∈C ) is de rest van de deling
gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor z = c.
Kenmerk van deelbaarheid door z - c
De veelterm A(z) is deelbaar door z - c als en slechts als de getalwaarde voor z = c
gelijk is aan 0.
(z - c) | A(z) ⇔ A(c) = 0
Als c1 en c2 twee verschillende complexe getallen zijn, dan geldt: (z - c 1) · (z - c2) | A(z)
en z - c2 | A(z).
3. STELLING VAN D’ALEMBERT
3.1 Hoofd- / Fundamentele stelling van de algebra oftewel stelling van
d’Alembert
Elke veelterm met complexe coëfficiënten en met graad groter dan of gelijk aan één,
heeft ten minste één nulwaarde. A(z) ∈C [ z ] en gr(A(z)) ≥ 1 ⇒ ∃ c ∈C : A(c) = 0




1