Folgen und Reihen VL 12

31.05.22




gibt existens an




-> (nicht eindeeigenSieei
Tatz 4.25Itwischenwertsatz)
Er seien ICI ein Interall und f:I - 1
stetig. Dann

existiert
jedem CIR mit infl = c
supf 3tI
=
zu ein
I I
mit
118)
=



c


1

Identitäts-
supt
N

foultion

8181 8
inff
=




-
- s
3




I i
D A
.


G
Intervall:
I
-




sup=max geschlossen in = min


I I
supo max offen info min

M




3


1
hier nicht
stetigheit zentrale
Voraussetzung
>

, Beweis Nach Definition des Supremums und Infimum existieren

zwei reale Zahlen u.VE
f. ( I ) mit u <
< < ✓


Wir wählen a
,
b c- I ( Intervall ) mit f /a) =
u




und f / b) =
✓


b
wobei wir ohne
Einschränkung annehmen a =
.




Da I ein Intervall ist .
ist [a ,
b ] < I .




Wir betrachten M : =



{ ✗ c- [ a. b ] :
flx ) ≤ c
} .




Dann ist Mt ∅ (a c- M ) und beschränkt ,
also

existiert Dabei ist
M
G G [aib ] also
=
c-
sup .




auch GEI .




Ist GEM , so
gilt f / G) ≤ c Raad Def .
von M )
Ist
G HM ist G f stetig
'
so c- M . Da an
,




GGI ist .

gilt flxl →
f /G) (M > ✗ →
G) .




Aus flx ) ≤ c
für alle ✗ c- M
ergibt sich f /G) ≤ <




( mit Bein .
4.13 ) .




Also ist stets f / G) ≤ c
.




Insbesondere b
gilt G
=




und mit
flx ) FIG ) (✗
G )
+
e- → →



auch c ≤
fllf ) ( mit Bem .
4.13 ) .




Also ist FIGI =
c.




☐